李思達(dá)

在月球背面的諸多環(huán)形山中，有5座以中國古代天文學(xué)家命名，分別是祖沖之、郭守敬、張衡、石申和萬戶環(huán)形山。在5座環(huán)形山中，郭、張、石、萬4座都是1970年被國際天文聯(lián)合會正式批準(zhǔn)的，獨有位于月緯17.16°N，月經(jīng)145.16°E的祖沖之環(huán)形山早了9年，1961年就獲得了國際天文學(xué)會的認(rèn)可。

提起祖沖之，我們也許第一時間想到的是他在公元5世紀(jì)作出的杰出數(shù)學(xué)成就，也就是眾所周知的圓周率π精確近似值以及約、密率。

但人們還忽略了，他不僅是名出色的數(shù)學(xué)家，更是一位在歷法上作出突出貢獻(xiàn)的天文學(xué)家。

祖沖之，字文遠(yuǎn)，祖上是北方范陽（今河北淶水縣）人，他本人則是土生土長的江南人。北方的范陽祖氏跑到南方生根，自然是因為西晉末永嘉大亂。

祖沖之生于元嘉六年（429），大明五年（461），祖沖之首次出仕（"釋褐"）就被任命為南徐州刺史劉子鸞的從事、公府參軍，可見當(dāng)時的皇帝劉駿對他的重視，也許正是因為如此，祖沖之才能作出一項重大的天文改革——修改傳統(tǒng)歷法，推出《大明歷》。

創(chuàng)造出燦爛農(nóng)業(yè)文明的中華先民出于生產(chǎn)需要，很早就對歷法產(chǎn)生了濃厚的興趣，而且經(jīng)過長期的對日月運行規(guī)律的觀察和總結(jié)，他們創(chuàng)造出了一套較為罕見的陰陽歷結(jié)合的歷法，即以一次月圓（或月缺）到下次月圓（或月缺）為基準(zhǔn)定月（朔望月），而以當(dāng)年冬至到次年冬至為基準(zhǔn)定年（回歸年）。這么定的好處在于以朔望月定月，抬頭即可確定時間，方便確定；以回歸年定年，每年季節(jié)大致相同，方便生產(chǎn)。

然而，朔望月實際是月球繞地球周期時長，回歸年是地球繞太陽時長，兩者并不能整除，每月按大小月分別為30或29天，算下來12月為354天，但回歸年共365.25天，兩者有11天左右的差距。為解決此問題，古代天文歷法家采用置閏法加以補齊，也就是每隔兩三年就多加一個"閏月"，由此又衍生出一個新問題：那么到底該多少年置一閏月？

解決方案早在先秦時期就被提出，人們在實踐中發(fā)現(xiàn)19個回歸年的時長同235個朔望月差不多相當(dāng)，便在正常19年的228個月外另加7個閏月敉平差距。由于古人將19年稱為一"章歲"，19年7閏也就被稱為"章歲法"。從漢代開始流行的"四分歷"，正是基于"章歲法"制定的。

很顯然，"章歲法"只是一種近似，時間一長誤差就會越來越大，到南北朝時人們已然發(fā)現(xiàn)，"章歲法"雖然能將日子合上，但每月時間卻同當(dāng)月原應(yīng)有的季節(jié)產(chǎn)生了偏差，對一個需要按月份節(jié)氣進(jìn)行農(nóng)業(yè)生產(chǎn)安排的國家來說，這無疑是天大的噩耗，修正歷法的需求也變得迫切起來。

終于，祖沖之在經(jīng)過反復(fù)計算后，認(rèn)為每年實際為365.24281481日，而現(xiàn)代天文學(xué)所測一年為365.24219879日，誤差只有65萬分之一，約50秒。因而提出改為391年置144閏月。

《南齊書·祖沖之傳》，祖沖之生于南朝劉宋文帝元嘉六年（429），卒于南齊永元二年（500），因而被列入《南齊書》列傳。不過，他生平心血所編制的《大明歷》在宋齊兩朝因為種種緣故都未能付諸實施，直到他去世10年后梁武帝天監(jiān)九年（510）方才施行。

祖沖之為什么能將回歸年確定得如此精確？最主要的原因，就是他引入了當(dāng)時最先進(jìn)的天文發(fā)現(xiàn)成果——東晉天文學(xué)家虞喜確認(rèn)的赤道歲差。

所謂赤道歲差，是一種地球自轉(zhuǎn)軸運動引起的春分點位移現(xiàn)象。

制定準(zhǔn)確的歷法，使用歲差確定每年時長是一個方面，另一方面自然就是確定冬至點時刻。中國古代歷法向來以冬至點為回歸年開始，確定具體冬至點時刻也成為歷法的重中之重。在相當(dāng)長的一段時間內(nèi)，古人測定冬至的方法很粗糙，就是將一年當(dāng)中正午日影最長之日定為冬至日，誤差能以天計。從西漢開始，天文學(xué)家意識到精度需要從天提高到具體時刻，開始嘗試尋找具體的冬至?xí)r刻點，到何承天時，通過改進(jìn)測量手段，已經(jīng)將精度提高到50刻左右。正是在這些測量手段之上，祖沖之通過一個極為巧妙的數(shù)學(xué)處理方法，又將冬至點精度提高了一大截。

祖沖之通過數(shù)學(xué)方法將難以測量的時間實際轉(zhuǎn)換為幾何計算，從而大大減小了誤差。按他的方法，人們根本不用連續(xù)觀測，只需在冬至日前后觀測即可，考慮到此時只是公元5世紀(jì)，他的數(shù)學(xué)思維實在讓人嘆服。事實上，在祖沖之編制的《大明歷》中處處都有精妙的計算，他不僅準(zhǔn)確計算了交點月值（月亮兩次經(jīng)過黃道與白道交點時長）為27.21223日，同現(xiàn)代觀測相差只有百萬分之一，使得推算月食更為精確——《大明歷》能準(zhǔn)確推算出元嘉十三年（436）到大明三年（459）中4次日食。除此之外，祖沖之還推算出木星公轉(zhuǎn)周期為11.858年（現(xiàn)代測定11.862年），確定了水星、金星運轉(zhuǎn)一周所需時間，都同現(xiàn)代天文觀測相近，要不是因為其他緣原因，光憑一本《大明歷》說他是偉大數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家都已足矣。

不過無須遺憾，因為遮掩他歷法中數(shù)學(xué)才華的不是別的，正是他在數(shù)學(xué)上的另一項偉大成果—計算出精確圓周率，提出了約率（22/7）和密率（355/113）。

圓周長和半徑之比π到底是多少？這不僅是人們研究天文必然遇到的問題，更是人們只要進(jìn)行生產(chǎn)生活就會遇到的問題。人類最早有關(guān)圓周率的記載約于公元前16世紀(jì)的埃及萊因德數(shù)學(xué)紙草書（Rhind Mathematical Papyrus），算得圓周率為3.1605。當(dāng)時古埃及人常用經(jīng)驗公式確定π值，方法也很簡單：他們將谷子擺放在圓周和直徑上，通過計算谷子比例可以得到π的近似值。

中國古代最早的數(shù)學(xué)著作之一，約成書于西漢末的《周髀算經(jīng)》提到"圓徑一二周三"，顯然是將π值定為3，即古人所稱的"古率"，雖然只是π很粗略的近似值，但以當(dāng)時的數(shù)學(xué)發(fā)展水平，沒有辦法算出更好的值，因而在成書于東漢初的《九章算術(shù)》中也都在使用“古率”。

中國人得出較為精確的π值始于西漢末新莽時期。

新莽嘉量，又名律嘉量斛，通高25.6厘米，現(xiàn)藏臺北故宮博物院。該青銅量具將五種量具融于一體，“其上為斛、其下為斗，左耳為升，右耳為合，合下為龠”，背面銘文則說明了斛的具體尺寸，從中可推算出當(dāng)時制作者所使用的π值約為3.1547。

此后東漢張衡、蔡邕也都是使用經(jīng)驗公式給出了近似π值，張衡認(rèn)為等于3.1622（10開方）；蔡邕認(rèn)為等于25/8，直到魏晉之際，數(shù)學(xué)家劉徽在給《九章算術(shù)》做注時，才第一次給出求圓周率的幾何方法——割圓術(shù)。

阿基米德通過同時構(gòu)造圓內(nèi)接和外切正多邊形，然后計算其周長以取得周長近似值，重復(fù)該步驟求得圓周率約為3.1409。

祖沖之正是在劉徽等人的基礎(chǔ)上，同他兒子祖暅（亦有記載為祖暅之）將圓周率推到一個新高峰，精確到小數(shù)點后7位。

盡管他使用的仍然是幾何方法，但國外要直到15世紀(jì)才由中亞數(shù)學(xué)家阿爾卡西（al-Kashi）打破了他的記錄，計算到小數(shù)點后14位，更為精確的計算則要等到18世紀(jì)中葉后，西方數(shù)學(xué)家掌握無窮級數(shù)、積分、冪級數(shù)展開等近代數(shù)學(xué)工具才得以實現(xiàn)。

此外，不容忽略的是，祖沖之給出了簡便而又精度甚高的約率和密率，約率大概是根據(jù)劉徽給出π近似值157/50而來，通過解不定方程，得到第一組解即為22/7，而密率大約為祖沖之獨創(chuàng)，但后世已不知道他是如何求出此解，只能猜測可能是使用了何承天的"調(diào)日法"（數(shù)值逼近的內(nèi)插法），或是使用了連分?jǐn)?shù)法求最佳漸進(jìn)分?jǐn)?shù)，但不管是何種方法，西方直到1573年才由德國數(shù)學(xué)家重新算出。以是而言，祖沖之對圓周率的計算領(lǐng)先世界千年之久。

無論是《大明歷》還是圓周率，祖沖之的成就可謂震古爍今，而他取得偉大成就的最根本緣由，無疑就是超人的數(shù)學(xué)思維。然而讓后人遺憾的是，記載他和祖暅數(shù)學(xué)思想的《綴術(shù)》在唐代就失傳，以至于后世根本無從了解祖氏父子的計算方法，只能從他人轉(zhuǎn)述的殘片中領(lǐng)略兩人風(fēng)采。比如，祖暅曾在《綴術(shù)》中提到"冪勢既同，則積不容異"，意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等?；蛘哒f，介于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等。祖暅原理直到17世紀(jì)才被西方學(xué)者卡瓦列里（Cavalieri）發(fā)現(xiàn)，而在中國早被祖氏父子熟練用于求出牟合方蓋體積，進(jìn)而算出球體積。

事實上，祖暅原理的證明需要用到定積分，在當(dāng)時需要相當(dāng)抽象的立體幾何能力才能理解，由此也可想見《綴術(shù)》難度之大。唐高宗時，此書被列入《算術(shù)十經(jīng)》，為國子監(jiān)數(shù)學(xué)教材之一，但專研《綴術(shù)》的學(xué)習(xí)年限為四年，是《算術(shù)十經(jīng)》中最長的一種?！毒Y術(shù)》之抽象難懂甚至還引發(fā)一樁公案，《緝古算經(jīng)》的作者、數(shù)學(xué)家王孝通在唐高祖時為歷算博士、太史丞，公然批評《綴術(shù)》"全錯不通"，結(jié)果太宗群臣編寫組就在《隋書·律歷志》暗中發(fā)出嘲笑："（《綴術(shù)》）學(xué)官莫能究其深奧，是以廢而不理"。

好在，祖沖之和他兒子光輝的學(xué)術(shù)成果遠(yuǎn)比一切命運打擊都更為長久。千年以降，祖沖之之名不僅沒有被人遺忘，還走出國門，登上了月球。