周海侖，曹剛毅，馮祚崐，閆玉奇，尹訓(xùn)彥

（1.沈陽航空航天大學(xué) 航空發(fā)動(dòng)機(jī)學(xué)院，遼寧 沈陽 110136；2.遼寧省航空推進(jìn)系統(tǒng)先進(jìn)測(cè)試技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽 110136）

0 引 言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)、地面燃?xì)廨啓C(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械的工作轉(zhuǎn)速與各階臨界轉(zhuǎn)速之間的安全裕度需滿足20%的安全裕度要求[1]。為了滿足這一安全要求，常常會(huì)在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的支承位置加入鼠籠彈性支承，并通過控制鼠籠彈性支承的剛度來使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有柔性，進(jìn)而控制、調(diào)整臨界轉(zhuǎn)速[2]。為了能夠準(zhǔn)確地控制鼠籠剛度，學(xué)者們對(duì)鼠籠彈性支承開展了大量的研究。

宴礪堂等[3]初步推導(dǎo)了鼠籠剛度的理論計(jì)算公式。但后續(xù)學(xué)者在研究過程中發(fā)現(xiàn)，用該公式計(jì)算的剛度精度較低。于是馮國(guó)全等[4]根據(jù)各籠條截面主彎方向與受力方向不一致的特點(diǎn)研究了鼠籠剛度的優(yōu)化計(jì)算公式。但徐寧[5]在研究過程中發(fā)現(xiàn)，隨著鼠籠剛度的增加，優(yōu)化公式的計(jì)算精度逐漸降低。為此，彭京徽[6]利用截面慣性矩對(duì)該公式進(jìn)行了進(jìn)一步的優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到了梯形籠條鼠籠的剛度計(jì)算公式。宋譚等[7]將籠條等效為弧形截面梁，利用極坐標(biāo)法修正了鼠籠彎曲剛度的計(jì)算公式。

雖然學(xué)者們不斷地對(duì)鼠籠剛度理論公式進(jìn)行優(yōu)化，但理論公式仍然無法滿足工程需要。為此，學(xué)者們對(duì)鼠籠進(jìn)行了相關(guān)的試驗(yàn)研究，并且隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元法也被廣泛應(yīng)用于鼠籠的相關(guān)研究。

徐方程[8]通過對(duì)軸承懸掛重物來模擬軸承傳遞給鼠籠的載荷以此來測(cè)量鼠籠的剛度，同時(shí)也對(duì)鼠籠進(jìn)行了有限元分析。研究結(jié)果表明，有限元仿真得到的剛度要比試驗(yàn)剛度高3%～13%。彭京徽等[9,10]同樣用懸掛重物的方法對(duì)鼠籠進(jìn)行了測(cè)試，并且用數(shù)值仿真分析了根部倒角對(duì)剛度、應(yīng)力的影響，研究表明，根部圓倒角能增加鼠籠剛度并且能有效減少應(yīng)力集中。Senthilkumar[11]利用根部圓倒角能效減少應(yīng)力集中的特性，通過設(shè)計(jì)圓倒角增加了鼠籠的高周疲勞壽命。Li[12]利用液壓系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)對(duì)鼠籠進(jìn)行無級(jí)加載，并利用該系統(tǒng)對(duì)鼠籠的剛度進(jìn)行了測(cè)量，同時(shí)還對(duì)鼠籠進(jìn)行了動(dòng)態(tài)特性數(shù)值仿真，試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果吻合度較高。孫彥博等[13]用ABAQUS 和ADINA 同時(shí)對(duì)鼠籠彈性支承進(jìn)行了仿真，二者的最大變形量幾乎一致，互相驗(yàn)證了準(zhǔn)確性。

雖然眾多學(xué)者利用有限元法來對(duì)鼠籠進(jìn)行相關(guān)的數(shù)值分析，但鮮有學(xué)者對(duì)鼠籠數(shù)值仿真中的網(wǎng)格劃分以及外力加載方式進(jìn)行詳細(xì)的研究。為此，本文對(duì)鼠籠條和根部圓倒角進(jìn)行了網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上研究了外力加載方式對(duì)鼠籠剛度的影響，最后通過相關(guān)試驗(yàn)來對(duì)數(shù)值仿真進(jìn)行驗(yàn)證。

1 鼠籠剛度的理論分析和計(jì)算

傳統(tǒng)鼠籠剛度計(jì)算公式[3]為：

式中：n為鼠籠條數(shù)目；E為材料彈性模量；a為籠條長(zhǎng)邊長(zhǎng)度；b為籠條短邊長(zhǎng)度；L為鼠籠條長(zhǎng)度。

利用籠條受力方向和主彎方向不一致的特點(diǎn)，式(1)可被優(yōu)化為[4]：

從籠條周向、徑向截面慣性矩入手可以推導(dǎo)出帶有梯形籠條的鼠籠剛度計(jì)算公[6]式：

式中：h為籠條截面高度；a為籠條矩形截面長(zhǎng)邊長(zhǎng)度；b為籠條截面短邊寬度。

將籠條等效為弧形截面梁，并利用極坐標(biāo)法，則鼠籠剛度計(jì)算公式可修正為[7]：

式中：L為鼠籠條長(zhǎng)度；E為材料彈性模量；N為鼠籠條數(shù)目；r1為鼠籠內(nèi)徑；r2為鼠籠外徑；α為籠條兩邊之間的夾角和；θ為第一個(gè)籠條邊與y 軸正方向之間的夾角。

2 鼠籠剛度的數(shù)值仿真

試驗(yàn)法能得到相對(duì)可靠的鼠籠剛度，但是需要在加工出實(shí)物后才能進(jìn)行，且需要建立合理的測(cè)試工裝夾具，配置高精度傳感器，測(cè)試過程也會(huì)存在一定誤差。

因此，工程中可利用有限元法對(duì)鼠籠剛度進(jìn)行計(jì)算，有限元法可以較高精度地計(jì)算鼠籠彈性支承剛度，能夠滿足工程需求。

參照某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)的鼠籠彈支結(jié)構(gòu)，建立了鼠籠的有限元數(shù)值計(jì)算模型，為了提高計(jì)算效率，將對(duì)鼠籠剛度影響較小的細(xì)節(jié)特征進(jìn)行簡(jiǎn)化，單元類型采用六面體SOLID185 單元，鼠籠的有限元網(wǎng)格模型如圖1所示。

圖1 鼠籠網(wǎng)格模型

根據(jù)航空發(fā)動(dòng)機(jī)中鼠籠的實(shí)際受力情況，將鼠籠分為固定端和受力端。有限元模型中，將固定端施加全約束邊界條件，受力端施加外力荷載。鼠籠邊界條件如圖2所示。

圖2 鼠籠邊界條件示意圖

2.1 網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)

對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行加密處理能有效地提高有限元計(jì)算精度，但隨著網(wǎng)格數(shù)的不斷增加，計(jì)算求解所需的時(shí)間也在不斷增加。實(shí)際工程中，需要對(duì)模型的關(guān)鍵部位進(jìn)行加密處理，而受約束、載荷影響較小的部位可以采用較為稀疏的網(wǎng)格，從而將有限的計(jì)算資源用到對(duì)計(jì)算結(jié)果影響較大的部位[14]。

鼠籠在受到軸承傳遞的徑向載荷時(shí)，會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的應(yīng)力和應(yīng)變，鼠籠應(yīng)力分布如圖3所示。

圖3 鼠籠應(yīng)力分布示意圖

從圖3 可發(fā)現(xiàn)，鼠籠在工作過程中應(yīng)力主要集中在鼠籠條和根部倒角位置。因此，為了提高計(jì)算精度，需要對(duì)鼠籠條和根部倒角位置的網(wǎng)格進(jìn)行加密處理。為了平衡計(jì)算精度和計(jì)算效率，需要對(duì)鼠籠條和鼠籠條根部倒角的網(wǎng)格進(jìn)行加密處理和網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證。

2.1.1 鼠籠條網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)

對(duì)鼠籠條進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)時(shí)，將鼠籠條根部位置的倒角劃分為2層網(wǎng)格，鼠籠承力端和鼠籠固定端用六面體網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格尺寸選擇為2mm，鼠籠條網(wǎng)格尺寸從2mm 逐漸減小，鼠籠條網(wǎng)格如圖4 所示。

圖4 鼠籠條網(wǎng)格示意圖

鼠籠條網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。從圖5的網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)鼠籠條網(wǎng)格尺寸小于1.25mm 后鼠籠剛度數(shù)值仿真結(jié)果趨于穩(wěn)定。為了提高后續(xù)數(shù)值仿真的準(zhǔn)確性，鼠籠條網(wǎng)格尺寸均采用1mm網(wǎng)格。

圖5 鼠籠條網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)結(jié)果

2.1.2 根部圓倒角網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)

對(duì)鼠籠條根部圓倒角進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)時(shí)，鼠籠條網(wǎng)格尺寸選擇為1mm，承力端和固定端部分選擇用2mm 的六面體網(wǎng)格進(jìn)行劃分。鼠籠條根部網(wǎng)格數(shù)從一個(gè)逐漸增加，鼠籠條根部倒角網(wǎng)格如圖6所示。

圖6 根部倒角網(wǎng)格

鼠籠條根部倒角網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)結(jié)果如圖7 所示。

圖7 根部倒角網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)結(jié)果

從網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)鼠籠條根部倒角網(wǎng)格數(shù)大于7時(shí)，根部倒角的網(wǎng)格數(shù)便不再影響鼠籠的剛度。

為此，在后續(xù)的數(shù)值仿真中，鼠籠根部倒角的網(wǎng)格數(shù)選定為7。

2.2 外力加載方式影響分析

鼠籠在實(shí)際工作過程中受到軸承傳來的徑向載荷而產(chǎn)生變形。在數(shù)值仿真中，常用的外力加載方式有單點(diǎn)加載、周向多節(jié)點(diǎn)加載[9]、周向區(qū)域節(jié)點(diǎn)加載[11]以及剛性域中節(jié)點(diǎn)加載[8]，加載方式的不同會(huì)對(duì)鼠籠剛度的數(shù)值仿真結(jié)果產(chǎn)生影響。不同外力加載方式如圖8所示。

圖8 不同載荷加載方式示意圖

外載荷加載方式為單點(diǎn)加力時(shí)，為了避免出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，需要將加載節(jié)點(diǎn)附近的節(jié)點(diǎn)與加載節(jié)點(diǎn)進(jìn)行剛化位移協(xié)同，如圖9所示。根據(jù)圣維南原理[15]，將靜力用等效力系替代只會(huì)產(chǎn)生加載位置局部應(yīng)力的改變，而對(duì)整體應(yīng)力和應(yīng)變幾乎無影響。

圖9 加載節(jié)點(diǎn)附近的剛性域

當(dāng)加載方式為剛性域加載時(shí)，需要在承力端的中心位置建立一個(gè)無質(zhì)量點(diǎn)，該無質(zhì)量點(diǎn)與同軸向位置的內(nèi)圈節(jié)點(diǎn)進(jìn)行剛化位移協(xié)同操作，并在該無質(zhì)量點(diǎn)上加載外力。采用剛性域加載時(shí)，外力加載示意圖如圖10所示。

圖10 剛性域加載示意圖

不同外力加載方式的數(shù)值仿真結(jié)果列于表1。

表1 不同加載方式數(shù)值結(jié)果對(duì)比

由表1 中數(shù)值仿真結(jié)果可知，外力加載方式對(duì)鼠籠剛度的影響較大。其中，采用單節(jié)點(diǎn)加載得到的鼠籠剛度最小，通過剛性域加載得到的鼠籠剛度最大。

造成這一現(xiàn)象的主要原因?yàn)槭蠡\承力端發(fā)生變形，不同外力加載條件下，鼠籠承力端變形情況如圖11所示。

圖11 不同加載方式下鼠籠承力端變形結(jié)果

承力端受到外力載荷后，承力端頂部和底部的位移并不一定相等，即鼠籠承力端由正圓形變形成了近似橢圓形，文獻(xiàn)[8]通過懸掛試驗(yàn)法證實(shí)了這一點(diǎn)。

當(dāng)外載荷加載方式為單節(jié)點(diǎn)加力時(shí)，承力端的剛性最弱，變形最明顯，從而導(dǎo)致使用該外載荷加載方式得到的鼠籠剛度最低。而當(dāng)外力加載方式為剛性域加載時(shí)，承力端幾乎不存在形變，因此得到的鼠籠剛度最大。

鼠籠彈性支承的承力端安裝有軸承，軸承通常具有較大的剛度，軸承外滾道緊貼鼠籠承力端的內(nèi)壁面。在軸承外滾道的影響下，鼠籠承力端在徑向外力的作用下會(huì)產(chǎn)生整體的位移而非局部形變，因此軸承結(jié)構(gòu)對(duì)鼠籠起到加強(qiáng)剛度的作用。為此，我們建立帶軸承的數(shù)值仿真模型并研究外力加載方式對(duì)鼠籠剛度的影響。帶軸承外滾道的鼠籠網(wǎng)格模型如圖12所示。

圖12 含軸承外滾道的鼠籠網(wǎng)格模型

對(duì)含軸承外圈的鼠籠模型進(jìn)行不同外力加載方式對(duì)鼠籠剛度的影響研究，數(shù)值仿真結(jié)果列于表2。

表2 含軸承的鼠籠在不同外力加載方式下的剛度

在建模中考慮軸承后，外力加載方式對(duì)鼠籠剛度的影響大幅度減小，并且數(shù)值仿真結(jié)果貼近不考慮軸承建模時(shí)采用剛性域加載的數(shù)值仿真結(jié)果。

從以上數(shù)值仿真研究中可以發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)格尺寸、外力加載方式和鼠籠工作狀態(tài)均對(duì)數(shù)值仿真的結(jié)果有較大的影響。為了使數(shù)值仿真結(jié)果更加準(zhǔn)確，需要根據(jù)鼠籠的實(shí)際工作狀態(tài)建立正確的模型并選擇合適的邊界條件。

3 鼠籠剛度試驗(yàn)測(cè)試研究

為了測(cè)得鼠籠彈性支承的剛度，只需在鼠籠的承力端加外力，并利用傳感器測(cè)量出承力端的徑位移。為此設(shè)計(jì)并搭建了鼠籠彈支剛度試驗(yàn)測(cè)試臺(tái)，如圖13所示。

圖13 鼠籠剛度試驗(yàn)測(cè)試臺(tái)

試驗(yàn)測(cè)試過程中，通過轉(zhuǎn)動(dòng)加載螺母來改變加載螺桿的拉力。拉力傳感器的一端與加載螺桿相連接，另一端與傳力桿相連接。拉力傳感器能實(shí)時(shí)記錄加載螺桿的拉力F，在轉(zhuǎn)動(dòng)加載螺母的過程中能夠?qū)崿F(xiàn)拉力的無級(jí)加載。

傳力桿為細(xì)長(zhǎng)金屬桿，具有較高的軸向剛度。傳力桿一端與拉力傳感器相連，一端與鼠籠相連，將加載螺桿的拉力傳遞到鼠籠上使鼠籠產(chǎn)生位移。

在鼠籠上與傳力桿相對(duì)的位置安裝電渦流傳感器，實(shí)時(shí)記錄鼠籠的徑向位移x。

在測(cè)量到加載外力F和鼠籠徑向位移x后，便可根據(jù)胡克定律K=F/x計(jì)算出鼠籠剛度，試驗(yàn)過程中使用的鼠籠結(jié)構(gòu)及參數(shù)如圖14 所示，關(guān)鍵參數(shù)列于表3。

表3 鼠籠關(guān)鍵參數(shù)

圖14 試驗(yàn)所用鼠籠結(jié)構(gòu)及參數(shù)

根據(jù)鼠籠剛度試驗(yàn)臺(tái)的測(cè)試特點(diǎn)，數(shù)值仿真時(shí)外力加載方式選擇為單節(jié)點(diǎn)加載，并測(cè)量與加載節(jié)點(diǎn)成180°位置處的節(jié)點(diǎn)位移。邊界條件設(shè)置如圖15所示。

圖15 鼠籠邊界條件設(shè)置

鼠籠剛度的試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果如圖16所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，兩次試驗(yàn)的外力—位移線的斜率基本一致，表明了兩次試驗(yàn)測(cè)試得到的剛度基本相同，兩次試驗(yàn)得到的鼠籠剛度平均值為3.87×106N/m。

圖16 鼠籠剛度試驗(yàn)結(jié)果

鼠籠剛度參數(shù)化計(jì)算公式采用式(3)，用各方法計(jì)算得到的鼠籠剛度結(jié)果列于表4。

表4 鼠籠剛度計(jì)算結(jié)果

試驗(yàn)測(cè)試過程中，鼠籠的承力端并未安裝軸承，因此，承力端在受到加載外載荷時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一定的彈性形變。數(shù)值仿真中觀察到鼠籠承力端產(chǎn)生的彈性形變?nèi)鐖D17所示。

圖17 鼠籠承力端變形數(shù)值仿真結(jié)果

由于鼠籠剛度測(cè)試試驗(yàn)臺(tái)的特點(diǎn)，電渦流傳感器測(cè)量的位移為鼠籠承力端的最小位移，會(huì)導(dǎo)致試驗(yàn)測(cè)試得到的鼠籠剛度略大于鼠籠的實(shí)際剛度。

數(shù)值仿真結(jié)果整體上與試驗(yàn)結(jié)果保持一致，在后續(xù)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，可用有限元法對(duì)鼠籠剛度進(jìn)行預(yù)估。參數(shù)化計(jì)算公式得到的鼠籠剛度與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果相差略大，因此不宜用于直接計(jì)算鼠籠剛度，但在鼠籠結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中，參數(shù)化計(jì)算公式能夠?yàn)槭蠡\設(shè)計(jì)提供方向。

4 總 結(jié)

本文對(duì)鼠籠彈性支承的數(shù)值仿真計(jì)算進(jìn)行了細(xì)化研究，包括鼠籠網(wǎng)格模型網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)和外力加載方式的研究。研究結(jié)果表明：

(1)鼠籠條網(wǎng)格尺寸和鼠籠條跟部圓倒角會(huì)對(duì)鼠籠剛度的數(shù)值仿真結(jié)果產(chǎn)生一定的影響，為了提高數(shù)值仿真精度，需要對(duì)鼠籠條網(wǎng)格和根部圓倒角的網(wǎng)格進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證。

(2)外力加載方式的不同會(huì)影響鼠籠承力端的剛性，進(jìn)而影響鼠籠剛度的計(jì)算值。對(duì)于航空發(fā)動(dòng)機(jī)支點(diǎn)位置的鼠籠，軸承外滾道會(huì)限制鼠籠承力端的形變，因此在數(shù)值仿真時(shí)，考慮軸承建模后，外力加載方式對(duì)鼠籠剛度的影響減小，且數(shù)值仿真結(jié)果趨近于通過剛性域加載得到的鼠籠剛度。

(3)設(shè)計(jì)并搭建了鼠籠剛度試驗(yàn)臺(tái)，試驗(yàn)臺(tái)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)外載荷的無級(jí)加載，并借助試驗(yàn)臺(tái)對(duì)鼠籠剛度進(jìn)行了試驗(yàn)測(cè)試。

(4)根據(jù)試驗(yàn)過程中的實(shí)際狀況選擇合適的邊界條件，研究發(fā)現(xiàn)鼠籠剛度的試驗(yàn)測(cè)試值與數(shù)值仿真結(jié)果處于同一水平，且相對(duì)誤差較小。因此，在工程實(shí)際中可以利用數(shù)值仿真來獲得鼠籠的剛度。