王昕宇

（南京海清科技有限公司，江蘇 南京 210036）

0 引言

相控陣?yán)走_(dá)是雷達(dá)技術(shù)的發(fā)展趨勢，它具有探測距離遠(yuǎn)、多目標(biāo)跟蹤能力強(qiáng)、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)［1］。在相控陣?yán)走_(dá)研制過程中，一項(xiàng)重要的工作是對相控陣天線的增益和波束寬度、掃描范圍、掃描躍度等參數(shù)進(jìn)行測量，這樣才能了解雷達(dá)的探測威力。一般情況下，都是在微波暗室采用平面近場法測量天線法線方向的增益和波束寬度，再通過近似公式計(jì)算遠(yuǎn)場條件下的天線增益和波束寬度。這種方法存在以下2 個(gè)問題：1）由于相控陣天線波束偏離法線方向時(shí)會(huì)產(chǎn)生相位失配，空間合成后的波束會(huì)展寬，主瓣增益會(huì)下降；2）雷達(dá)外場安裝后，低仰角波束打地會(huì)引起多徑效應(yīng)，合成后的波束形狀和寬度會(huì)發(fā)生畸變，程度與雷達(dá)周圍的地形地貌有關(guān)。

雷達(dá)陣地建設(shè)完成后，需要準(zhǔn)確了解雷達(dá)天線波束在整個(gè)空域內(nèi)的形狀，客觀評估該雷達(dá)在不同空域的作戰(zhàn)效能。以前，通常采用飛機(jī)檢飛的方式來測試該性能，但飛機(jī)不可能遍歷整個(gè)空域，而且飛行架次有限，獲得的樣本數(shù)據(jù)有限，因此給出的天線方向圖數(shù)據(jù)不夠全面。隨著無人機(jī)技術(shù)的發(fā)展，可以將測試設(shè)備小型化后安裝在無人機(jī)上，通過精確控制無人機(jī)姿態(tài)以及空間位置變化，來準(zhǔn)確測量相控陣?yán)走_(dá)在不同空域的天線增益和波束寬度，從而客觀地評估雷達(dá)在不同區(qū)域的探測能力。

1 工作原理

外場雷達(dá)波瓣測試場景如圖1 所示。雷達(dá)架設(shè)完成后，首先根據(jù)雷達(dá)天線口徑計(jì)算電磁波遠(yuǎn)場條件，計(jì)算公式為：

圖1 外場雷達(dá)波瓣測試場景

式中，D為雷達(dá)天線口徑，d為測試設(shè)備天線口徑，λ為電磁波波長。

假設(shè)被測雷達(dá)天線口徑為2 m，測試天線口徑為15 cm，電磁波工作頻率為3 GHz（波長為10 cm），計(jì)算得到L=92.45 m。則無人機(jī)與被試?yán)走_(dá)的距離必須大于92.45 m，才能達(dá)到電磁波遠(yuǎn)場條件的要求。

設(shè)置無人機(jī)與雷達(dá)的水平距離為100 m，通常雷達(dá)天線最大俯仰角為80°，要求無人機(jī)的最小飛行高度≥567 m。考慮到雷達(dá)最小波束寬度大于1°，測量精度應(yīng)小于0.05°，要求無人機(jī)的位置步進(jìn)≤10cm。另外，為了能夠精確測量電磁波信號的幅度，要求無人機(jī)位置精度優(yōu)于±2cm，且具備抗陣風(fēng)干擾的能力。

無人機(jī)載測量電路組成框圖如圖2 所示，主要包括接收天線、限幅器、下變頻電路、高速A/D 采集電路、信號處理電路、控制與顯示電路以及電源等。工作時(shí)，根據(jù)雷達(dá)波束指向控制無人機(jī)運(yùn)動(dòng)到指定區(qū)域，天線接收雷達(dá)輻射信號，經(jīng)下變頻和A/D 采樣后，送給信號處理模塊，完成信號幅度測量，并將測量結(jié)果打上標(biāo)記，存儲(chǔ)在內(nèi)部存儲(chǔ)器中，用于事后計(jì)算雷達(dá)方向圖。

圖2 無人機(jī)載測試設(shè)備電路框圖

操作人員可以通過通信鏈路控制無人機(jī)工作，上行鏈路主要傳輸無人機(jī)位置、姿態(tài)和微型接收機(jī)的控制參數(shù)，下行鏈路回傳接收機(jī)測量值和設(shè)備工作狀態(tài)，測量值也可以打上時(shí)標(biāo)，存儲(chǔ)在板載存儲(chǔ)器中，供事后分析。無人機(jī)控制器根據(jù)實(shí)際位置與期望位置的差值形成誤差信號，控制無人機(jī)向期望位置運(yùn)動(dòng)。無人機(jī)載設(shè)備控制關(guān)系如圖3 所示。

圖3 無人機(jī)載測試設(shè)備控制關(guān)系

該設(shè)計(jì)的技術(shù)難點(diǎn)是在外界陣風(fēng)干擾的條件下，要求無人機(jī)能夠精確控制飛機(jī)的姿態(tài)和位置移動(dòng)，通過設(shè)備的測量結(jié)果準(zhǔn)確計(jì)算出雷達(dá)波束形狀和天線增益。

2 四旋翼無人機(jī)建模

控制器設(shè)計(jì)時(shí)需要權(quán)衡無人機(jī)模型的階數(shù)，一般情況下，對無人機(jī)建模越精確，模型階數(shù)就越高。使用精確的模型可以獲得較高的控制性能，但過高的階數(shù)會(huì)加大控制器的設(shè)計(jì)難度，控制器對建模誤差的敏感度也會(huì)增加。而過于簡化的模型則忽略了大量的未建模動(dòng)態(tài)特性，設(shè)計(jì)的控制器往往難以獲得滿意的性能和穩(wěn)定性。四旋翼無人機(jī)的模型是非線性的，本文無人機(jī)主要在懸?；蜢o止的狀態(tài)下使用，可以將無人機(jī)模型簡化為線性模型。

在建立四旋翼無人機(jī)運(yùn)動(dòng)模型時(shí)，假設(shè)無人機(jī)為均與對稱剛體，坐標(biāo)系原點(diǎn)選取無人機(jī)重心，定義四旋翼無人機(jī)滾轉(zhuǎn)角為α，俯仰角為β，偏航角為γ，建立四旋翼無人機(jī)近似線性模型的狀態(tài)方程為：

式中，狀態(tài)變量x=[α，β，γ，α?，β?，γ?]T，輸入為u=[u1，u2，u3]T，輸出為y=[α，β，γ]T。

系數(shù)矩陣為：

式中，Jα為無人機(jī)滾轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Lα為滾轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)子距離；Jβ為無人機(jī)俯仰角轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Lβ為俯仰角轉(zhuǎn)子距離；Jγ為無人機(jī)偏航角轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Lγ為偏航角轉(zhuǎn)子距離。

3 旋翼無人機(jī)控制器設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)PID 控制器具有設(shè)計(jì)簡單、計(jì)算量小、不需要精確模型等優(yōu)點(diǎn)，缺點(diǎn)是只能保證平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定性能，難以處理被控對象各狀態(tài)之間的耦合問題［2］?；跔顟B(tài)反饋的線性最優(yōu)控制方法，對于建模的誤差非常敏感，控制器的魯棒性不強(qiáng)［3-5］。文獻(xiàn)［6］為旋翼無人機(jī)設(shè)計(jì)了魯棒姿態(tài)跟蹤控制器，在傳統(tǒng)PID 控制的基礎(chǔ)上增加了魯棒補(bǔ)償器，對閉環(huán)系統(tǒng)中存在的非線性不確定性、通道間的耦合效應(yīng)和外界擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，取得了滿意的控制性能；文獻(xiàn)［7］考慮了陣風(fēng)的干擾，為旋翼無人機(jī)設(shè)計(jì)了自適應(yīng)反步控制器，得到了全局穩(wěn)定的路徑跟蹤控制結(jié)果；文獻(xiàn)［8］在傳統(tǒng)反饋控制器的基礎(chǔ)上提出了自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償器，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了飛行控制結(jié)果；文獻(xiàn)［9］在PID 的基礎(chǔ)上使用了延時(shí)控制方法，提高了無人機(jī)在側(cè)風(fēng)條件下自主著艦的性能。

本文綜合考慮無人機(jī)的應(yīng)用需求，擬將PID 控制和LQR 控制相結(jié)合，設(shè)計(jì)一種雙回路無人機(jī)控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對四旋翼無人機(jī)的飛行控制，確保在陣風(fēng)干擾的情況下，能精確控制無人機(jī)的位置和姿態(tài)。

3.1 內(nèi)回路控制器設(shè)計(jì)

式（2）狀態(tài)方程屬于狀態(tài)反饋LQR 控制問題，需要選取狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)函數(shù)，通過使性能指標(biāo)達(dá)到極小來求解該動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)化的問題，本文采用狀態(tài)反饋LQR 方法，要求確定控制率u，使式（3）表示的性能指標(biāo)函數(shù)最小：

式中，Q=QT≥0，R=RT≥0

對于狀態(tài)反饋LQR 問題，最優(yōu)控制率由下式給出：

式中，對稱矩陣P是式（5）Riccati 方程的半正定解：

以上控制律可以通過LQR 方法將閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)向量調(diào)節(jié)至零，但本系統(tǒng)要求將無人機(jī)的狀態(tài)量控制到某個(gè)預(yù)設(shè)的值，控制屬于跟蹤問題。

魯棒伺服LQR 最優(yōu)控制方法是在一般線性二次調(diào)節(jié)器LQR 控制方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，它的思想是將狀態(tài)偏差量定義為新的狀態(tài)向量引入到系統(tǒng)中，通過控制律設(shè)計(jì)使偏差量調(diào)節(jié)到零，從而達(dá)到系統(tǒng)狀態(tài)變量準(zhǔn)確跟蹤輸入控制指令的目的。

為了確保由階躍輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差始終為零，可以在正向路徑模型中對誤差信號引入積分作用，LQR 狀態(tài)反饋角速度控制框圖如圖4 所示。

圖4 LQR 狀態(tài)反饋角速度控制框圖

假設(shè)系統(tǒng)要跟蹤的輸出為y，y=Cx，輸出跟蹤參考輸入指令的誤差為e=r-y，從圖3 可以定義一個(gè)新的狀態(tài)變量xN，xN表示誤差信號的積分值。這樣就可以定義新的狀態(tài)空間模型表達(dá)式為：

將上述表達(dá)式轉(zhuǎn)換成矩陣模型，可以得出：

為了更方便地設(shè)計(jì)控制器，可以引入積分控制增益系數(shù)Ke，因此狀態(tài)反饋LQR 積分控制回路的狀態(tài)反饋控制律表達(dá)式為：

將狀態(tài)反饋LQR 方法應(yīng)用于上述狀態(tài)反饋積分控制系統(tǒng)，此時(shí)性能指標(biāo)函數(shù)為：

通過設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)腞陣和Q陣，并對方程（5）求解，可得到控制增益向量為M=[K-Ke]，其中，K=[K1K2]。

由于四旋翼無人機(jī)的模型為多輸入多輸出系統(tǒng)，為了更方便地使用Simulink 來實(shí)現(xiàn)線性伺服LQR 控制，可以建立滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角3 個(gè)不同的模型，每個(gè)模型的設(shè)計(jì)思路和仿真方法類似。

3.2 外回路控制器設(shè)計(jì)

外環(huán)控制回路建立在其角速率內(nèi)環(huán)控制回路的基礎(chǔ)上，利用PID 控制器當(dāng)中的PI 控制包裹系統(tǒng)中的未知干擾來完成高精度俯仰角控制。因此，內(nèi)外環(huán)PID和LQR 狀態(tài)反饋積分控制電路的框圖如圖5 所示。

圖5 內(nèi)外回路PID 和LQR 狀態(tài)反饋控制框圖

控制器傳遞函數(shù)表達(dá)式如下：

式（11）為內(nèi)外回路控制框圖的傳遞函數(shù)。

4 風(fēng)場模型

風(fēng)作用在四旋翼無人機(jī)體上力的大小僅與風(fēng)的速度有關(guān)，滿足：

式中，fw為風(fēng)力大小，單位為N；ρ為空氣密度，大小為1.29 kg/m2；A為無人機(jī)迎風(fēng)面的有效截面積，單位為m2；vw為風(fēng)速，單位為m/s，wn為高斯白噪聲。

本文僅考慮陣風(fēng)影響，陣風(fēng)速度表達(dá)式為：

式中，vmax為風(fēng)速最大值，T為階段性風(fēng)的周期，t′為風(fēng)的起始時(shí)間。

假設(shè)無人機(jī)有效截面積為0.2 m2，不同風(fēng)級條件下風(fēng)力大小如表1 所示。

表1 不同風(fēng)級的風(fēng)擾力計(jì)算表

5 仿真分析

本文以某型四旋翼無人機(jī)為例，搭建飛行控制系統(tǒng)的仿真模型，將系統(tǒng)各部分進(jìn)行模塊化處理，搭建PID+LQR 控制模型，仿真分析不同級別風(fēng)擾的情況下控制器的性能。四旋翼無人機(jī)仿真參數(shù)如表2所示。

表2 四旋翼無人機(jī)模型參數(shù)

根據(jù)自動(dòng)控制知識(shí)，阻尼比ζ的表達(dá)式為：

為了得到更好的輸出響應(yīng)曲線，假設(shè)超調(diào)量%OS 為15%，可計(jì)算ζ的值為0.52。

從式（11）可以看出，雙環(huán)控制器傳遞函數(shù)可近似為一個(gè)二階系統(tǒng)，其阻尼比ξ=kp/()，自然頻率ωn=，若假設(shè)PI 控制器的比例項(xiàng)系數(shù)kp=1，可計(jì)算得到積分項(xiàng)系數(shù)ki=0.925，外環(huán)PI 控制器的傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

內(nèi)環(huán)LQR 控制器的設(shè)計(jì)需要選擇合適Q值和R值，Q越大，R越小，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)就越快。本系統(tǒng)LQR 內(nèi)環(huán)控制器的參數(shù)選擇依據(jù)表3 的無人機(jī)參數(shù)，俯仰角和滾轉(zhuǎn)角的參數(shù)為：A=0，B=41.25，C=1，K偏航角的參數(shù)為：A=0，B=16.5，C=1，K=316.29，Ke風(fēng)場模型分別取3～6 級陣風(fēng)，噪聲模型選擇均值為0，方差σ=5。仿真結(jié)果如圖6—8 所示。

表3 不同等級風(fēng)擾的無人機(jī)調(diào)節(jié)參數(shù)

圖6 俯仰角輸出響應(yīng)曲線（不同等級風(fēng)擾）

圖7 滾轉(zhuǎn)角輸出響應(yīng)曲線（不同等級風(fēng)擾）

圖8 偏航角輸出響應(yīng)曲線（不同等級風(fēng)擾）

通過以上仿真數(shù)據(jù)，可以得到以下結(jié)論：

1）本系統(tǒng)設(shè)計(jì)的內(nèi)外回路控制電路魯棒性很強(qiáng)，在6 級強(qiáng)度的風(fēng)擾下能夠使無人機(jī)保持穩(wěn)定，無人機(jī)的位置控制精度優(yōu)于±2cm，姿態(tài)控制精度優(yōu)于0.1°，滿足使用要求。

2）風(fēng)擾強(qiáng)度越大，超調(diào)量越大。當(dāng)風(fēng)場大于6 級風(fēng)時(shí)，超調(diào)量大于15%，無人機(jī)會(huì)出現(xiàn)劇烈抖動(dòng)，建議風(fēng)速大于6 級時(shí)停止使用無人機(jī)測量設(shè)備。

3）不同強(qiáng)度風(fēng)擾情況下，無人機(jī)的超調(diào)量不同，但穩(wěn)定時(shí)間均小于5 s，能夠滿足外場使用需求。

6 結(jié)束語

本文設(shè)計(jì)了一種新型的無人機(jī)內(nèi)外回路魯棒控制器，外環(huán)采用經(jīng)典PID 控制技術(shù)，內(nèi)環(huán)采用魯棒LQR 控制技術(shù)，在陣風(fēng)擾動(dòng)情況下可以精確控制四旋翼無人機(jī)的位置和姿態(tài)。仿真分析表明，該雙環(huán)控制器在外場6 級陣風(fēng)條件下，超調(diào)量、上升時(shí)間和穩(wěn)定時(shí)間均滿足使用要求。同時(shí)，該技術(shù)可推廣應(yīng)用到無人機(jī)編隊(duì)控制中，在多站協(xié)同偵察和定位、多平臺(tái)協(xié)同相參干擾等領(lǐng)域具有一定的推廣應(yīng)用價(jià)值?！?/p>