郝文華

(北京師范大學(xué)鹽城附屬學(xué)校 224007)

1 引言

近年來(lái),高中數(shù)學(xué)公開課、優(yōu)質(zhì)課、示范課、研討課等教學(xué)活動(dòng)課的選題,不再以常規(guī)的新授課為主,而更偏向于單元起始課、章末復(fù)習(xí)課、大單元主題教學(xué)等課型的設(shè)置．對(duì)于此類課題,教學(xué)設(shè)計(jì)的難度有所增加,對(duì)教師整體把握課程內(nèi)容要求更高,教學(xué)設(shè)計(jì)與課堂實(shí)踐存在的問題也較多．特別是章末復(fù)習(xí)課,不僅具有“綜合性、系統(tǒng)性、 問題性、應(yīng)用性”等特點(diǎn),同時(shí)還承載著“查漏補(bǔ)缺、凝練提升、拓展遷移”的核心任務(wù).常規(guī)意義上的“知識(shí)點(diǎn)+練習(xí)題”的復(fù)習(xí)模式問題日益凸顯,難以達(dá)成素養(yǎng)要求．張奠宙先生就曾指出:“公開課中難見好的復(fù)習(xí)課,大多是大容量、快節(jié)奏、高密度的解題訓(xùn)練課．”[1]單元復(fù)習(xí)課不能單純地上成習(xí)題訓(xùn)練課,不能忽視知識(shí)、思想方法間的聯(lián)系與整合,更不能忽略學(xué)生的自主探索與思考,教學(xué)設(shè)計(jì)需高度立意、整體構(gòu)建、深挖思想、關(guān)注思維．本文以2023年6月中旬筆者執(zhí)教的一節(jié)市級(jí)公開課(蘇教版新教材選擇性必修第二冊(cè)第六章“空間向量與立體幾何”章末復(fù)習(xí)課)為例,探討如何從“問題設(shè)計(jì)”的視角進(jìn)行章末復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)．

2 課前思考與教學(xué)過(guò)程

2.1 課前思考

作為市級(jí)公開課,一節(jié)課復(fù)習(xí)一個(gè)單元內(nèi)容,自然會(huì)想到留與舍、主與次的問題,雖不能面面俱到,卻不失結(jié)構(gòu)性與連續(xù)性,這就需要整體把握教材內(nèi)容,提煉數(shù)學(xué)本質(zhì),發(fā)掘邏輯關(guān)系,構(gòu)建結(jié)構(gòu)體系,設(shè)計(jì)授課主線．

(1)教材導(dǎo)引

在高一學(xué)習(xí)“平面向量”和“立體幾何初步”的基礎(chǔ)上,繼續(xù)學(xué)習(xí)“空間向量與立體幾何”．類比平面向量的研究過(guò)程,體會(huì)平面向量與空間向量的共性和差異．運(yùn)用向量法研究空間基本圖形位置關(guān)系及測(cè)量問題,感悟向量是研究幾何問題的有效工具．

(2)新課標(biāo)要求

理解空間向量的概念、運(yùn)算、背景和作用,能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關(guān)系的想象力;掌握空間向量基本定理,體會(huì)其作用,并能簡(jiǎn)單應(yīng)用;能夠運(yùn)用空間向量解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題,體會(huì)用向量解決一類問題的思路;教學(xué)應(yīng)凸顯“幾何與代數(shù)”的數(shù)學(xué)本質(zhì),即用代數(shù)方法研究幾何問題,并給出代數(shù)結(jié)論合理的解釋．本章主要培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算三大學(xué)科素養(yǎng)．

(3)學(xué)情分析

通過(guò)必修第二冊(cè)“立體幾何初步”章節(jié)相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)具備用判定定理和性質(zhì)定理來(lái)證明平行和垂直問題、用傳統(tǒng)方法來(lái)求比較基礎(chǔ)的空間角問題、用等體積法來(lái)求空間距離的能力;通過(guò)必修第二冊(cè)“平面向量及其應(yīng)用”及選擇性必修第二冊(cè)中“空間向量與立體幾何”的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)初步掌握了用空間向量解決立體幾何問題的基本路徑及方法,但對(duì)整體把握向量的工具性作用及稍復(fù)雜的空間角及距離的求解還需進(jìn)一步加強(qiáng)．

(4)課時(shí)目標(biāo)

能夠正確選擇解決空間幾何問題的方法(幾何法、圖形向量法、坐標(biāo)向量法);能夠用向量法解決空間基本位置關(guān)系和度量問題．

(5)教學(xué)策略

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》也指出,高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)[2]．作為一節(jié)單元復(fù)習(xí)課,為了促進(jìn)學(xué)生形成完整的知識(shí)體系,形成教—學(xué)—評(píng)完整閉環(huán),筆者計(jì)劃站在大單元的高度組織復(fù)習(xí)內(nèi)容,以向量的工具性作用為主線,以合理的問題串驅(qū)動(dòng)教學(xué),通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生自主探討來(lái)促使其進(jìn)一步掌握用向量解決問題的基本路徑,踐行“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”的教學(xué)理念．

2.2 教學(xué)過(guò)程

問題1為什么要引入空間向量?空間向量的主要作用是什么?

設(shè)計(jì)意圖如圖1,通過(guò)回顧平面向量在平面幾何中的應(yīng)用及立體幾何初步的學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):平面向量解決空間立體幾何問題具有很大的局限性,這就要求我們引入空間向量,充分體現(xiàn)引入空間向量的必要性．繼而回顧利用空間向量解決立體幾何問題的兩個(gè)方向:一個(gè)是研究空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系,另一個(gè)就是求空間中的距離及夾角．

圖1

問題2下列問題所涉及的基礎(chǔ)知識(shí)你還記得嗎?

(1)已知a=(0,1,1),b=(1,0,2),c=(1,1,0),則(a·b)c=．

(2)已知空間向量a=(2,-1,1),b=(1,1,2),則|a+b|=;向量a與b的夾角為．

(3)設(shè)a=(1,0,1),b=(0,-1,1),c=(1, -2,x),若三向量a,b,c共面,則實(shí)數(shù)x=．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)4道極為簡(jiǎn)單的小題來(lái)回顧空間向量的相關(guān)概念及線性運(yùn)算,包括數(shù)量積的概念、共線與共面定理以及空間向量的基本定理、坐標(biāo)表示及運(yùn)算等,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):與高一學(xué)習(xí)的平面向量相比,除了研究維度不同之外,它們具有高度的一致性,可以認(rèn)為空間向量是平面向量的一個(gè)推廣與延伸,而且這些內(nèi)容都是后續(xù)學(xué)習(xí)向量在立體幾何中應(yīng)用的基礎(chǔ)．

問題3如何運(yùn)用向量方法解決立體幾何中的求解問題?

例1如圖2所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1,且兩兩夾角為60°,求AC1的長(zhǎng)．

圖2

變式訓(xùn)練 求BD1與AC夾角的余弦值．

設(shè)計(jì)意圖例1主要是通過(guò)空間向量“基底法”來(lái)解決空間立體幾何中的長(zhǎng)度及夾角問題,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“找基底—表示相關(guān)向量—向量運(yùn)算—得出結(jié)論”的基本程序,體會(huì)基底法解決立體幾何問題的一般路徑及向量的工具性作用．

問題4如何運(yùn)用空間向量坐標(biāo)法解決立體幾何問題?

例2如圖3,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,點(diǎn)D,E,F分別為棱A1C1,B1C1,BB1的中點(diǎn)．

圖3

(1)求證:直線AC1∥平面DEF;

(2)求平面AC1F與平面DEF夾角的余弦值．

設(shè)計(jì)意圖第一個(gè)小問一般難以采用基底法證明,與例1的方法產(chǎn)生思維沖突,為下一步引出坐標(biāo)法做鋪墊．當(dāng)然,對(duì)于問題(1),證明方法的選取是靈活的,可以先采用綜合法(即幾何法),然后采用空間向量坐標(biāo)法,比較兩種方法的異同點(diǎn),而問題(2)可直接建系解決．對(duì)于坐標(biāo)法解決空間角的求解問題,包含線線角、面面角、二面角、線面角四類,空間距離包括兩點(diǎn)間的距離及點(diǎn)到線、點(diǎn)到面、線到線、線到面、面到面的距離等多種情況,授課中可采用一題多變、追問等方式來(lái)實(shí)施教學(xué)．

(2)若點(diǎn)F是線段BB1的中點(diǎn),求點(diǎn)A到平面DEF的距離．

(3)若點(diǎn)F為棱BB1上的一動(dòng)點(diǎn)(不包括兩個(gè)端點(diǎn)),求點(diǎn)A1到平面AC1F的距離的取值范圍．

(4)在本題中,找出兩條異面直線,并嘗試?yán)每臻g向量坐標(biāo)法求其夾角及距離．

(5)舉例說(shuō)明:利用向量坐標(biāo)法還能解決什么問題?請(qǐng)?jiān)O(shè)置一個(gè)線面角求值問題,并解答．

設(shè)計(jì)意圖此處5個(gè)追問并非簡(jiǎn)單羅列關(guān)系,而是由淺入深、由靜到動(dòng)、由封閉到開放的遞進(jìn)關(guān)系,意在通過(guò)一個(gè)題目的變式來(lái)回顧總結(jié)通性通法,可切實(shí)提升授課效率．

問題5通過(guò)本節(jié)課的復(fù)習(xí),你對(duì)本章內(nèi)容是否有了進(jìn)一步的理解?

設(shè)計(jì)意圖此問主要用來(lái)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):空間向量是平面向量從二維空間向三維空間的推廣,為我們解決立體幾何問題提供了新的視角;利用空間向量的坐標(biāo)表示,可以把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算,從而建立了幾何與代數(shù)的聯(lián)系,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想．

追問對(duì)用向量法解決立體幾何,你是否有了進(jìn)一步的感悟?(圖4)

圖4

設(shè)計(jì)意圖此追問是對(duì)向量方法的一個(gè)總結(jié),也算是一種課時(shí)小結(jié),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),利用空間向量解決立體幾何問題大體上分為三個(gè)步驟,見圖5．

圖5

3 教學(xué)啟示

3.1 注重問題鏈設(shè)置的統(tǒng)籌性、連貫性及導(dǎo)向性

單元復(fù)習(xí)課更應(yīng)體現(xiàn)前后知識(shí)的銜接及思想方法的一致性．通過(guò)設(shè)置具有一定梯度的問題鏈,引導(dǎo)學(xué)生積極思考,逐層深入,在回顧、類比、沖突、探索、歸納中完成對(duì)章節(jié)內(nèi)容理解的整體提升．問題設(shè)計(jì)時(shí)要考慮知識(shí)之間的復(fù)雜聯(lián)系,設(shè)計(jì)的問題應(yīng)貫穿整個(gè)單元的知識(shí)內(nèi)容,并具有一定的指導(dǎo)意義及可操作性,使執(zhí)教者可以從問題鏈中歸結(jié)出授課流程．這就需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)統(tǒng)籌把握教學(xué)內(nèi)容,先設(shè)置若干個(gè)(一般5個(gè)左右)提綱挈領(lǐng)的大問題,即教學(xué)活動(dòng)的主線,教師可在這幾個(gè)“大問題”的主線下,逐步展開教學(xué),以免偏離復(fù)習(xí)主題[3]．在每個(gè)大問題下均可設(shè)置一定數(shù)量的小問題(追問、反問等),用來(lái)分解部分教學(xué)主題或重難點(diǎn)．

3.2 在追問中發(fā)展學(xué)生的高階思維

思維進(jìn)階是問題設(shè)計(jì)的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn),即前一個(gè)問題的解決能夠?qū)笠粋€(gè)問題的學(xué)習(xí)提供幫助,體現(xiàn)出層層遞進(jìn)的關(guān)系[4]．本課問題4中設(shè)置了5個(gè)遞進(jìn)式的追問,它們既涵蓋了單元復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)及思想方法,又契合了學(xué)生的思維水平．追問的設(shè)置應(yīng)遵循“低起點(diǎn)、易入口、上緩坡、漸遞進(jìn)、有發(fā)展”的基本原則,通過(guò)追問式的變式教學(xué),多向構(gòu)建知識(shí)體系,提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,培養(yǎng)高階思維及學(xué)科素養(yǎng)．

3.3 積極探索問題驅(qū)動(dòng)下單元復(fù)習(xí)課新模式

單元復(fù)習(xí)課不是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單梳理,更不是純粹的解題訓(xùn)練,而是一種“回顧—貫通—升華”的過(guò)程．在理解教材及學(xué)情的基礎(chǔ)上,如何通過(guò)設(shè)置合理的問題情境,設(shè)計(jì)具有邏輯性和適切性、遞進(jìn)式的問題鏈,不斷激發(fā)學(xué)生的深度思考,切實(shí)提升章末復(fù)習(xí)效率,是單元復(fù)習(xí)教學(xué)值得探索的一個(gè)問題．