馮曦曦 陳文 高先龍?

1) (浙江師范大學(xué)物理系,金華 321004)

2) (北京計算科學(xué)研究中心,北京 100193)

得益于量子信息理論的發(fā)展,保真度、糾纏熵等概念被引入到量子相變的研究中,不僅能用來標(biāo)識新奇的物質(zhì)相,還能用來探測量子相變的臨界點以及描繪其臨界行為.從度量空間的角度來看,這些物理量都可以被理解為度量空間中兩個函數(shù)的距離.本文利用波函數(shù)和實空間中密度分布函數(shù)的距離,研究了以廣義Aubry-André-Harper 模型為代表的準(zhǔn)周期系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)該方法不僅能標(biāo)識拓展相、臨界相和局域相,還能找到準(zhǔn)確的相變點并計算出臨界指數(shù).此外,不僅將度量空間方法推廣到波包擴(kuò)散動力學(xué)研究,還提出了一種新的量,即態(tài)密度分布函數(shù)的距離,發(fā)現(xiàn)上述定義的兩種物理量都能標(biāo)識不同的物質(zhì)相及相變點.通過定義某個函數(shù)在不同參數(shù)下的距離,不僅為標(biāo)識已知系統(tǒng)相變點提供了研究工具,還為探測未知系統(tǒng)的不同物質(zhì)相、相變點及其臨界行為提供了一種直觀的方法.

1 引言

與經(jīng)典相變主要由熱漲落主導(dǎo)的特點不同,量子相變是指通過改變非熱控制參數(shù)觸發(fā)體系的基態(tài)性質(zhì)在臨界點上的突變[1,2].隨著拓?fù)湎嘧?、多體局域化、動力學(xué)相變等概念的出現(xiàn),如何理解這些新奇物質(zhì)相的性質(zhì),用合適的可觀測量去標(biāo)識不同的物質(zhì)相及相變點,描繪體系在相變點附近的臨界行為成為一個重要課題,并引起了廣大研究者的興趣.得益于量子信息理論的發(fā)展,保真度[1,3–5]、糾纏熵[6,7]、Fisher 信息熵[8–12]、錯時序關(guān)聯(lián) (out of time ordered correlation,OTOC)函數(shù)[13–15]等物理量被引入到量子相變的研究中,不僅在理論和數(shù)值模擬中成功標(biāo)識了體系的相變點、臨界指數(shù)及其普適類,還在實驗中得到驗證和應(yīng)用.

上述量子信息中的概念,在數(shù)學(xué)上可以看作不同的波函數(shù)或密度分布函數(shù)在希爾伯特空間中的距離,是對某兩個波函數(shù)或密度分布函數(shù)差異化的度量.希爾伯特空間作為量子態(tài)存在的空間,不僅是一個內(nèi)積空間,同時還是一個度量空間,可以定義不同矢量間的距離.D’Amico 等[16–18]引入度量空間方法,提出了計算不同參數(shù)下體系的基態(tài)波函數(shù)和密度分布函數(shù)的距離,繼而發(fā)現(xiàn)在一些情形中二者是近線性映射關(guān)系.他們不僅用該方法發(fā)展了密度泛函理論,還用來度量量子非平衡動力學(xué)系統(tǒng)的絕熱程度[19].至此,我們還可以提出一些開放性的問題.例如,是否可以用上述的兩種距離去度量量子相變,能否標(biāo)識不同的物質(zhì)相、相變點以及描繪相變點附近的臨界行為,進(jìn)而求解出臨界指數(shù)?是否可以得到與保真度、糾纏熵等量子信息中的物理量相同的結(jié)果? 除了上述兩個距離,是否還能定義不同的距離量？譬如不同非熱控制參數(shù)下體系的態(tài)密度分布函數(shù),是否可以用來標(biāo)識相變? 本文以廣義Aubry-André-Harper (AAH)模型為例,試圖回答上述問題.

廣義AAH 模型是一類具有準(zhǔn)無序項的緊束縛格點模型.對于一維無相互作用的含有準(zhǔn)無序勢和最近鄰躍遷項的AAH 模型,可以看作將一維安德森無序模型的隨機勢替換成準(zhǔn)無序勢.相比于安德森無序模型在一維、二維情況下沒有相變,該模型在一維情形下,即可觀測到隨著準(zhǔn)無序外勢的變化體系呈現(xiàn)波函數(shù)的拓展——安德森局域相變,且在相變點上波函數(shù)和能譜呈現(xiàn)出奇異的分形結(jié)構(gòu)[20–22].隨著理論上對其拓展情況——廣義AAH 模型研究的深入,包括引入非厄米項、多體相互作用項、長程躍遷項、p波配對項研究其能譜的實-復(fù)轉(zhuǎn)變、拓?fù)湎嘧兊萚23–28],以及其在冷原子[26,29,30]、光晶格[31–34]、超導(dǎo)量子比特平臺[35,36]的實驗實現(xiàn),廣義AAH 模型成為了理解安德森局域化、多體局域化的重要平臺.本文將量子信息中的度量空間方法引入到廣義AAH 模型中,討論波函數(shù)的距離、度量空間的距離是否能夠標(biāo)識廣義AAH 模型中豐富的物質(zhì)相,并且試圖將波函數(shù)的度量空間方法推廣到態(tài)密度分布函數(shù)的度量空間中去.

本文的結(jié)構(gòu)如下: 第2 節(jié)介紹度量空間及距離等相關(guān)概念,討論常見的度量空間中的距離和系統(tǒng)間波函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系,同時給出廣義AAH 模型;第3 節(jié)將度量空間方法應(yīng)用到準(zhǔn)周期系統(tǒng)中,成功標(biāo)識不同的物質(zhì)相、相變點及臨界指數(shù);第4 節(jié)將度量空間方法中的波函數(shù)、密度分布距離推廣到動力學(xué)距離和態(tài)密度距離,并應(yīng)用到準(zhǔn)周期系統(tǒng)中去;第5 節(jié)總結(jié)結(jié)果并展望.

2 度量空間和模型

度量空間由一個非空集X和一個度量(距離)函數(shù)D組成,記作(X,D).在一個度量空間中,集合X中的元素被稱為點,而度量或距離函數(shù)D定義了點之間的距離.度量函數(shù)D滿足以下性質(zhì):

其中x,y,z為集合X中的元素.最典型的距離是歐幾里得距離,廣義的歐幾里得距離定義為

當(dāng)p=2,即我們熟悉的歐幾里得距離的定義.在量子力學(xué)中,用以表征系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)通?？梢詷?gòu)成一個希爾伯特空間——完備的內(nèi)積空間.希爾伯特空間在數(shù)學(xué)上結(jié)合了向量空間和度量空間這兩種不同類型空間的性質(zhì).具體來說,希爾伯特空間作為一個向量空間,滿足向量的線性組合和加法運算的性質(zhì),可以描述向量間的線性關(guān)系,進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘等運算.同時,希爾伯特空間也是一個度量空間,它具有度量的概念.通過引入一個合適的度量,可以定義度量空間中的波函數(shù)ψ的距離函數(shù)[18].

這個距離函數(shù)可以衡量兩個波函數(shù)之間的相似程度.對于具有N個粒子的量子體系,當(dāng)該度量的值為時,表示它們在空間中正交或完全不相似;當(dāng)度量為0時,則代表兩者完全相同.利用同樣的方法,可以在度量空間中定義出任意兩個密度分布函數(shù)ρ之間的距離函數(shù)[18]:

對于具有N個粒子的量子體系,當(dāng)該度量接近2N時,表示這兩個體系下的密度分布完全不相似;當(dāng)度量接近0時,則代表兩者非常相似.

本文把度量空間應(yīng)用于具有非公度非對角調(diào)制的一維廣義AAH 模型,其哈密頓量為

其中L為晶格長度,為硬核玻色子的產(chǎn)生(湮滅)算符.Jn和λn分別為最近鄰躍遷和在位勢,它們的表達(dá)式分別為

其中無理數(shù)α=(-1)/2,δ和λ分別為非對角無序勢強度和對角無序勢強度.?1和?2為兩個相位,它們的取值范圍是0— 2π .在本文中,考慮周期性邊界條件.

當(dāng)δ=0時,該模型等價于AAH 模型.該模型拓展到局域的轉(zhuǎn)變點是λ/J=2,當(dāng)λ/J<2時,所有的本征態(tài)彌散在整個實空間中,稱為拓展態(tài);當(dāng)λ/J>2時,所有的本征態(tài)都局域在實空間中的一點,稱為局域態(tài).當(dāng)δ≠0時,該模型可稱為廣義AAH 模型,包含對角調(diào)制和非對角調(diào)制.在保持其他參數(shù)不變的情況下,僅通過改變?1的值,就可以引起拓展-局域、拓展-臨界轉(zhuǎn)變相邊界的改變[37].不失一般性,本文選取?1=(-1)π/2,處在該相位的系統(tǒng)提供了一個較大的臨界區(qū),這為研究拓展-臨界的轉(zhuǎn)變提供了良好的平臺.此外,本文將設(shè)J=1 作為能量單位.

通常用于描述系統(tǒng)局域-拓展性質(zhì)的量為逆參與率 (inverse participation ratio,IPR):

這里,n代表第n個格點,ψj代表系統(tǒng)的第j個本征態(tài).在熱力學(xué)極限下,即L →∞,如果一個態(tài)是拓展的,容易驗證其IPR→0 ;若這個態(tài)是局域的,則IPR→1.當(dāng)0

除此之外,由內(nèi)積運算定義的用于衡量兩個波函數(shù)相似程度的保真度:

也被證實為一種有效的研究準(zhǔn)周期系統(tǒng)的量[2-5],它同樣也與距離的定義有聯(lián)系:

3 度量空間方法在量子相變中的應(yīng)用

3.1 拓展-局域相變的研究

為了探究AAH 模型中拓展-局域相變,探索了波函數(shù)距離和密度距離隨著無序強度λ的變化.參考點的選擇是十分重要的,它衡量待測系統(tǒng)與給定的參考系統(tǒng)之間的差距.由于這里考慮的是拓展-局域相變,一個十分自然的選擇是以拓展相為參考系統(tǒng),從而衡量隨著參數(shù)的變化系統(tǒng)發(fā)生的相變行為.首先考慮一個處于拓展態(tài)的系統(tǒng)為參考系統(tǒng),參數(shù)選擇λ=0.01,δ=0,以該系統(tǒng)的各個本征態(tài)為參考態(tài).從而進(jìn)一步給出平均波函數(shù)距離(ψref,ψ)和平均密度距離(ρref,ρ) :

其中,j代表第j個本征態(tài).

D’Amico 等[16–19]在多種模型的數(shù)值研究中發(fā)現(xiàn),基態(tài)波函數(shù)和密度之間的霍恩貝格-科恩映射(Hohenberg-Kohn mapping)可推廣到度量空間中,即波函數(shù)距離和密度距離之間存在近線性映射關(guān)系.那么,該結(jié)論在無序體系中是否依舊成立?此處,以和為物理量探求該問題的答案.如圖1 主圖所示,和大體上仍呈近線性映射關(guān)系,但在=1.0處兩者之間存在一定的偏離.該偏離源自于這兩個物理量平均了激發(fā)態(tài)的信息,而激發(fā)態(tài)波函數(shù)距離和密度距離之間存在更復(fù)雜的映射關(guān)系.但激發(fā)態(tài)的復(fù)雜性總體上仍然保持了平均波函數(shù)距離和密度距離間的一一映射關(guān)系.因此無序體系中的霍恩貝格-科恩映射也可推廣到度量空間中,即密度距離和相關(guān)波函數(shù)距離之間的映射仍然是可逆的.

圖1 不同尺寸下平均波函數(shù)距離隨平均密度距離的變化.插圖(a),(b)的橫坐標(biāo)皆為無序強度 λ,縱坐標(biāo)分別為平均密度距離和平均波函數(shù)距離.不同顏色的線代表不同尺寸下的結(jié)果,無序平均次數(shù)取為50Fig.1.Variation of average wave function distance with the average density distance.Abscissa of panels (a) and (b) are the disorder intensity λ,and the ordinates are the average density distance and average wave function distance,respectively.Color bar represents the result under different size,and the disorder realizations are 50.

除了映射關(guān)系,我們更關(guān)心在度量空間中是否也能顯示出量子相變并給出相變點.如圖1(a)所示,當(dāng)λ<2,即系統(tǒng)處于拓展相時,平均密度距離隨著λ的增加而增加.這說明盡管λ<2,由無序強度控制相變的準(zhǔn)周期系統(tǒng)都處于拓展相,但是平均密度距離顯示出在度量空間中拓展相與拓展相仍是不盡相同的.因此想要通過這個量去判斷系統(tǒng)是否產(chǎn)生相變,并不能簡單地由距離的大小去判斷.當(dāng)λ=2 時平均密度距離產(chǎn)生了一個躍變行為,這與之前近線性的增長行為不一致,說明λ=2 是發(fā)生相變的一個臨界點.當(dāng)λ>2,平均密度距離逐漸趨于最大值 2,并維持該值不變,這意味著體系此時處于局域相.圖1(b)展示的是平均波函數(shù)距離隨著無序勢強度λ的變化,與平均密度距離具有類似的行為,同樣可以得到臨界點λ=2 .

以上是利用度量空間中的平均波函數(shù)距離和密度距離的變化規(guī)律對相變點做出了判斷,進(jìn)一步,一階平均波函數(shù)距離和密度距離的有限尺寸分析為這一判斷提供了更強有力的說明.令人驚喜的是,它不僅能夠定位出一維AAH 模型相變點,還能提取出該模型的相變點的關(guān)聯(lián)長度臨界指數(shù).一階平均波函數(shù)距離被定義為

同理,可以得到一階平均密度距離:

如圖2(a)和圖2(b)所示,不同晶格尺寸(L=144,233,377,610)下,一維AAH 模型的一階平均波函數(shù)距離和密度距離作為無序強度λ的函數(shù),其最大值總是位于λ=2 附近.這說明在該點系統(tǒng)的物質(zhì)相產(chǎn)生了劇烈的變化,為該模型的相變點.出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因與保真磁化率在相變點處的變化是相同的[3].假設(shè)標(biāo)度方程為

圖2 一維AAH 模型中一階平均波函數(shù)距離和密度距離的有限尺度分析(a),(b)不同尺寸下一階平均波函數(shù)距離和密度距離隨無序強度 λ 的變化;(c),(d)不同擬合參數(shù)下,有限尺寸分析的誤差Std(λC,v),顏色棒的深淺為誤差的大小;(e),(f)縮放一階平均波函數(shù)距離及縮放一階平均密度距離作為縮放變量(λ-λC)L1/v 的函數(shù).無序平均次數(shù)為50 次Fig.2.Finite scale analysis of the first-order average wave function distance and density distance in the one-dimensional AAH model: (a),(b) Variation of first-order average wave function distance and density distance with disordered intensity λ under different sizes;(c),(d) error of finite size analysis under different fitting parameters Std(λC,v) .Color bar represents the value of the error;(e),(f) scaling of the first-order average wave function distance and the first-order average density distance as a function of the scaling variable(λ-λC)L1/v .The disorder realizations are 50.

由此可得,不同尺寸下的一階平均波函數(shù)距離和密度距離的曲線應(yīng)當(dāng)塌縮至同一條理論曲線上.

3.2 拓展-臨界相變的研究

通過上述的分析可知,在度量空間中拓展相與拓展相之間仍存在差異,拓展相與局域相之間的差異則基本恒定,且趨于其在空間中的最大值.那么拓展相與臨界相之間的差異又如何? 廣義AAH 模型為利用度量空間的概念去研究拓展-臨界相變提供了良好的研究平臺.同樣,以λ=0.01,δ=0 為參考系統(tǒng),由于在之前的分析中,波函數(shù)距離和密度距離兩者的表現(xiàn)結(jié)果基本相同,此處僅給出密度距離與λ和δ的關(guān)系.如圖3 所示,橫坐標(biāo)為非對角無序勢δ,縱坐標(biāo)為對角無序勢λ.當(dāng)λ<2,δ<1時,D(ρref,ρ)<1.2,即綠色區(qū),體系處于拓展相;當(dāng)δ>1,λ>2δ時,D(ρref,ρ)≈2,即藍(lán)色區(qū),體系處于局域相.除此之外的區(qū)域,體系都處于臨界相.該區(qū)域的色塊并非同一,D(ρref,ρ) 的值介于1.2—1.84之間但沒有達(dá)到最大值 2,這說明臨界相與拓展相具有一定的相似性.由于臨界相與臨界相之間也不全是相同的,所以選定拓展相為參考態(tài)時,在臨界區(qū)呈現(xiàn)出了少部分不一致的區(qū)塊.至于不同的臨界相之間具體有什么區(qū)別,會帶來什么不同的現(xiàn)象,仍需要用除度量空間外的方法進(jìn)一步研究.利用密度距離給出的相圖與文獻(xiàn)[37]給出的IPR 相圖一致,這說明從度量空間角度分析量子系統(tǒng)的相變現(xiàn)象是一種有效的方法.

圖3 廣義AAH 模型的相圖.顏色的深淺代表(ρref,ρ)的大小,這里選擇 L=610 .綠色區(qū)域A 為拓展相,橙色區(qū)域B 為臨界相,藍(lán)色區(qū)域C 為局域相.無序平均的次數(shù)取為50 次Fig.3.Phase diagram of the extended AAH model.Color bar represents the value of (ρref,ρ),calculated for chains of length L=610 .Green region A represents the extended phase,the orange region B represents the critical phase,and the blue region C represents the localized phase.Disorder realizations are 50.

4 動力學(xué)距離和態(tài)密度距離

度量空間這一概念具有廣泛的適用性,本節(jié)將其應(yīng)用到波包擴(kuò)散的動力學(xué)和系統(tǒng)的能譜性質(zhì)研究中,以期在度量空間中獲得更多關(guān)于系統(tǒng)的信息.一是通過動力學(xué)波函數(shù)距離和密度距離探索不同的物質(zhì)相對系統(tǒng)的演化速率的影響;二是通過定義新的物理量——態(tài)密度距離,探求不同物質(zhì)相之間能譜的差距.令人驚喜的是,這兩種推廣方法同樣能夠揭示量子相變的存在,為我們提供了更豐富的分析手段和視角,進(jìn)而更全面地分析和解釋系統(tǒng)中的特性變化.在以下研究中,僅驗證圖3 中橫軸(λ=0)和縱軸(δ=0)所展現(xiàn)的兩種相變情況.

4.1 動力學(xué)距離

由于處于不同相的系統(tǒng)具有不同的動力學(xué)行為,因此在度量空間中觀察系統(tǒng)的動力學(xué)演化也為量子相變的研究提供了一種新思路.下面基于AAH 模型和廣義AAH 模型,討論拓展、臨界和局域三種不同相下密度距離的動力學(xué)演化行為.在該研究中,選擇粒子以相同概率分布在各個格點的理想情況下的拓展態(tài)為參考態(tài),其中 |cn|2≡1/L,|n〉 代表粒子位于第n個格點處的占據(jù)態(tài).假設(shè)在t=0時,粒子局域于x0=L/2格點處,那么 |ψ(0)〉=|x0〉,|ψ(0)〉 即為選定的初態(tài).t時刻的波函數(shù)可表示為 |ψ(t)〉=可以得到ρref=|ψref〉〈ψref|,ρ(t)=|ψ(t)〉〈ψ(t)| .由方程(6)即可得動力學(xué)密度距離:

動力學(xué)波函數(shù)距離D(ψref,ψ(t)) 也可用相同的方法得到.由于波函數(shù)距離和密度距離之間具有一一映射關(guān)系,下文僅展示動力學(xué)密度距離的結(jié)果.

由圖3 的相圖可知,當(dāng)δ=0,隨著λ的增加,體系在λ=2 處發(fā)生拓展-局域轉(zhuǎn)變.如圖4(a)所示,選擇δ=0,λ ∈(0,4) 的參數(shù)范圍,從下至上無序強度λ逐漸增加.在藍(lán)線區(qū)域D(ρref,ρ(t)) 隨著t的增加而減小.在t=0時,體系尚未開始演化,此時體系處于局域態(tài),與參考態(tài)間存在巨大的差異,因此動力學(xué)密度距離呈現(xiàn)最大值2.但隨著體系的演化,動力學(xué)密度距離的值下降.這是因為系統(tǒng)逐漸演化至拓展相,體系與參考態(tài)所處的相逐漸接近,兩者的距離不斷減小.而在紅線處D(ρref,ρ(t))的值一直在2 附近振蕩,這代表此時體系與參考態(tài)的距離最大,體系沒有產(chǎn)生較大的變化,仍處于局域相.從藍(lán)線到紅線的變化,展現(xiàn)了拓展-局域轉(zhuǎn)變,這與定態(tài)情況下無序強度λ控制AAH 模型產(chǎn)生相變的規(guī)律是一致的.正如前文所言,廣義AAH模型為研究拓展-臨界相變提供了便利.同樣,由圖3 可知,當(dāng)λ=0,隨δ的增長體系在δ/J=1 處發(fā)生拓展-臨界轉(zhuǎn)變.選擇λ=0,δ ∈(0,4) 的參數(shù)范圍,在該條線上展現(xiàn)了動力學(xué)密度距離隨拓展-臨界轉(zhuǎn)變的變化.圖4(b)密度距離的動力學(xué)演化看似與圖4(a)一致,但仍然存在差異.首先是D(ρref,ρ)只有少數(shù)幾條粉色線的值趨于2,而大多數(shù)紅色線的密度距離的值是介于1.75—2 之間的.這說明在δ處于一個較大值時,體系并非為局域相,而是穩(wěn)定在了一個拓展與局域之間的相,即臨界相.其次是圖4(a)與圖4(b)中藍(lán)線的疏密程度不同,圖4(b)中的線條明顯比圖4(a)稀疏,這說明拓展-臨界產(chǎn)生相變點的位置早于拓展-局域產(chǎn)生相變的位置.

為了進(jìn)一步從密度距離的動力學(xué)行為中得到明確的相變點,首先給定了動力學(xué)密度距離D(ρref,ρ(t))隨時間t變化快慢的冪律關(guān)系:

并在圖4(c)和圖4(d)中分別展示了γ作為λ和δ的函數(shù)的變化.在圖4(c)中,不同尺寸下都具有相似的行 為,即隨著λ的增加 |γ| 逐漸增加,并在λ=2減小至0 不再變化.這個過程明顯展現(xiàn)了拓展到局域的轉(zhuǎn)變,并給出了相變點.同樣可以得到γ與δ的關(guān)系,如圖4(d)所示.在δ=1 處,γ穩(wěn)定于一個略小于0 的值,尺寸越大效果越明顯,這說明在δ=1 處產(chǎn)生了拓展-臨界相變.

4.2 態(tài)密度距離

上述內(nèi)容顯示,波函數(shù)距離和密度距離兩種度量在靜力學(xué)和動力學(xué)研究中均可用于找到量子相變點,這啟發(fā)我們將該度量函數(shù)推廣至態(tài)密度分布函數(shù)g(E),

其中,Ei為約化能量:

式中ε為系統(tǒng)的本征能量.以λ=0.01,δ=0 為參考系統(tǒng),如圖5(a)所示,藍(lán)線為δ=0,態(tài)密度距離隨λ的變化曲線.態(tài)密度距離隨著λ的增大,經(jīng)歷了一個先增加再減小的變化,在臨界點λ=2 處達(dá)到最大值,態(tài)密度距離的這種變化代表了拓展-局域轉(zhuǎn)變.由此可以推測出即便從波函數(shù)的角度來看,處于拓展相的系統(tǒng)與臨界相的系統(tǒng)之間的差異并不特別明顯,而是與處于局域相的系統(tǒng)之間的差異性最大.但從能譜的角度來看,反而是處于拓展相的系統(tǒng)與局域相的系統(tǒng)之間比較接近,而與處于臨界相的系統(tǒng)具有較大的差異.圖5(a)中的紅線進(jìn)一步說明了拓展相的能譜與臨界相的能譜間具有較大的差距.紅線展現(xiàn)的是當(dāng)λ=0,態(tài)密度距離隨δ的變化.在該參數(shù)范圍內(nèi),隨著δ的增大,態(tài)密度距離先增大并在δ=1 處趨于一個飽和值,體系經(jīng)歷了拓展臨界相變,相變即為δ=1 .這與3.2 節(jié)及4.1 節(jié)中的結(jié)論是一致的.為了易于理解,圖5(b)給出了不同相的態(tài)密度分布圖像.紅線、藍(lán)線、綠線分別代表拓展態(tài)、臨界態(tài)和局域態(tài)的約化態(tài)密度圖.從圖中能夠很直觀地看出,臨界態(tài)的態(tài)密度與其他兩個相具有非常大的不同.臨界相的能譜具有豐富的分型結(jié)構(gòu),這可能是導(dǎo)致其與其他相的態(tài)密度距離相差巨大的原因,而這種特殊的結(jié)構(gòu)能夠從態(tài)密度距離中體現(xiàn)出來.

圖5 態(tài)密度距離圖(a)在L=610下,以 λ=0.01, δ=0為參考系統(tǒng)的態(tài)密度距離隨參數(shù)的變化.紅線為當(dāng) λ=0,態(tài)密度距離隨參數(shù) δ 的變化.藍(lán)線為當(dāng) δ=0,態(tài)密度距離隨參數(shù) λ 的變化.(b)以基態(tài)為零能點,當(dāng) δ=0 ,λ=1.0,2.0,4.0,即紅線、藍(lán)線、綠線,分別代表拓展態(tài)、臨界態(tài)和局域態(tài)的約化態(tài)密度圖.無序平均次數(shù)為50 次Fig.5.Density of state distance: (a) At L=610,density of state distance of the reference system varies with parameters λ and δ .The red line represents the variation of the density-of-state distance with parameter δ when λ=0 .The blue line represents the variation of the density of state distance with parameter λ when δ=0 .(b) Reduced density of states by taking the ground state as the zero-energy point.δ=0 ,λ=1.0,2.0,4.0,namely,the red line,blue line,and green line,respectively,represent the extended state,critical state,and localized state.The disorder realizations are 50.

5 總結(jié)與展望

本文介紹了度量空間中的距離的概念,用這一概念理解了IPR 和保真度,并且用波函數(shù)距離和密度分布函數(shù)距離研究了廣義AAH 模型的相圖,發(fā)現(xiàn)不僅可以標(biāo)識不同的物質(zhì)相,給出準(zhǔn)確的相變點,還能計算出與其他文獻(xiàn)相符的臨界指數(shù).在此基礎(chǔ)上,將距離推廣到波包擴(kuò)散動力學(xué)和態(tài)密度分布函數(shù)距離中,都得到了一致的結(jié)果.這一研究不僅有助于理解現(xiàn)有的物理量,同時提供了一種直觀的探測新奇物質(zhì)態(tài)的方式——直接比較系統(tǒng)在不同非熱參數(shù)下的本征態(tài)、密度分布、態(tài)密度分布函數(shù)的差異,找到不同的物質(zhì)相和準(zhǔn)確的相變點,并描繪其臨界行為.距離這一概念同樣也易推廣到其他物理量中,通過比較物理量間的距離變化與波函數(shù)、能譜的距離變化,或許能夠幫助我們找出波函數(shù)或能譜對系統(tǒng)性質(zhì)的不同影響.此外由于其簡單、直觀和易推廣的特點,這些概念有望在實驗中得到應(yīng)用.