? 江蘇省蘇州市相城區(qū)教育發(fā)展中心 凌 健

1 背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》明確要求應(yīng)整體把握教學(xué)內(nèi)容,推進單元整體教學(xué)設(shè)計,注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化.這就需要在教學(xué)中重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析,幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系[1].在章始課的教學(xué)中,由于對大單元教學(xué)的認識不精準,目前出現(xiàn)了兩大突出問題.一是很多教師非常注重知識體系的建構(gòu),但卻容易忽視章始課內(nèi)容學(xué)習(xí)的深度,導(dǎo)致學(xué)生對內(nèi)容本身缺乏深刻的感悟.二是有的教師認為大單元教學(xué)視域下的章始課可以無限突破新授范圍,更有甚者用一節(jié)課上完整章內(nèi)容,面面俱到,沒有控制好度.一堂好的章始課,必須要處理好這兩方面的關(guān)系,讓學(xué)生既能看清樹木,又能俯視整片森林,同時又不額外增加學(xué)生負擔(dān).下面結(jié)合筆者的一節(jié)大市課改展示課蘇科版“6.1函數(shù)”的教學(xué)加以說明.

2 教學(xué)過程

2.1 基于情境,發(fā)現(xiàn)變量

觀看一段關(guān)于中國空間站、遼寧號航母和高鐵的視頻.

師:自然中,萬事萬物都是運動變化的,比如空間站的位置隨時間的變化而變化等,通過數(shù)學(xué)思考可以知道,有些變量之間存在著變化關(guān)系.下面我們來看實例.

問題1復(fù)興號高鐵列車從蘇州開往北京,在某個時段,保持350 km/h速度勻速行駛,在列車行駛的過程中,涉及到哪些量?在這些量中,哪些量是不變的?哪些量是不斷變化的?

生:涉及路程、速度和時間.速度和總路程是不變的;時間、列車行駛的路程和列車距離終點的路程是不斷變化的.

師:沒有變化的量應(yīng)該叫什么?可以取不同數(shù)值的量又叫什么呢?

生:沒有變化的量叫常量;可以取不同數(shù)值的量叫變量.

師:列車行駛的路程和時間這兩個變量之間有怎樣的關(guān)系?

生:列車行駛的路程隨著時間的變化而變化.

師:我們從實際情境中發(fā)現(xiàn)了變量,而且有些變量間存在關(guān)聯(lián),關(guān)聯(lián)變量間有變化關(guān)系,有些問題中常常含有多個變量.今天我們來研究最簡單的兩個變量之間的關(guān)系.

教學(xué)說明:類比代數(shù)式和方程的學(xué)習(xí),將從實際問題中抽象出已知量和未知量的經(jīng)驗遷移到學(xué)習(xí)函數(shù)的過程當中.學(xué)生從實際問題中抽象出常量和變量,進而發(fā)現(xiàn)問題當中常常含有多個變量,先從最簡單的兩個變量之間的關(guān)系開始研究.

2.2 研究變量,感悟關(guān)系

變式復(fù)興號高鐵列車從蘇州開往北京,若保持350 km/h速度勻速行駛,行駛的時間為th,行駛的路程為skm.

填寫表1:

表1

問題2觀察表1,你能發(fā)現(xiàn)高鐵行駛的時間和高鐵行駛的路程這兩個變量之間的關(guān)系嗎?

追問:上一章我們學(xué)習(xí)了平面直角坐標系,你能在平面直角坐標系中描出這些點嗎?

活動組織:學(xué)生通過描點,猜想兩個變量構(gòu)成的有序?qū)崝?shù)對對應(yīng)的點可能在一直線上.

教師總結(jié):可以通過列表、描點、連線畫圖,借助圖象預(yù)測變化趨勢.

問題3三峽水庫蓄水總庫容量為3.93×1010m3,某段時間內(nèi)水位的高低與相應(yīng)的蓄水量如表2所示,

表2

表2中有幾個變量?它們之間有什么關(guān)系?

問題4如圖1,搭一條小魚需要8根火柴棒,每多搭一條小魚就要增加6根火柴棒.請?zhí)畋?.

圖1

表3

在搭小魚的過程中有哪幾個變量?它們之間有什么關(guān)系?

教學(xué)說明:問題2由教師引導(dǎo)學(xué)生認識兩個變量之間滿足的三層關(guān)系,這里通過列表、描點和連線畫出函數(shù)圖象點到即止,不需要深入探究;問題3讓學(xué)生自己感悟,嘗試自主歸納和表達兩個變量之間的三層關(guān)系;問題4再一次強化兩個變量之間的三層關(guān)系,并能流暢地進行表達.同時,讓學(xué)生感悟到可以用圖表、解析式和圖象等多種形式來描述兩個變量之間的關(guān)系.

2.3 提取要義,抽象概念

觀看視頻《函數(shù)的由來》.

問題5了解了函數(shù)這個詞的由來,你能給函數(shù)下個定義嗎?什么叫函數(shù)?

教學(xué)說明:通過觀看視頻,引導(dǎo)學(xué)生給函數(shù)下定義.學(xué)生自主歸納函數(shù)的概念,講得不夠完整的地方,再由其他同學(xué)不斷進行完善.這里的完善要做到三點.第一點,讓學(xué)生說出在一個變化過程中兩個變量之間滿足的三層關(guān)系:①一個變量隨著另一個變量的變化而變化;②當一個變量確定時,另一個變量也隨之確定;③對于一個變量的每一個值,另一個變量都有唯一確定的值與它對應(yīng).第二點,讓學(xué)生總結(jié)提煉,發(fā)現(xiàn)第③層包含第①②層的關(guān)系,在定義里只需要保留③即可.第三點,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)提煉,發(fā)現(xiàn)用字母x,y代替變量可以使陳述更為簡潔.在這個過程中,教師不斷地提問和追問,學(xué)生不斷地思考和表達,最后水到渠成,函數(shù)的概念自然生成.在此過程中,加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解,促進學(xué)生抽象能力的發(fā)展.

2.4 應(yīng)用概念,解決問題

練習(xí)1把一根長20 cm的鐵絲圍成一個長方形.

(1)當長方形的寬為3 cm時,長為多少?

(2)當長方形的寬為4 cm時,長為多少?

(3)這個長方形的長是寬的函數(shù)嗎?如果是,請寫出函數(shù)關(guān)系式;如果不是,請說明理由.

練習(xí)2表4中的y是x的函數(shù)嗎?為什么?

表4

練習(xí)3圖2的四個圖形中,表示y是x的函數(shù)的是( ).

圖2

教學(xué)說明:學(xué)生先自主完成,再通過小組討論,組內(nèi)統(tǒng)一意見,每組推薦一名代表上講臺講題展示.通過練習(xí)1,深化學(xué)生對概念的理解;通過練習(xí)2,再次強化學(xué)生對概念中“唯一對應(yīng)”的理解;通過練習(xí)3,引導(dǎo)學(xué)生作x軸的垂線,發(fā)現(xiàn)只有選項C中所作垂線與圖象只有一個交點,滿足函數(shù)的定義.這個探究過程培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀和創(chuàng)新意識.教師繼續(xù)追問,你認為函數(shù)有哪些表示方法?學(xué)生通過前面的學(xué)習(xí)和三個練習(xí)的鞏固,歸納出函數(shù)一般有列表法、圖象法和解析法等多種表示方法.

問題6你能舉出其他的函數(shù)實例嗎?

追問:在C=2πR中,圓的周長C是半徑R的函數(shù),那么R是C的函數(shù)嗎?在S=πR2(S>0)中,圓的面積S是半徑R的函數(shù),那么R是S的函數(shù)嗎?

編題:學(xué)校準備開展種菜勞動項目,要圍一個______的長方形菜地,這個長方形的長y是寬x的函數(shù),請寫出函數(shù)關(guān)系式.(橫線部分不小心被黑墨水蘸了,請你添加一個條件使題目完整.)

師:接下來請大家把題目補充完整并解答.

生:受到前面練習(xí)題的啟發(fā),我添加了“周長是20 m”,此時解析式為y=-x+10.

師:很好.你還能創(chuàng)設(shè)一個新的條件嗎?

生:面積為20 m2.

師:解析式是什么?

教學(xué)說明:通過添加適當?shù)臈l件來編題,考查學(xué)生對知識的遷移能力和應(yīng)用能力,培養(yǎng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

2.5 總結(jié)提煉,建構(gòu)體系

問題7回憶一下,關(guān)于擺搭小魚,你還解決過哪些問題?

在有理數(shù)中,我們解決了搭一條小魚需幾根火柴棒;在代數(shù)式中,解決了搭n條小魚需幾根火柴棒;在方程中,又解決了140根火柴棒能搭多少條小魚;在不等式中,解決了用少于50根的火柴棒最多搭能多少條小魚.

追問:方程、不等式和函數(shù)之間有什么關(guān)系?

分析：通過擺搭小魚這一個情境,形成思維導(dǎo)圖,如圖3所示.

圖3

將數(shù)與代數(shù)的整個知識進行串聯(lián),讓學(xué)生回顧代數(shù)的學(xué)習(xí)歷程:數(shù)—式—方程—不等式—函數(shù).通過問題串的設(shè)計,在知識橫向串聯(lián)成線的基礎(chǔ)上進一步縱向交織成網(wǎng).學(xué)生感悟到數(shù)與式是后續(xù)學(xué)習(xí)方程、不等式和函數(shù)的基礎(chǔ),方程、不等式與函數(shù)之間存在著特殊與一般的關(guān)系,因此可以用研究方程和不等式的方法來研究函數(shù).通過回顧方程和不等式的研究路徑來猜想研究函數(shù)的一般路徑是概念與表示—圖象與性質(zhì)—應(yīng)用.

繼續(xù)追問:觀察黑板上的函數(shù)關(guān)系式,請按自變量的次數(shù)對它們進行分類和命名.

生:可分別命名為一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù).

教師:請大家談?wù)劚竟?jié)課有哪些收獲?

學(xué)生從知識、思想方法等層面加以總結(jié),教師完善結(jié)構(gòu)化板書(如圖4).

圖4

3 教學(xué)反思

3.1 大單元教學(xué)要注重教學(xué)和核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)

新課標指出,要注重教學(xué)與核心素養(yǎng)之間的關(guān)聯(lián).大單元教學(xué)視域下的教學(xué)目標可以分為單元整體教學(xué)目標和具體課時教學(xué)目標.考慮到核心素養(yǎng)在教學(xué)中的達成,函數(shù)主題的素養(yǎng)表現(xiàn)目標定為關(guān)注數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和應(yīng)用意識的形成和發(fā)展;本課時定為關(guān)注數(shù)學(xué)抽象能力和應(yīng)用意識的發(fā)展.為了實現(xiàn)教學(xué)目標,進行了單元整體教學(xué)設(shè)計和教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化.課堂教學(xué)通過課堂對話、追問和靈性思考,實現(xiàn)函數(shù)概念的自然生成,學(xué)習(xí)任務(wù)在生生互動、不斷發(fā)現(xiàn)、健全認知和完善表達中完成,在問題變通過程中創(chuàng)新解決.函數(shù)概念的生成和表示方法的探索過程,發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

3.2 大單元教學(xué)要以大概念為核心,使內(nèi)容結(jié)構(gòu)化

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》指出,要重視以學(xué)科大概念為核心,使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化,以主題為引領(lǐng),使課程內(nèi)容情境化,促進學(xué)科核心素養(yǎng)的落實.顯然,函數(shù)概念在函數(shù)主題中居于核心地位,因此將其確定為學(xué)科大概念.一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等都是函數(shù)概念的下位概念.由此可以建立學(xué)習(xí)函數(shù)的一般路徑,確定函數(shù)的研究方法,滲透數(shù)學(xué)思想,開展類比學(xué)習(xí),形成知識體系、方法體系和思想體系,使得這些原先弧立的、零散的內(nèi)容產(chǎn)生關(guān)聯(lián),變得有序,最終形成結(jié)構(gòu).結(jié)構(gòu)化包括所學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化,研究方法的結(jié)構(gòu)化和數(shù)學(xué)思想的結(jié)構(gòu)化.在數(shù)與代數(shù)中,數(shù)和式是研究方程、不等式和函數(shù)的基礎(chǔ),方程和不等式又與函數(shù)存在著特殊與一般的關(guān)系,凸顯了函數(shù)在數(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的核心地位,揭示了學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu).由此可見,大概念是大單元的靈魂,而大單元是大概念的骨架和血肉,結(jié)構(gòu)化是二者的結(jié)晶.

3.3 大單元教學(xué)要以學(xué)習(xí)者為中心

新課標指出,學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個主動的過程.本節(jié)課通過獨立思考、動手實踐、自主探究、合作交流的方式學(xué)習(xí),充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位.大單元教學(xué)視域下的課堂始終以學(xué)生的發(fā)展為中心,在傳授知識的同時,更提升了學(xué)生的智慧和能力.課堂沿著預(yù)設(shè)促進學(xué)生思考,在對話中開啟學(xué)生智慧,在生成中推動學(xué)生發(fā)展[2],體現(xiàn)出以學(xué)習(xí)者為中心的理念,真正做到學(xué)科育人.

3.4 大單元教學(xué)做到深度和適度并重

新課標在課程實施的教學(xué)建議部分指出,要整體把握教學(xué)內(nèi)容.在大單元教學(xué)視域下,既要做好教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化,又要充分挖掘教學(xué)深度.本節(jié)函數(shù)起始課在初步建構(gòu)知識體系的同時,對于起始課的內(nèi)容也力求教得深刻,讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、試驗、猜測、推理、交流、反思、開放編題等活動,對函數(shù)概念形成深刻的感悟.學(xué)生通過探究數(shù)、式、方程、不等式與函數(shù)的特殊與一般關(guān)系,發(fā)現(xiàn)可以類比研究方程和不等式的思想方法和路徑來研究函數(shù)[3],在形成系統(tǒng)思考的同時,通過類比,猜想函數(shù)的后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容.本課教師引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)后續(xù)內(nèi)容的猜想和探究,以點帶面、點到即止,適度展開,只為完善結(jié)構(gòu)體系,沒有過于深入.最后形成結(jié)構(gòu)化的板書是畫龍點睛之筆,讓知識之間的結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)可視化.