段志貴 儲 鵬 朱王鍶睿

鹽城師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 ( 224002)

函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的一個重要模型,是貫穿高中數(shù)學最基本的一個概念,也是高中數(shù)學知識體系中的難點和重點.調(diào)查顯示[1-4]高中生在函數(shù)學習上普遍存在困難,一部分學生甚至因此喪失高中數(shù)學學習的信心.部分學者把產(chǎn)生函數(shù)學習困難的原因歸究于學習方法不對頭,還有部分學者則認為應該是教師的教學方法需要改進,這些說法往往籠統(tǒng)寬泛,一些結論甚至帶有主觀成分,缺少研究的理論基礎或必要的證據(jù).本研究擬通過對高中生函數(shù)學習的測試,立足于學習論視角下建構的分析框架,結合更深入的訪談,解構學生函數(shù)學習障礙,分析成因,并提出相應的教學建議.

1 研究的設計與實施

調(diào)查選定在Y市一所普通高中,以這所學校高一、高二年級各兩個班共240名學生作為研究對象,以2022年秋學期Y市期末高一、高二年級統(tǒng)考試卷中的函數(shù)考題及考試成績作為研究素材進行編碼分析.其中高一年級統(tǒng)考卷與函數(shù)相關的試題共11道題,編碼單選題1A1、1A2、1A3,多選題1B1、1B2、1B3,填空題1C1、1C2、1C3,以及解答題1D1、1D2;高二年級與函數(shù)相關的試題共6道題,分別編碼單選題2A1、2A2,多選題2B1,填空題2C1、2C2,以及解答題2D1.根據(jù)相關考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計及具體測試內(nèi)容分析,結合與學生個體面對面訪談,了解學生函數(shù)學習錯誤及思維特點,尋找他們在函數(shù)學習中的障礙,并進行成因分析.相關編碼及測試結果如表 1所示.

透過上表不難發(fā)現(xiàn),對于高中階段函數(shù)模塊的學習,雖然從教師到學生都非常重視,但總體上說學習的效果并不令人滿意.高一年級學生平均得分率為60.0%;高二年級學生平均得分率為59.8%,兩個年級合計得分率只有59.9%.

2 高中生函數(shù)學習障礙表現(xiàn)

基于測試內(nèi)容的分析,我們發(fā)現(xiàn),高一年級學生主要表現(xiàn)在函數(shù)概念、復合函數(shù)定義域等方面的理解存在困難,在數(shù)形結合、換元、函數(shù)整體思想的運用等方面存在問題;高二年級學生表現(xiàn)出來的問題主要有思想方法領悟不透、函數(shù)性質(zhì)的掌握和應用不靈活等.依據(jù)梁威教授對學習障礙的分類[5],學習障礙主要包括語言學習障礙、數(shù)學學習障礙和社會技能學習障礙.結合高中數(shù)學特點,我們將學習障礙歸類為語言學習障礙、理解障礙、運算障礙以及應用障礙四個方面.其中,語言學習障礙指在數(shù)學學習的口頭語言、書面語言技能的獲得與運用中的障礙;理解障礙表現(xiàn)為影響信息接收者完整、準確理解信息的障礙;運算障礙表現(xiàn)為計數(shù)困難,對空間及序列概念區(qū)分不清,理解數(shù)學術語或符號困難;技能應用障礙表現(xiàn)為社會知覺能力不足,社會判斷能力差,角色及觀點采擇能力低下,自我概念不良.基于這一分類框架,我們對本次統(tǒng)考有關函數(shù)問題的解答情況進行分析,并結合對學生的隨機訪談,總結得出高中生在函數(shù)學習上主要存在概念理解障礙、數(shù)學思想方法領悟障礙、運算障礙、公式與性質(zhì)應用等四個方面的障礙.

2.1 函數(shù)概念理解困難

概念理解障礙包括沒有掌握函數(shù)的基本性質(zhì),對函數(shù)三要素(定義域、對應法則、值域)、函數(shù)性質(zhì)的理解不夠透徹.測試卷中1A1、1B1、1C1關于函數(shù)三要素、函數(shù)奇偶性以及函數(shù)概念的得分率均在85%左右,說明大部分學生可以求出簡單函數(shù)的三要素、判斷簡單函數(shù)的奇偶性以及理解高中函數(shù)的定義,達到了數(shù)學抽象核心素養(yǎng)水平一的要求.1A3考查學生對于三角函數(shù)圖像的應用,得分率為65%,說明仍舊有部分同學不理解三角函數(shù)的概念與圖像;1D1考查學生判斷函數(shù)是否相同這道題得分率僅為50%,說明學生對于函數(shù)解析式綜合求解類型的題目仍舊有所欠缺,沒有對定義域進行單獨的思考,沒有從真正意義上理解函數(shù)三要素的本質(zhì)。以函數(shù)學習“定義域優(yōu)先”這一知識點為例,部分學生沒有經(jīng)過深入的思考與理解,以至遇到比較函數(shù)是否相同這種類型的題目,他們通常是先化簡函數(shù),再觀察化簡之后函數(shù)的定義域.

2.2 思想方法領悟不透

數(shù)學思想方法的學習是高中數(shù)學學習的核心部分.在高中函數(shù)學習階段,高中生需要學習一些新的數(shù)學思想,主要是函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想和數(shù)形結合思想[6].測試卷中1B2利用數(shù)形結合求解分段函數(shù)相關問題的得分率為55.6%;1C2利用換元法求解函數(shù)最值的得分率為29.4%;1D2考查學生利用函數(shù)整體思想以及參數(shù)分離求解參數(shù)取值范圍,得分率為60.3%;2A2利用函數(shù)法比較大小的得分率為29%.這4道滲透數(shù)學思想方法的題目得分率偏低,大部分高中生對于函數(shù)思想方法理解不透徹.通過課間對學生的隨機訪談發(fā)現(xiàn),大部分學生對于這類綜合題很難想到解題突破口,解題思路也較為混亂,不知道如何解答.例如,對于抽象函數(shù)的相關問題,題型非常多,其中蘊含的數(shù)學思想方法也較為繁多與復雜,導致學生解題時出現(xiàn)思維混亂的現(xiàn)象.訪談時還發(fā)現(xiàn)教師在課堂上講解這類綜合題時,部分學生無法跟上教學思路,課后也沒有進行適當?shù)木毩?從而導致這部分學生對于數(shù)學思想方法的感悟不透徹.

2.3 相關運算素養(yǎng)薄弱

批閱測試卷時發(fā)現(xiàn),部分學生在函數(shù)學習時存在運算錯誤問題.數(shù)學運算是數(shù)學核心素養(yǎng)之一,是解決數(shù)學問題的基本手段,同時也是利用計算機解決問題的基礎.測試卷中有4道題考查學生函數(shù)計算能力,1C2函數(shù)求值問題,得分率為29.4%;1C3根據(jù)復合函數(shù)定義域,計算參數(shù)范圍,得分率為60.4%;2A1給定三角函數(shù)值求角的大小,得分率為63.0%;2B1三角函數(shù)恒等變換相關計算,得分率為66.4%.可以看到,高一、高二兩個年級學生的計算得分都比較低,運算素養(yǎng)有待提高.事實上,通過訪談我們了解到許多學生知道如何進行解題,有解題思路,但是無法計算出正確答案.有專家把這種現(xiàn)象稱之為“懂而不會”,雖然理解,卻不能得出正確答案.

2.4 性質(zhì)應用不夠靈活

在函數(shù)的解題過程中,可能會用到函數(shù)本身所具備的一些性質(zhì),如果不能準確的應用,將影響整道題目的解答.測試卷1A2考查學生對數(shù)函數(shù)的等量變換,得分率34.6%;2C1利用基本不等式的相關性質(zhì),得分率為64%;1B3新定義題,在原有知識的基礎上,考查新的性質(zhì),得分率為57%;2C2、2D1兩道題考查導函數(shù)相關性質(zhì)應用,得分率均在65%左右.從相關數(shù)據(jù)來看,兩個年級學生對于函數(shù)性質(zhì)應用的平均水平都比較較低,僅有三成多學生達到了核心素養(yǎng)水平二要求.通過課間對學生的隨機訪談,我們還發(fā)現(xiàn)部分學生之所以在分段函數(shù)這邊出現(xiàn)一而再,再而三的失分情況,是由于這部分學生沒有養(yǎng)成一個良好的學習習慣,不能在課堂上認真記錄教師講述的內(nèi)容,認真揣摩解題方法和解題步驟,課后也未能做到以適量的練習來鞏固課堂知識,以致學習函數(shù)內(nèi)容感到吃力,對函數(shù)性質(zhì)也就更談不上靈活應用了.

3 高中生函數(shù)學習障礙歸因

依據(jù)學習障礙歸因理論,結合高中生函數(shù)學習困難的上述種種表現(xiàn),我們認為導致高中生產(chǎn)生函數(shù)學習障礙主要包括學習興趣不濃、函數(shù)較為抽象、教師教法失當以及理解能力欠缺等多方面因素.

3.1 學習興趣不濃

訪談發(fā)現(xiàn),大部分高中生在數(shù)學學習時,面臨著學習興趣不濃等問題.進一步分析發(fā)現(xiàn),學生學習函數(shù)興趣缺失的主要原因是存在畏難情緒。他們根據(jù)平時做題經(jīng)驗,主觀的認為函數(shù)題較難,碰到含有參數(shù)的函數(shù)題目更是心存畏懼.有些相對簡單的問題,如二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題很容易借助圖像運用數(shù)形結合的方法求解,但是由于普遍存在畏難情緒和抵觸心理,直接放棄做答的學生很多.

3.2 函數(shù)較為抽象

根據(jù)對隨機選取的幾名學生面對面訪談的結果進行分析,我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)本身所具有的抽象性是引發(fā)學生函數(shù)學習障礙的最主要因素.初中函數(shù)所給出的定義“變量說”,內(nèi)容簡單,易于學生理解,而高中函數(shù)采用“映射說”的定義方法,定義函數(shù)y=f(x),對于該式本身,學生就不太容易理解,而其中的x、y、f三個字母代表的意義及關系,學生就更加不理解了.同時,由于高中函數(shù)知識相對復雜,如果一個問題涉及函數(shù)多方面性質(zhì)的綜合應用,那么該問題的難度將會大大增加.例如在考查函數(shù)的概念時,加入函數(shù)單調(diào)性的考查,那么,學生的作答的得分率就會大幅度降低.以測試卷為例,測試卷2D1要求根據(jù)導函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)的范圍,學生的得分率僅為65%.

3.3 教師教法失當

部分教師函數(shù)教學存在的問題也是學生產(chǎn)生學習障礙的原因之一,主要表現(xiàn)在:一是教學與生活實際相脫離,未能將將偏重理論的函數(shù)知識與生活實際密切聯(lián)系起來,以致函數(shù)的抽象性讓許多學生無法跟上教師的教學節(jié)奏;二是初高中銜接不到位,大部分高中教師沒有初中教學的經(jīng)歷,不了解初中教材,也未能深入研究哪些知識點是初高中之間的斷層,因此在教學中忽略了學生的接受程度,超出了學生的“最近發(fā)展區(qū)”,直接影響著學生對函數(shù)知識的學習理解.

3.4 理解能力欠缺

高中函數(shù)具有一定的抽象性,這就需要學生在函數(shù)學習過程中主動積極的通過思維聯(lián)想 ,通過具體的實例,抽象得出函數(shù)的概念,因而具備一定的理解能力是學生學習函數(shù)的前提.然而,部分高中生的抽象思維能力尚未成形,獨立總結歸納較為困難[7];他們思維固化,接受新知困難.一是函數(shù)概念理解困難.初中函數(shù)所給出的定義是“變量說”,即對于x的每一個值,y都有唯一確定的值與之相對應.對于這種“變量說”,內(nèi)容簡單直觀,學生也已經(jīng)較為熟悉,做起題目來也是輕車熟路.正是由于這種思維固化,導致學生對高中“映射說”這一定義的接受困難.二是函數(shù)符號理解困難.初中階段的學習主要利用文字語言來直觀地表述問題,而高中階段對學生的思維要求比較高,通常運用數(shù)學抽象符號來表述問題,這種從直觀語言到數(shù)學符號的轉(zhuǎn)化也是造成學生函數(shù)學習障礙的重要原因.以單調(diào)增函數(shù)的定義為例,在初中階段表述為“y隨x的增大而增大”,高中階段的表述是“設函數(shù)y=f(x)的定義域為A,區(qū)間I?A,如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個值x1,x2,當x1≤x2時,都有f(x1)≤f(x2),那么y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)”.數(shù)學符號轉(zhuǎn)化的障礙,不僅不利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維,而且也不利于學生邏輯思維能力的培養(yǎng),更不利于學生從數(shù)學源頭發(fā)現(xiàn)問題[8].

4 高中生函數(shù)學習障礙破解

4.1 著力培養(yǎng)學生學習自信心

對于大部分高中生來說,數(shù)學是一門較難的學科.部分學生沒有接受過系統(tǒng)地邏輯思維訓練,從而導致他們抽象思維能力不強.同時,這部分學生的自信心也存在不足,他們主觀認為數(shù)學這門學科的難度較大,所以對數(shù)學學習的興趣不高.對于這種情況,教師應當從激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣入手,改變學生對于數(shù)學學習的態(tài)度.激發(fā)學生對數(shù)學的學習興趣,教師應當創(chuàng)設多種多樣的數(shù)學課堂教學情境.引入熱點話題,讓學生積極參與到話題的討論中來,引起學生的注意;將數(shù)學教學與現(xiàn)實生活進行聯(lián)系,使數(shù)學貼近學生的生活,同時鼓勵學生學以致用,用所學知識解決生活中的實際問題,幫助學生獲得自我效能感;利用分層教學的方法,增強學生學習數(shù)學的自信心,從而改變學生對數(shù)學的學習情感.

4.2 加強初高中函數(shù)學習銜接

函數(shù)的學習重在基礎,很多概念與性質(zhì)是在初中函數(shù)知識上進行擴展和延伸的.所以需要對部分初中知識點進行集中復習,進而補救學生的知識薄弱環(huán)節(jié).大部分函數(shù)的知識點學生雖在初中時有所接觸,但是學得并不扎實.例如,初中雖然學過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù),但是要求很低,只介紹了基本的概念與性質(zhì),習題相對簡單,但是高中函數(shù)較為復雜,如果教師沒有做好初高中銜接,學生的思維跨度過大,很容易出現(xiàn)知識上的斷層.因此,要設置幾節(jié)初高中銜接課程為學生學習函數(shù)知識做鋪墊.例如,一元二次不等式解法中的恒成立、韋達定理、分類討論思想的滲透等等.這些知識點上的銜接與鋪墊不僅可以幫助學生提高解題能力,而且還可以提高學生學好數(shù)學的自信心.

4.3 瞄準學生學習最近發(fā)展區(qū)

當我們學習陌生的知識時,需要充分調(diào)動頭腦中的原有的知識,同陌生知識構建“橋梁”,幫助陌生知識進行正向遷移,以完成對陌生知識的學習.作為一名教師,更應當了解學生現(xiàn)有的知識儲備,這是教師上好一節(jié)課的前提.如果沒有充分了解學生現(xiàn)有的知識儲備,授課時很容易超出學生的“最近發(fā)展區(qū)”,讓學生聽得云里霧里.所以,在高一階段的函數(shù)教學中,教師應當瞄準學生的最近發(fā)展區(qū),夯實學生的函數(shù)基礎.在高二階段的函數(shù)教學中,教師應當瞄準學生最近發(fā)展區(qū)的上限,拓寬學生的最近發(fā)展區(qū),幫助學生在函數(shù)學習中有所突破.

4.4 讓信息技術助力難點突破

高中生自學能力也比較薄弱,他們獲得數(shù)學知識技能的主要來源還是教師課堂上的講授.教師如果只是一味地將知識灌輸給學生而不去考慮學生單方面的接受能力,只會徒勞地增加學生的壓力,令他們更加討厭數(shù)學這一學科.信息技術的應用可以為晦澀難懂的函數(shù)學習增添一絲直觀性,讓抽象的數(shù)學形式化學習內(nèi)容通過形象化的方式或手段呈現(xiàn)在學生面前,幫助他們理解.例如,學生在學習含有參數(shù)的二次函數(shù)時,教師可以運用幾何畫板幫助學生直觀地觀察到參數(shù)的變化對二次函數(shù)圖像的影響.這種直觀的教學模式不僅可以幫助學生加深對題目的理解,也有利于學生對含參方程知識點的鞏固.

4.5 注重思想方法的教學滲透

基于函數(shù)這一教學內(nèi)容的特點,高中函數(shù)的教學,教師重在引領學生加強學習內(nèi)容的理解,提高他們的思維能力.在這其中,加強數(shù)學思想方法的滲透是教師教學的重中之重.高中階段學習的數(shù)學思想方法主要是:函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論和數(shù)形結合.函數(shù)與方程思想是高中函數(shù)的基本思想;轉(zhuǎn)化與化歸思想可以訓練學生的變通能力;分類討論思想是高中數(shù)學的重難點之一;數(shù)形結合思想可以幫助學生將抽象的函數(shù)問題直觀化.在高一階段,由于部分高一學生數(shù)學基礎較差,所以教師在教學設計時,應充分融入這些數(shù)學思想方法,幫助學生解決函數(shù)問題,從而提高教學質(zhì)量.在高二階段,經(jīng)過高一階段的鞏固,教師則應該深挖數(shù)學思想方法的內(nèi)涵,幫助學生熟練的掌握以及運用數(shù)學思想方法解決一系列數(shù)學問題.