摘?要：文章主要通過(guò)復(fù)合閉路定理、柯西積分公式、留數(shù)定理三種方法去處理幾類積分路徑內(nèi)含有奇點(diǎn)的積分問(wèn)題，并對(duì)它們的適用條件進(jìn)行了比較.在教學(xué)中，有助于對(duì)這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)的引入與講解.

關(guān)鍵詞：奇點(diǎn)；復(fù)合閉路定理；柯西積分公式；留數(shù)定理

Research?on?Progressive?Teaching?of?Complex?Function?and

Integral?Transformation

—Taking?the?Solution?of?Complex?Integral?with?Singularities?as?an?Example

Chi?Jiancheng

Department?of?Basics，Anhui?Sanlian?University?AnhuiHefei?230601

Abstract：The?article?mainly?deals?with?several?types?of?singular?point?problems?with?singularities?in?the integration?path?through?three?methods：compound?closed?circuit?theorem，Cauchy?integral?formula，and?residue?theorem，and?compares?their?applicable?conditions.In?teaching，it?is?helpful?to?introduce?and?explain?these?three?knowledge?points.

Keywords：Singular?point；Compound?Closed?Circuit?Theorem；Cauchy?integral?formula；Residue?theorem

1?概述與預(yù)備定理

作為工科尤其是電氣專業(yè)基礎(chǔ)課程的復(fù)變函數(shù)，其內(nèi)部的知識(shí)點(diǎn)與高等數(shù)學(xué)課程有著較為密切的聯(lián)系，如解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)與二元實(shí)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系、閉曲線上的復(fù)積分與牛頓萊布尼茨公式的關(guān)系等.目前，復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)中，大家對(duì)教學(xué)方法和新的教學(xué)輔助工具的引入研究較為常見(jiàn)，可見(jiàn)參考文獻(xiàn)［5］—［8］，該文章主要在漸進(jìn)式教學(xué)前提下，以含奇點(diǎn)問(wèn)題的積分作為研究對(duì)象進(jìn)行討論.含奇點(diǎn)的閉曲線積分問(wèn)題是復(fù)變函數(shù)課程中的重點(diǎn)問(wèn)題，文章從復(fù)合閉路定理、柯西積分公式、留數(shù)理論三種方法給出了該類問(wèn)題的解題思路，并對(duì)相應(yīng)的區(qū)別與優(yōu)劣給出了比較，從而深化了該部分的教學(xué)效果.

下面依次給出柯西積分定理、復(fù)合閉路定理、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、留數(shù)定理相關(guān)的概念與定理，分別對(duì)應(yīng)于定理1.1、定理1.2、定理1.3、定理1.4、定理1.5.

定理1.1［1］?：如果復(fù)變函數(shù)f（z）在某單連通區(qū)域D內(nèi)部每一點(diǎn)都是解析的，在D內(nèi)任作一條簡(jiǎn)單閉曲線C，那么∮C?f（z）dz=0.

定理1.2［2］?：設(shè)區(qū)域D為多連通區(qū)域，外圈邊界為C，內(nèi)圈邊界為C?1?，C?2?，C?3?，…，C?n?.如果復(fù)變函數(shù)f（z）在多連通區(qū)域D內(nèi)和邊界上都是解析的，則

∮C?f（z）dz=∮C1?f（z）dz+∮C2?f（z）dz+…+∮Cn?f（z）dz.

定理1.3［1］?：如果復(fù)變函數(shù)f（z）在某單連通區(qū)域D內(nèi)部每一點(diǎn)都是解析的，且f（z）在D內(nèi)及其邊界C上皆是連續(xù)的，在D內(nèi)任取一點(diǎn)z?0?，有f（z?0?）=12πi∮C?f（z）z-z?0?dz.

定理1.4［1］?：如果復(fù)變函數(shù)f（z）在某單連通區(qū)域D內(nèi)部每一點(diǎn)都是解析的，且f（z）在D內(nèi)及其邊界C上皆是連續(xù)的，在D內(nèi)任取一點(diǎn)z?0?，有f?n?（z?0?）=n！2πi∮C?f（z）（z-z?0?）?n+1?dz，其中n=1，2，….

定理1.5［4］?：如果復(fù)變函數(shù)f（z）在某區(qū)域D內(nèi)部除去n個(gè)孤立奇點(diǎn)z?1?，z?2?，…，z?n?外的每一點(diǎn)都是解析的，在D內(nèi)取一條包含z?1?，z?2?，…，z?n?的簡(jiǎn)單正向閉曲線C，則

∮C?f（z）dz=2πi{Res［f（z），z?1?］+Res［f（z），z?2?］+…+Res［f（z），z?n?］}.

另外，關(guān)于圓周的復(fù)積分，有如下結(jié)論：

定理1.6［1］?：設(shè)以z?0?為圓心，R為半徑的圓周為C，n為整數(shù)，則∮C?1（z-z?0?）?n?dz=2πi，n=1

0，n≠1.

關(guān)于極點(diǎn)處的留數(shù)，有如下結(jié)論：

定理1.7［3］?：若z?0?是復(fù)變函數(shù)f（z）的n階極點(diǎn)，那么留數(shù)Res［f（z），z?0?］=lim?z→z?0??d?n-1?dz?n-1?［（z-z?0?）?n?f（z）］（n-1）！.

特別地，若n=1，留數(shù)Res［f（z），z?0?］=lim?z→z?0??（z-z?0?）f（z）.

2?應(yīng)用舉例

例題1：求值：∮C?2z（z-1）（z+1）dz，其中簡(jiǎn)單閉曲線C內(nèi)部含有-1，0和1三個(gè)點(diǎn).

解法1（復(fù)合閉路定理）：首先，在C的內(nèi)部，以-1，0和1為圓心作三個(gè)相互外離的小圓C?1?，C?2?和C?3?，從而復(fù)變函數(shù)2z（z-1）（z+1）在C的內(nèi)部，C?1?，C?2?和C?3?的外部，這個(gè)多連通區(qū)域內(nèi)處處解析，從而，

∮C?2z（z-1）（z+1）dz=∮C?1z（z-1）-1z（z+1）dz

=12∮C?1z-1-1z-1z-1z+1dz

=12∮C?1z-1-2z+1z+1dz

考慮到2z（z-1）（z+1）在C?1?，C?2?和C?3?每個(gè)圓內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)，由定理1.1、定理1.2和定理1.6知，

12∮C?1z-1-2z+1z+1dz=12∮C1?1z-1dz-2∮C2?1zdz+∮C3?1z+1dz=12［2πi-2·2πi+2πi］=0.

解法2（柯西積分公式）：類似于解法1，在C的內(nèi)部，以-1，0和1為圓心作三個(gè)相互外離的小圓C?1?，C?2?和C?3?，從而復(fù)變函數(shù)2z（z-1）（z+1）在C的內(nèi)部，C?1?，C?2?和C?3?的外部，這個(gè)多連通區(qū)域內(nèi)處處解析，由定理1.2和定理1.3知，

∮C?2z（z-1）（z+1）dz=∮C1?2z（z-1）z+1dz+∮C2?2（z-1）（z+1）zdz+∮C3?2z（z+1）z-1dz

=2πi2z（z-1）|?z=-1?+2πi2（z-1）（z+1）|?z=0?+2πi2z（z+1）|?z=1

=2πi-4πi+2πi

=0.

解法3（留數(shù)定理）：復(fù)變函數(shù)2z（z-1）（z+1）在C的內(nèi)部的孤立奇點(diǎn)是-1，0和1三個(gè)點(diǎn)，而且均為一階極點(diǎn)，由定理1.7，有Res2z（z-1）（z+1），-1=lim?z→-1?（z+1）2z（z-1）（z+1）=1，

Res［2z（z-1）（z+1），0］=lim?z→0?z2z（z-1）（z+1）=-2，Res2z（z-1）（z+1），1=lim?z→1?（z-1）2z（z-1）（z+1）=1，

再由定理1.5知，

∮C?2z（z-1）（z+1）dz=2πiRes2z（z-1）（z+1），-1+Res2z（z-1）（z+1），0+Res2z（z-1）（z+1），1

=2πi（1-2+1）=0.

例1的三種解法表明，對(duì)于簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)部含奇點(diǎn)問(wèn)題，常可采用復(fù)合閉路定理、柯西積分公式或者高階導(dǎo)數(shù)公式、留數(shù)定理來(lái)進(jìn)行解決.

例題2：求值：∮C?coszz（z-1）?2?dz，其中簡(jiǎn)單閉曲線C內(nèi)部含有0和1兩個(gè)點(diǎn).

解法1（柯西積分公式）：在C的內(nèi)部，以0和1為圓心作兩個(gè)外離的小圓C?1?和C?2?，從而復(fù)變函數(shù)coszz（z-1）?2?在C的內(nèi)部，C?1?和C?2?的外部，這個(gè)多連通區(qū)域內(nèi)處處解析，由定理1.2、定理1.3和定理1.4知，

∮C?coszz（z-1）?2?dz=∮C1?cosz（z-1）?2?zdz+∮C2?coszz（z-1）?2?dz=2πicosz（z-1）?2?|?z=0?+2πi1?。╟oszz）′|?z=1?=2πi（1-sin1-cos1）.

解法2（留數(shù)定理）：復(fù)變函數(shù)coszz（z-1）?2?在C的內(nèi)部的孤立奇點(diǎn)是0和1兩個(gè)點(diǎn)，其中0為一階極點(diǎn)，1為二階極點(diǎn)，由定理1.7，有Rescoszz（z-1）?2?，0=lim?z→0?zcoszz（z-1）?2?=1，Rescoszz（z-1）?2?，1=1（2-1）！lim?z→1?（z-1）2?coszz（z-1）?2?′=-sin1-cos1，再由定理1.5知，

∮C?coszz（z-1）?2?dz=2πiRescoszz（z-1）?2?，0+Rescoszz（z-1）?2?，1=2πi（1-sin1-cos1）.

在本例中，若只用復(fù)合閉路定理，在求內(nèi)圓積分時(shí)，因?yàn)榉肿又泻衏osz，從而定理1.6不再適用，此方法在本題有局限性.

例題3：求值：∮|z-π2|=1?z?2?coszdz.

解：（留數(shù)定理）復(fù)變函數(shù)z?2?cosz在簡(jiǎn)單閉曲線|z-π2|=1的內(nèi)部，僅有π2一個(gè)孤立奇點(diǎn)，而且為一階極點(diǎn)，由定理1.7，有Resz 2?cosz，π2=lim?z→π2?（z-π2）z?2?cosz=lim?z→π2?z?3?-π2z?2?）′（cosz）′=-π?2?4，再由定理1.5知，∮|z-π2|=1?z?2?coszdz=2πiResz?2?cosz，π2=-π?3?i2.

在本例中，因?yàn)榉帜傅男问脚c柯西積分公式適用條件有差異，所以還需要進(jìn)行等價(jià)代換，處理起來(lái)相對(duì)較為復(fù)雜，這也是柯西積分公式在此問(wèn)題中的局限性.本題也不適用于單純的復(fù)合閉路定理方法來(lái)進(jìn)行處理.

結(jié)語(yǔ)

復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)中，知識(shí)點(diǎn)順序是復(fù)合閉路定理在前，柯西積分公式在中，留數(shù)定理在后.在處理含有奇點(diǎn)的積分問(wèn)題時(shí)，由上述三個(gè)例題，通過(guò)比較它們?nèi)齻€(gè)方法的優(yōu)劣，進(jìn)而循序漸進(jìn)地對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行講解，有助于學(xué)生體會(huì)該課程由特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的學(xué)習(xí)過(guò)程，激發(fā)學(xué)生探索興趣.

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基金項(xiàng)目：安徽省教育廳教研重點(diǎn)項(xiàng)目：基于競(jìng)賽—?jiǎng)?chuàng)新機(jī)制下公共數(shù)學(xué)課程教學(xué)綜合改革與實(shí)踐研究（編號(hào)：2022jyxm481）

作者簡(jiǎn)介：池建成（1982—?），男，漢族，碩士，講師，研究方向：群與圖。