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大單元視角下概率與統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)課的教學(xué)探索

2024-03-03 08:17:44郵編230022
關(guān)鍵詞:概率教學(xué)

方 茁 (郵編:230022)

安徽省合肥市第一中學(xué)教育集團(tuán)合肥市第二十八中學(xué)

大單元教學(xué)是圍繞真實(shí)性學(xué)習(xí)任務(wù)開展的,以學(xué)科大概念深化理解為學(xué)習(xí)目標(biāo),按學(xué)科研究過程的邏輯推理,將本單元中的知識(shí)點(diǎn)和學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)整合為一體,以整體學(xué)習(xí)情境和整體學(xué)習(xí)任務(wù)為顯性形式,以可視化作業(yè)的形式呈現(xiàn)學(xué)習(xí)成果,系統(tǒng)化、個(gè)性化地設(shè)計(jì)教與學(xué)的互動(dòng)過程.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大單元教學(xué)要有實(shí)效性,需要教師對(duì)教學(xué)進(jìn)入深入的研究與思考,防止大單元教學(xué)流于形式,難易程度不當(dāng),偏離目標(biāo)等,導(dǎo)致大單元教學(xué)失去意義. 本文以《概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題》為媒,從簡單的問題情境入手,層層推進(jìn),探索單元知識(shí)背后的數(shù)學(xué)規(guī)律和本質(zhì),以期對(duì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)有所啟發(fā).

1 教學(xué)案例

概率與統(tǒng)計(jì)綜合問題這一單元,復(fù)習(xí)時(shí)需要串聯(lián)起四個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合:樣本與方差,概率與分布列,正態(tài)分布與分布列,函數(shù)與最值分布.各知識(shí)點(diǎn)之間呈現(xiàn)出由實(shí)踐到理論,由具體到抽象的遞進(jìn)規(guī)律,復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)要體現(xiàn)出知識(shí)回顧到能力提升的目標(biāo).

1.1 樣本與方差的綜合問題

樣本與方差問題屬于比較基礎(chǔ)的知識(shí),復(fù)習(xí)課中先要回顧全部的概念、公式,總結(jié)以往學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn),再以考題為例進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng),總結(jié)提升.

例1(2023·新高考全國乙?guī)喌?9題)某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn),每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品,隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理,另一個(gè)用乙工藝處理,測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率,甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,…,10),試驗(yàn)結(jié)果如表1所示.

表1

表2

表3

解(1)由題意zi=xi-yi(i=1,2,…,10)的取值為:

所以甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

跟綜訓(xùn)練一為進(jìn)一步增強(qiáng)疫情防控期間群眾的防控意識(shí),使廣大群眾充分了解疫情防護(hù)知識(shí),提高預(yù)防能力,做到科學(xué)防護(hù).某組織通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行疫情防控科普知識(shí)問答.共有100人參加了這次問答,將他們的成績(滿分100分)分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]這六組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.

圖1

(1)求圖中a的值,并估計(jì)這100人問答成績的中位數(shù)和平均數(shù);(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替)

(2)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從問答成績?cè)赱60,80)內(nèi)的人中抽取一個(gè)容量為5的樣本,再從樣本中任意抽取2人,求這2人的問答成績均在[70,80)內(nèi)的概率.

思維升華樣本平均數(shù),方差的計(jì)算,以及給定判斷條件下的樣本關(guān)聯(lián)對(duì)比,屬于基礎(chǔ)題.概率問題以計(jì)算為主,往往和實(shí)際問題相結(jié)合,要注意理解實(shí)際問題的意義,使之與相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)概念和概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來.

1.2 概率與分布列的綜合問題

在上一個(gè)統(tǒng)計(jì)實(shí)踐的模塊中,直觀地對(duì)一些具體的量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)規(guī)律分析和概率計(jì)算,把這些量一般化、抽象化,就是隨機(jī)變量.從統(tǒng)計(jì)問題到隨機(jī)變量的產(chǎn)生,就是從具體到抽象的思維提升.在一個(gè)實(shí)際問題中,需要計(jì)算隨機(jī)事件(隨機(jī)變量取一個(gè)確定值)的概率,根據(jù)計(jì)算的需要和事件關(guān)系的表達(dá),又設(shè)出一些子事件(變量),再根據(jù)實(shí)際問題寫出變量取值的分布列.事件之間的關(guān)系表達(dá)和概率計(jì)算是難點(diǎn),期望和方差計(jì)算相對(duì)比較簡單.

例2(2022·全國甲卷第19題)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.

解(1)設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A,B,C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)依題可知,X的可能取值為0,10,20,30,類似于(1)中的事件表達(dá),易算出P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.44,P(X=20)=0.34,P(X=30)=0.06.

則X的分布列為

E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.

跟蹤訓(xùn)練二杭州亞運(yùn)會(huì)某個(gè)項(xiàng)目招募志愿者需進(jìn)行有關(guān)專業(yè)、禮儀及服務(wù)等方面知識(shí)的測(cè)試,測(cè)試合格者錄用為志愿者.現(xiàn)有備選題10道,規(guī)定每次測(cè)試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試,至少答對(duì)2道題者視為合格,已知每位參加筆試的人員測(cè)試能否合格是相互獨(dú)立的.若甲能答對(duì)其中的6道題,乙能答對(duì)其中的8道題.求:

(1)甲、乙兩人至多一人測(cè)試合格的概率;

(2)甲答對(duì)的試題數(shù)X的分布列和均值.

思維升華概率與分布列等交匯是常見考查形式.求解概率問題時(shí)要明確所求問題所屬的事件類型,把需要求解的問題歸結(jié)到已知的概率模型,利用對(duì)應(yīng)模型的計(jì)算公式,讓思路更清晰,計(jì)算更準(zhǔn)確.

1.3 正態(tài)分布與分布列的綜合問題

正態(tài)分布是統(tǒng)計(jì)與概率進(jìn)階學(xué)習(xí)的重點(diǎn),是統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ),在整個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論構(gòu)建和應(yīng)用中都處于核心的地位,所以圍繞正態(tài)分布開展的理論和實(shí)踐教學(xué)也就需要更加靈活.

例3“雙減”政策,即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的政策,“雙減”政策的出臺(tái)對(duì)校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響.某大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了降低風(fēng)險(xiǎn),尋求發(fā)展制定科學(xué)方案,工作人員對(duì)2022年前200名報(bào)名學(xué)員的消費(fèi)金額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理,其中數(shù)據(jù)如表4所示.

表4

表5

表6

表7

表8

(1)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科主陣地輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛好培訓(xùn)轉(zhuǎn)移,為了深入了解當(dāng)前學(xué)生的興趣愛好,工作人員利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法在消費(fèi)金額在區(qū)間[9,11)和[11,13)內(nèi)的學(xué)員中抽取了5人,再從這5人中選取3人進(jìn)行有獎(jiǎng)問卷調(diào)查,求抽取的3人中消費(fèi)金額為[11,13)的人數(shù)的分布列和均值;

①試估計(jì)該機(jī)構(gòu)學(xué)員2022年消費(fèi)金額ε在區(qū)間[5.2,13.6)內(nèi)的概率(保留一位小數(shù));

②若從該機(jī)構(gòu)2022年所有學(xué)員中隨機(jī)抽取4人,記消費(fèi)金額在區(qū)間[5.2,13.6)內(nèi)的人數(shù)為η,求η的方差.

P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827.

所以X的分布列為

(2)由題意得,

σ2=(4-8)2×0.15+(6-8)2×0.25+(10-8)×0.1+(12-8)2×0.15+(14-8)2×0.05=8,

跟蹤訓(xùn)練三為推動(dòng)更多人去閱讀和寫作,聯(lián)合國教科文組織確定每年的4月23日為“世界讀書日”,其設(shè)立目的是希望居住在世界各地的人,無論你是年老還是年輕,無論你是貧窮還是富裕,都能享受閱讀的樂趣,都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻(xiàn)的思想大師們,都能保護(hù)知識(shí)產(chǎn)權(quán).為了解不同年齡段居民的主要閱讀方式,某校興趣小組在全市隨機(jī)調(diào)查了200名居民,這200人中通過電子閱讀與紙質(zhì)閱讀的人數(shù)之比為3∶1.將這200人按年齡(單位:歲)分組,統(tǒng)計(jì)得到通過電子閱讀的居民的頻率分布直方圖如圖所示.

圖2

(1)求a的值及通過電子閱讀的居民的平均年齡;

(2)把年齡在[15,45) 內(nèi)的居民稱為中青年,年齡在[45,65]內(nèi)的居民稱為中老年,若選出的200人中通過紙質(zhì)閱讀的中老年有30人,請(qǐng)完成下面2×2列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值α=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析閱讀方式是否與年齡有關(guān).

答案(1) 41.5(歲).

思維升華高考常將正態(tài)分布與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查,解決獨(dú)立性檢驗(yàn)問題,要注意過好“三關(guān)”:假設(shè)關(guān)、公式關(guān)、對(duì)比關(guān).求概率問題要準(zhǔn)確判斷事件對(duì)應(yīng)的概率模型.

1.4 函數(shù)最值與分布列的綜合問題

前面幾個(gè)小模塊分別復(fù)習(xí)了各種概率計(jì)算的方法和模型,觀察發(fā)現(xiàn)“概率”是隨機(jī)變量的函數(shù),自然想到與函數(shù)的性態(tài)和最值綜合起來.

(1)求李明這5天參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)的總得分X的分布列和均值;

(2)設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動(dòng)(每天兩局)中,恰有3天每天得分不低于3分的概率為f(p).求p為何值時(shí),f(p)取得最大值.

分布列為

(2)設(shè)一天得分不低于3分為事件A,

則恰有3天每天得分不低于3分的概率

圖3

(1)求北干道的N1,N2,N3,N4四個(gè)易堵塞路段至少有一個(gè)被堵塞的概率;

(2)若南干道被堵塞路段的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及均值E(X);

(3)若按照“平均被堵塞路段少的路線是較好的高峰期出行路線”的標(biāo)準(zhǔn),則從城西開往城東較好的高峰期出行路線是哪一條?請(qǐng)說明理由.

思維升華解決這類綜合題解決的前提是能正確求出概率,再結(jié)合函數(shù)求最值的方法求概率的最值.其中還需要合理地對(duì)式子化簡變形,使之更適合求導(dǎo)或者其他求最值的方法.概率與統(tǒng)計(jì)問題在近幾年的高考中背景取自現(xiàn)實(shí),題型新穎,綜合性增強(qiáng),難度加深,主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)據(jù)分析能力,并綜合了代數(shù)推理和計(jì)算能力,是未來考查的重要領(lǐng)域和方向.

2 教學(xué)啟示

大單元教學(xué)過程中,大單元教學(xué)設(shè)計(jì)比傳統(tǒng)的單課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)更具有挑戰(zhàn)性,通過單元教學(xué),教師的教學(xué)設(shè)計(jì)視野從單課時(shí)的微觀范疇轉(zhuǎn)向更為廣闊的單元宏觀范疇,能夠從單元整體上把握教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容和方法. 教師不能照本宣科地“教教材”,而需要根據(jù)教材的特點(diǎn),有重點(diǎn)地對(duì)相關(guān)性很強(qiáng)的知識(shí)進(jìn)入深入淺出的歸納,這種歸納不是概念的重復(fù)和羅列,而是一種源于課本而又高于課本的知識(shí)凝練和提升.教師必須從教材中的小單元走出來,將其轉(zhuǎn)化、重組或重新構(gòu)建有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的教學(xué)單元,“用教材去教”.從教學(xué)內(nèi)容看,以一個(gè)“單元”為相對(duì)獨(dú)立的教學(xué)單位,強(qiáng)調(diào)從單元這個(gè)整體出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué),突出內(nèi)容和過程的連續(xù)性和整體性;從教學(xué)目標(biāo)看,在單元教學(xué)這個(gè)相對(duì)完整的過程中,三維目標(biāo)的有機(jī)融合和有效落實(shí)問題逐步得以實(shí)現(xiàn);從教學(xué)方法看,單元教學(xué)需要依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和某個(gè)單元的教學(xué)內(nèi)容,設(shè)計(jì)合理的,有一定思維梯度的學(xué)習(xí)的過程,注重階段性和層次性,避免了傳統(tǒng)課時(shí)教學(xué)的隨意性和盲目性.

大單元教學(xué)以其多元整合,均衡協(xié)調(diào)的特點(diǎn),在傳統(tǒng)和現(xiàn)代之間找到了一條學(xué)科教學(xué)與活動(dòng)教學(xué)兼顧的道路,做到了對(duì)教材的整體建構(gòu)和延伸超越.大單元教學(xué)不僅能適合不同層次的學(xué)生,減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān),激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的螺旋式上升,還能訓(xùn)練學(xué)生的思維能力,提高學(xué)習(xí)效率和復(fù)習(xí)的實(shí)效性.

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