劉育昊，張兵，方子今

（1. 航天科工空間工程發(fā)展有限公司，北京 100854；2. 航天科工第二研究院 研究生院，北京 100854）

0 引言

隨著空間目標(biāo)的日益增多以及空間環(huán)境的日漸復(fù)雜，各國對于空間態(tài)勢感知能力的要求越來越高，而空間目標(biāo)天基觀測系統(tǒng)是未來空間態(tài)勢感知的重要發(fā)展方向［1］。前人在天基空間目標(biāo)觀測領(lǐng)域也做了很多的研究。文獻(xiàn)［2］研究了對于一個確定目標(biāo)找到一條燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道采用機動變軌方式進(jìn)行觀測的問題，該方法存在觀測效率低，付出代價大的缺點。文獻(xiàn)［3］研究了采用不變軌的方式對多個目標(biāo)進(jìn)行抵近，問題在于它采用雙星基準(zhǔn)確定初軌的方式，該定軌方式對于前2 個目標(biāo)的觀測屬于一個軌道周期內(nèi)完成觀測，并不滿足全局最優(yōu)，且該方式對于目標(biāo)的位置與時間要求較高。此外，它簡單地滿足了距離約束，并未考慮天光地影條件以及相對角速度約束對于觀測效果的影響。

為了獲得更好的觀測效果，在滿足天光地影約束條件以及相對角速度約束條件下，觀測距離越近越好。在一次空間觀測任務(wù)中，航天器所帶燃料十分有限，而最為節(jié)省燃料的方式就是航天器在自身軌道上自然飛行的同時實現(xiàn)對目標(biāo)的觀測［4-9］。

本文重點研究了在滿足天光地影約束條件和相對角速度約束條件下，從優(yōu)化軌道六根數(shù)的角度出發(fā)，對多目標(biāo)進(jìn)行近距離掠飛觀測的軌道設(shè)計方法，解決了在空間天基領(lǐng)域觀測效率低、效果不好的問題。

1 空間多目標(biāo)觀測模型

1.1 求解兩軌道面目標(biāo)的最近距離

1.1.1 理論最近距離求解

如圖1 所示，假設(shè)航天器A和目標(biāo)衛(wèi)星T1的軌道均為近圓軌道。航天器A的軌道面P與目標(biāo)衛(wèi)星T1軌道面P1存在交線L1，理論上當(dāng)航天器A與目標(biāo)衛(wèi)星T1同時運行到交線的同一端的時候，它們之間的距離將達(dá)到最小值，此時的最小值只是理論上的最小值，航天器和衛(wèi)星要經(jīng)過長時間的在軌運行，利用軌道高度差產(chǎn)生的周期差，才可能使它們同時到達(dá)交線位置。然而從實際情況來說，通常是不能同時運行到交線上的，總是會差一些相位，即得不到這個理論最小值，所以我們需要計算在一定的時長內(nèi)，航天器與目標(biāo)所能達(dá)到的最近距離［3］。

圖1 兩軌道面日標(biāo)最近距離示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the nearest distancebetween targets on two orbit planes

根據(jù)以上分析可知，航天器與目標(biāo)之間的最近距離在它們軌道面交線得到，由此可以得到一個一定時長內(nèi)航天器與目標(biāo)最近距離的求解方案：在一定時長內(nèi)，求出航天器位于軌道面交線上的各個時刻以及這些時刻目標(biāo)在軌道上所對應(yīng)的位置，然后求出這些位置點與地心連線與交線夾角的角度，最小角度所對應(yīng)目標(biāo)點的位置即為這段時間內(nèi)航天器與目標(biāo)最近距離所對應(yīng)的位置，公式推導(dǎo)如下。

由軌道根數(shù)可得軌道面的法向矢量為

假設(shè)航天器軌道面與目標(biāo)衛(wèi)星軌道面的法向矢量分別為n1和n2，由此可以得到兩軌道面的交線矢量為

偏心率單位矢量為

當(dāng)航天器與目標(biāo)衛(wèi)星同時到達(dá)交線位置時，由交線矢量RC及偏心率單位矢量e可求得航天器與目標(biāo)衛(wèi)星的真近點角f1和f2分別為

假定航天器與目標(biāo)衛(wèi)星在各自軌道上真近點角分別為f1和f2處的地心矢量分別為R1和R2，此時航天器與目標(biāo)衛(wèi)星理論上的最近距離為

因為2 個軌道面有2 個交點，將f1和f2加上180°后，依舊利用式（5）即可求得航天器與目標(biāo)衛(wèi)星在交線另一端的最近距離理論值Rmin，由此即可得到航天器與目標(biāo)衛(wèi)星的理論最近距離。

1.1.2 實際最近距離求解

以上計算的是航天器與目標(biāo)衛(wèi)星理論上的最小距離，而在實際運行當(dāng)中幾乎不可能達(dá)到理論上最小值所對應(yīng)的位置。接下來是對限定時間內(nèi)，航天器與目標(biāo)衛(wèi)星實際所能達(dá)到最近距離的求解。

將航天器在交線處的真近點角轉(zhuǎn)化成偏近點角：

將偏近點角再轉(zhuǎn)化為平近點角：

航天器在軌道上的平動速度為

式中：μ為地心引力常數(shù)；a1為航天器軌道半長軸；e1為偏心率矢量e1的大小。

由此可以得到航天器通過交線位置的時刻為

式中：tp1為航天器通過近地點的時刻。

在t1基礎(chǔ)上加上航天器周期的整數(shù)倍即可得到航天器每次通過交線處的時刻為t1i(i=0，1，2，…，Imax)，其中，Imax為限定時間內(nèi)，航天器在軌道上運行的最大圈數(shù)。通過所求得的t1i可以求得目標(biāo)衛(wèi)星在對應(yīng)時刻的平近點角，進(jìn)而可得到對應(yīng)的真近點角f2i。

接下來計算在一定的時間內(nèi)，每次航天器運行到交線位置上時，目標(biāo)衛(wèi)星與交線位置處的真近點角之差，并找出這個差值的最小值fmin以及當(dāng)差值最小時所對應(yīng)的時刻tmin為

此時，找出fmin所對應(yīng)的真近點角，得出目標(biāo)衛(wèi)星在它軌道上真近點角為處的地心矢量，進(jìn)而得到航天器與目標(biāo)衛(wèi)星實際上的最近距離為

1.2 天光地影光照條件

為了獲得對空間目標(biāo)的良好觀測效果，除了要滿足適宜的距離約束以外，良好的光照條件也是必不可少的條件。首先，目標(biāo)不能處于地球的陰影之中，即要滿足地影光照條件約束；其次，觀測航天器要在目標(biāo)的順光位置進(jìn)行觀測［10］。

1.2.1 地影光照條件約束

光學(xué)觀測要求目標(biāo)是被照亮的，不能被地球遮擋住太陽的光線。設(shè)地心慣性坐標(biāo)系中，目標(biāo)的位置矢量為rT，太陽位置矢量為rsun，RE是地球半徑。令

則

依如下判斷方法判斷空間目標(biāo)是否處于地影之中：當(dāng)D＞0 時：空間目標(biāo)在地影之外，滿足地影觀測條件。當(dāng)D≤0 時：當(dāng)≥H2時，目標(biāo)衛(wèi)星在地影之外，滿足觀測條件；當(dāng)＜H2時，目標(biāo)衛(wèi)星在地影之內(nèi)，不滿足觀測條件。

地影光照條件示意圖如圖2 所示。

圖2 地影光照條件示意圖Fig. 2 Schematic diagram of ground shadow illumination conditions

1.2.2 天光光照條件約束

為了保證航天器對目標(biāo)良好的觀測效果，除了目標(biāo)要處于地影之外，觀測器與目標(biāo)衛(wèi)星的相對位置也很重要，即觀測器要處于順光位上進(jìn)行觀測。此時觀測器-目標(biāo)衛(wèi)星-太陽之間的相角αsun小于某個門限值（＜90°）。如果相角太大，則說明此時觀測衛(wèi)星是在背光的位置對目標(biāo)進(jìn)行觀測，此時目標(biāo)觀測面沒有光線反射，顯得比較暗，觀測困難，對于設(shè)備的識別能力以及觀測精度都有很大的影響，沒有辦法保證良好的觀測效果。

根據(jù)上述所說，給出一個合理的可觀測時刻觀測器-目標(biāo)衛(wèi)星-太陽的太陽相角值是十分必要的。太陽角光照條件約束的示意圖如圖3所示。

圖3 太陽角光照條件示意圖Fig. 3 schematic diagram of solar angle illumination conditions

已知地心慣性系中衛(wèi)星到目標(biāo)的矢量為

因此，太陽相角αsun可由式（17）求得：

1.3 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

在進(jìn)行1.2 里光照條件的判定時，要計算特定時刻的太陽矢量rsun。首先計算出的太陽矢量rsun是在慣性坐標(biāo)系中的，而進(jìn)行天光地影光照條件判斷的時候，需要將rsun轉(zhuǎn)移到軌道坐標(biāo)系中。

如圖4 所示，地心慣性坐標(biāo)系Oxyz定義為：原點O位于地球中心，x軸指向春分點，z軸指向地球的北極，y軸與x軸和z軸組成右手坐標(biāo)系。軌道坐標(biāo)系(O0x0y0z0)定義為O0原點位于衛(wèi)星質(zhì)心，z0軸與衛(wèi)星的矢徑共線并指向地心，x0軸位于軌道平面內(nèi)，與衛(wèi)星運動方向相同，y0軸同理與x0軸和z0軸組成右手坐標(biāo)系［11］。

圖4 慣性坐標(biāo)系和軌道坐標(biāo)系Fig. 4 Inertial and orbital coordinate systems

本文采用間接轉(zhuǎn)換法進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，根據(jù)衛(wèi)星軌道根數(shù)計算慣性坐標(biāo)系到軌道坐標(biāo)系的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，從而實現(xiàn)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。該方法的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

式中：Lx，Lz分別為繞x，z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣；u，i和Ω分別為衛(wèi)星開普勒軌道參數(shù)中的緯度幅角、軌道傾角和升交點赤經(jīng)；L001為坐標(biāo)軸的反向矩陣，且

1.4 瞬時相對角速度計算

在進(jìn)行天基觀測的時候，觀測器與目標(biāo)衛(wèi)星在滿足了良好光照條件和距離約束的情況下，還需滿足相對角速度的約束才能實現(xiàn)良好的觀測效果。如果相對角速度過大，超過了某一最大限定值wmax，觀測器對于目標(biāo)衛(wèi)星將來不及進(jìn)行調(diào)姿觀測，同樣無法獲得良好的觀測效果。因此，為了保證良好的觀測效果，對于觀測器與目標(biāo)衛(wèi)星相對角速度的約束也是十分必要的。

如圖5 所示，假設(shè)觀測器在某時刻t相對于地心的位置矢量為r1，目標(biāo)衛(wèi)星相對于地心的位置矢量為r2，二者的相對位置矢量為rT1=r2-r1。經(jīng)過一個極短時間Δt后，在t+ Δt時刻，觀測器相對于地心的位置矢量為，目標(biāo)衛(wèi)星相對于地心的位置矢量為，二者的相對位置矢量為=。此時視線角變化為

圖5 相對角速度計算示意圖Fig. 5 Schematic diagram of relative angular velocity calculation

此時可計算出瞬時相對角速度為

當(dāng)w≤wmax時，可視為觀測器在時刻t對目標(biāo)衛(wèi)星的觀測符合相對角速度約束。

2 粒子群優(yōu)化算法

為了找到對于多個目標(biāo)觀測距離最小的軌道，就要對觀測器軌道的初始狀態(tài)進(jìn)行優(yōu)化，即對觀測器軌道的初始六根數(shù)進(jìn)行優(yōu)化從而確定初始軌道以實現(xiàn)觀測器對多個目標(biāo)衛(wèi)星的觀測。粒子群算法（partical swarm optimization，PSO）是用于解決優(yōu)化問題的典型算法?；舅枷胧峭ㄟ^群體中個體之間的協(xié)作和信息共享來尋找最優(yōu)解［12-13］。

在PSO 中，每個優(yōu)化問題的潛在解都是搜索空間中的一只鳥，抽象為粒子，每個粒子都有一個由目標(biāo)函數(shù)決定的適應(yīng)值，以及決定它們飛行的方向和距離。PSO 具有實現(xiàn)容易、精度高、收斂快等優(yōu)點。

2.1 確立目標(biāo)函數(shù)

有m個目標(biāo)分別在各自的軌道上運行，觀測器也在自己的軌道上運行。觀測器有自己的最大觀測距離Rmax，在一定的時間內(nèi)，觀測器有機會接近目標(biāo)。當(dāng)觀測器與目標(biāo)的距離在Rmax之內(nèi)，且滿足1.2中的天光地影條件和1.4 中的相對角速度約束時，即可視為觀測成功，而當(dāng)觀測距離越近的時候可視為觀測效果最好。設(shè)對第1 個目標(biāo)的觀測距離為R1，對第m個目標(biāo)的觀測距離為Rm，目標(biāo)函數(shù)設(shè)為

當(dāng)以上目標(biāo)函數(shù)取得最小值的時候，即可認(rèn)為實現(xiàn)了對該m個目標(biāo)的最佳觀測。

2.2 算法流程

粒子群算法由隨機解出發(fā)，通過迭代來尋找最優(yōu)解。每個粒子在搜索空間中單獨搜尋最優(yōu)解，并將其記為當(dāng)前個體極值與整個粒子群里的其他粒子共享，找到最優(yōu)的個體極值作為整個粒子群當(dāng)前的全局最優(yōu)解，粒子群中所有粒子根據(jù)自己當(dāng)前的個體極值與當(dāng)前的全局最優(yōu)解來調(diào)整自己的位置和速度。

首先，要設(shè)置粒子的最大速度區(qū)間，防止超出最大的空間。位置信息即為整個搜索空間，即為觀測器軌道六根數(shù)的范圍。在任務(wù)開始時刻的軌道高度范圍設(shè)置為目標(biāo)軌道高度上下最大觀測距離的范圍內(nèi)。因目標(biāo)衛(wèi)星軌道為近圓軌道，觀測器軌道也應(yīng)為近圓軌道，所以偏心率設(shè)置為一個接近于0 的極小數(shù)即可。軌道傾角的搜索范圍設(shè)置為0°～90°。升交點赤經(jīng)的搜索范圍為0°～360°。因軌道為近圓軌道，近地點幅角的意義不是很大，因此設(shè)定為0°～360°之內(nèi)的任意數(shù)即可。以上5 個根數(shù)可將觀測器的軌道確立下來，真近點角的意義是觀測器在任務(wù)開始時在軌道上的位置，搜索范圍也為0°～360°即可。由此可將搜索空間確立下來。在速度區(qū)間與搜索空間上隨機初始化粒子的速度與位置，設(shè)置群體規(guī)模為m。

個體極值為每個粒子找到的歷史上最優(yōu)的位置，并從這些個體歷史最優(yōu)解中找到一個全局最優(yōu)解，并與歷史最優(yōu)解比較，選出最優(yōu)解作為當(dāng)前歷史最優(yōu)解［14-16］。

速度與位置的更新公式如下：

式中：w為慣性因子；Ci為加速常數(shù)；x1和x2為[0，1]上的隨機數(shù)；Pid為第i個變量的個體最優(yōu)解；Pgd表為當(dāng)前全局最優(yōu)解；Xid為個體最優(yōu)解對應(yīng)的粒子的位置。

當(dāng)達(dá)到最大迭代次Gmax時，停止尋優(yōu)。算法流程圖如圖6 所示。

圖6 粒子群算法流程圖Fig. 6 Flow chart of particle swarm optimization

3 仿真校驗

3.1 仿真條件

任務(wù)背景是有3 顆低軌衛(wèi)星在軌飛行，觀測器本身在自身軌道上飛行，目標(biāo)衛(wèi)星在2022-01-01 T 00：00：00 的軌道參數(shù)如表1 所示。觀測器的最大觀測距離為30 km，最大的觀測太陽角為90°，最大相對角速度為10 （°）/s。任務(wù)時長為2 個月，要設(shè)計一個觀測器的觀測軌道，使得觀測器在軌飛行2 個月的時間里對于3 個目標(biāo)的綜合觀測距離最小。太陽矢量的計算以2021-01-01 T 00：00：00 的太陽矢量參數(shù)為基準(zhǔn)進(jìn)行遞推計算。

表1 目標(biāo)軌道根數(shù)Table 1 Orbit parameters of the target

3.2 仿真結(jié)果與分析

設(shè)置好粒子群算法參數(shù)，慣性因子w設(shè)置為0.9，加速常數(shù)C1和C2設(shè)置為0.5，種群大小設(shè)置為50，迭代次數(shù)設(shè)置為25，在觀測器六根數(shù)的可取范圍內(nèi)進(jìn)行尋優(yōu)。

目標(biāo)函數(shù)為3 顆衛(wèi)星觀測距離的均方根，目標(biāo)函數(shù)隨迭代數(shù)的變化如圖7 所示。

圖7 綜合距離迭代圖Fig. 7 Iterative graph of comprehensive distance

最終優(yōu)化出的最優(yōu)觀測距離為9.127 5 km，優(yōu)化出的最優(yōu)結(jié)果所對應(yīng)的觀測器在2022-01-01 T 00：00：00 所對應(yīng)的軌道根數(shù)如表2 所示。

表2 觀測器軌道根數(shù)Table 2 Orbit alparameters of the observer

達(dá)到對3 個目標(biāo)綜合觀測距離最小的情況下，對各個目標(biāo)的具體觀測數(shù)據(jù)如表3 所示。

表3 對各個目標(biāo)的觀測數(shù)據(jù)Table 3 Observation data of each target

在綜合最優(yōu)觀測距離情況下，目標(biāo)與觀測器的軌道位置如圖7 所示。

由圖7 綜合距離變化圖可以看出，結(jié)果收斂效果良好，最終的綜合距離優(yōu)化結(jié)果在10 km 以內(nèi)，能夠在完全不變軌的情況下實現(xiàn)對3 個目標(biāo)的較近距離觀測，且完全滿足天光地影觀測條件，能夠獲得較為良好的觀測效果。由圖8 目標(biāo)與觀測器的軌道位置圖可知，對目標(biāo)的近距離觀測只能在兩軌道的“十字路口”附近實現(xiàn)，符合實際。

圖8 目標(biāo)與觀測器軌道位置圖Fig. 8 Orbit diagram of target and observer

由表2 可以得到，最優(yōu)的觀測器軌道高度會比目標(biāo)的軌道高度偏移一定的距離，這個距離不能太小也不能太大，太小將會導(dǎo)致觀測器軌道周期與目標(biāo)軌道的周期差太小，不容易通過周期差來消除相位之間的差距，太大將會導(dǎo)致觀測器對于目標(biāo)軌道的可視范圍變小從而觀測成功的機率變小且觀測距離變大而導(dǎo)致觀測效果的降低。目標(biāo)的軌道傾角都比較大，所以在極地附近，目標(biāo)會稍顯密集，當(dāng)觀測器軌道傾角比較大的時候，“十字路口”會出現(xiàn)極地附近，更容易觀測到目標(biāo)。

4 結(jié)束語

針對空間目標(biāo)的觀測效率低，觀測效果不好，燃料不夠等問題，本文基于粒子群算法對觀測器軌道的六根數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，提出一種多目標(biāo)掠飛觀測接近軌道的設(shè)計方法，利用觀測器軌道與目標(biāo)軌道高度之差而產(chǎn)生的周期之差抵消交線處相位與目標(biāo)相位之差，以實現(xiàn)以消耗時間為代價，在不變軌消耗燃料的情況下實現(xiàn)對多個空間目標(biāo)的近距離觀測。最后利用Matlab 仿真來驗證方法的合理性。本文對空間目標(biāo)觀測的研究可以為我國未來空間觀測領(lǐng)域研究提供一定的理論基礎(chǔ)。