井沛良, 段 宇, 蔣雙雙, 高 宏

(1. 中國人民解放軍 32180部隊，北京 100072；2. 中國人民解放軍 第四軍醫(yī)大學 空軍特色醫(yī)學中心，北京 100037)

1 引 言

作為攻擊類武器打擊精度的重要評估指標之一,目標命中概率指標[1～3]在武器裝備試驗與評估活動中被廣泛應用。目前工程中大量采用假設檢驗方法,比如序列概率比檢驗方法[4～7],對目標命中概率指標進行評估。這些方法存在一個顯著缺陷,即僅在目標命中概率可能取值區(qū)間[0,1]上選取2個數(shù)值點構建假設進而依據(jù)觀測進行判決。而僅選取2個數(shù)值點難以構成完備假設空間[8～13](目標命中概率在區(qū)間[0,1]上任一取值對應一個假設,其取滿區(qū)間[0,1]上所有點的假設集合,即為假設空間)?，F(xiàn)實中目標命中概率恰好為所選的2個參數(shù)點之一的概率極低,這意味著假設檢驗操作依據(jù)觀測事實僅對假設空間中無窮多個假設中的有限個假設進行可能性計算和判決,其結果缺乏嚴密的理論支撐。因此,傳統(tǒng)假設檢驗類方法在對目標命中概率指標進行判決時其錯誤率較高。

針對上述問題,首先對目標命中概率問題進行了分析,假設目標命中概率為一先驗分布未知的隨機變量,并給出了統(tǒng)計數(shù)學建模;其次基于貝葉斯濾波理論[14～17],推導了目標命中概率這一指標參數(shù)的后驗概率密度函數(shù)的解析表達式,并進一步推導得到目標命中概率的最小均方誤差估計量的解析表達式;最后提出了基于最小均方誤差估計量的目標命中概率判決方法。與傳統(tǒng)假設檢驗類判決方法相比,所提方法判決錯誤率有明顯的降低。

2 實驗原理及過程

2.1 目標命中概率統(tǒng)計建模

影響目標命中概率的因素除了特定裝備和目標命中條件外,還包括氣候環(huán)境、裝備隨時間的磨損老化等,以上因素均可作為試驗條件進行明確。使用變量x∈[0,1]來表征目標命中概率,x為一個可能取值遍布于區(qū)間[0,1]的隨機變量。

觀測結果僅依附于目標命中這一事件的相關要求和條件。每一次射擊試驗或目標定位試驗結束后,便依據(jù)目標命中事件的要求和條件對試驗結果進行判定,得出目標命中與否的觀測結果。用z[n]表征第n次試驗的觀測結果,z[n]=1表示目標命中,z[n]=0表示目標未命中。

使用伯努利試驗對目標命中概率與觀測結果的邏輯關系進行建模,具體關系如下:

(1)

假設不同次試驗觀測結果間是統(tǒng)計獨立的,即當m≠n時,z[m]和z[n]之間是統(tǒng)計獨立的。對于多次觀測(設觀測總次數(shù)為N),目標命中概率x與觀測結果之間的邏輯關系可以使用二項分布進行表達,即:

p(z[1],z[2],…,z[N],N;x)

(2)

2.2 最小均方誤差估計量的求解

貝葉斯相關理論已經證明待估計參數(shù)的最小均方誤差估計量就是后驗均值估計量[10]。因此,為了求取最小均方誤差估計量,必須首先求解其后驗概率密度函數(shù)。其先驗概率密度函數(shù)可設置為:

f(x)=1,x∈[0,1]

(3)

式(3)為固定觀測結果時,目標命中概率的似然函數(shù),依據(jù)貝葉斯后驗概率式可以求解目標命中概率的后驗概率密度函數(shù),具體過程如下:

f(x|z[1],z[2],…,z[N],N)

(4)

依據(jù)二項式定理,對任意的非負整數(shù)m,有下列式子成立:

(5)

(6)

(7)

將式(6)和式(7)分別代入式(4),可得求解目標命中概率的后驗概率密度函數(shù)為:

f(x|z[1],z[2],…,z[N],N)

x∈[0,1]

(8)

目標命中概率后驗均值估計量為:

(9)

及估計量xEAP的均方誤差為:

eMS(xEAP)

(10)

圖1 不同觀測結果求取概率密度函數(shù)曲線Fig.1 The derived probability density function curves of different observation results

對應的最小均方誤差估計量及其均方誤差分別如表1和表2所示。

表1 不同觀測結果下最小均方誤差估計量估計結果Tab.1 The minimum mean square error estimation results of different observation results

表2 不同觀測結果下最小均方誤差估計量的均方誤差Tab.2 The minimum mean square error of the estimation results of different observation results

2.3 基于后驗均值估計的判決方法

相較于序列概率比檢驗方法,基于目標命中概率后驗均值估計的判決操作較為簡單。對于預先設置的目標命中概率最低可接受門限值p,當依據(jù)公式(9)求解xEAP大于等于p時,即可判決目標命中概率指標合格;反之則判決不合格。

3 試驗結果與分析

為了評估所提方法的應用性能,以文獻[7, 8]為參照進行了對比實驗。文獻[7, 8]中算法設置鑒別比為1.3,生產方風險為0.26,使用方風險為0.26。依據(jù)不同的真實目標命中概率生成觀測數(shù)據(jù)(觀測總次數(shù)N=8),設置不同的最低可接受門限值p,得到傳統(tǒng)方法與所提方法的判決錯誤率分別如圖2和圖3所示。判決錯誤包含2種情況:1) 真實目標命中概率大于等于p,但判決方法依據(jù)生成觀測數(shù)據(jù)判決目標命中概率指標不合格;2) 真實目標命中概率小于p,但判決方法依據(jù)生成觀測數(shù)據(jù)判決目標命中概率指標合格。進行多次判決試驗,并把判據(jù)錯誤次數(shù)與判決試驗總次數(shù)的比值即定義為判決錯誤率。為了保證判決錯誤率的統(tǒng)計精度,在每一真實目標命中概率與最低可接受門限組合條件下,均對2種對比算法進行了20 000次試驗。同時為了保證對比的公平性,使用了完全相同的生成數(shù)據(jù)對2種算法進行試驗。在生成觀測數(shù)據(jù)時,真實的目標命中概率取值范圍為[0.1,0.9],步長為0.005。最低可接受門限值p取值范圍為[0.7,0.9],步長為0.005。

圖2 傳統(tǒng)方法與所提方法在不同命中概率與最低可接受門限組合條件下的錯誤曲面圖Fig.2 The wrong judging rate surf of the proposed method and the traditional method under different target hit probability and the lowest acceptable threshold

對比圖2(a)和圖2(b)可發(fā)現(xiàn),圖2(a)中曲面高度整體要高于圖2(b)中曲面高度,這說明傳統(tǒng)算法的判決錯誤率整體大于本文所提算法。對圖2(a)和圖2(b)中曲面分別進行積分,并除以曲面在水平面上的投影面積,從而得曲面平均高度分別為0.542 4和0.154 3,即傳統(tǒng)算法和本文所提算法在平均意義上的判決錯誤率分別是54.91%和15.43%,說明所提算法的平均判決錯誤率約為傳統(tǒng)算法的1/3(0.5491/0.1543=3.5594),性能優(yōu)勢較為明顯。

4 結 論

通過分析傳統(tǒng)序列概率比檢驗方法在目標命中概率估計時所存在的理論缺陷,基于目標命中概率為先驗未知隨機變量的前提假設和貝葉斯濾波理論,推導了目標命中概率后驗概率密度函數(shù)和后驗均值估計的解析表達式,提出了基于目標命中概率后驗均值估計的判決方法。與傳統(tǒng)序列概率比檢驗方法相比,所提方法的判決錯誤率明顯降低。