曹 原，賈 凱，杜振軍，徐 方

（1.中國科學(xué)院沈陽自動化研究所機器人學(xué)國家重點實驗室，遼寧 沈陽 110016；2.中國科學(xué)院機器人與智能制造創(chuàng)新研究院，遼寧 沈陽 110169；3.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；4.沈陽新松機器人自動化股份有限公司，遼寧 沈陽 110168）

1 引言

隨著社會的進步，機器人技術(shù)的發(fā)展，工業(yè)機器人中誕生了一種能夠與人一同協(xié)作，并與人類共同完成不同任務(wù)的一類機器人—協(xié)作機器人。協(xié)作機器人解決了傳統(tǒng)工業(yè)機器人部署成本高、無法滿足中小型企業(yè)需求、無法滿足新興協(xié)作市場需求等缺點，被廣泛的應(yīng)用在醫(yī)療、食品、物流、精密加工、科研、3C 等行業(yè)，為工業(yè)機器人的發(fā)展開啟了新時代［1］。

桌面級協(xié)作機器人是未來機器人發(fā)展的一個重要方向［2］，它具有低成本、小型化、模塊化等特點，能夠好的服務(wù)于科研、教育、醫(yī)療等行業(yè)。基于模塊化關(guān)節(jié)設(shè)計了六自由度（6R）桌面級協(xié)作機械臂，并分析了機械臂的正、逆運動學(xué)，對機械臂逆運動學(xué)的求解在算法上進行了優(yōu)化；最后基于CoppeliaSim建立了虛擬樣機，并聯(lián)合Matlab進行仿真分析，驗證了結(jié)果的正確性與可行性。

2 桌面級協(xié)作機械臂設(shè)計

2.1 模塊化關(guān)節(jié)

為滿足6R協(xié)作機械臂小型化、模塊化的需求，設(shè)計采用了模塊化關(guān)節(jié)，該關(guān)節(jié)輸出扭矩更大，運行更穩(wěn)定，高度集成化使得機械臂整體體積更小，具體參數(shù)，如表1所示。

表1 模塊化關(guān)節(jié)具體參數(shù)Tab.1 Modular Joint Specific Parameters

2.2 機械臂設(shè)計方案對比

桌面級6R協(xié)作機械臂有效負(fù)載1kg，外形設(shè)計盡量小型化，機械臂關(guān)節(jié)的最大力矩小于模塊化關(guān)節(jié)規(guī)定的最大扭矩，通過三維設(shè)計軟件Solidworks，基于模塊化關(guān)節(jié)共設(shè)計了三種方案，如圖1所示。

圖1 機械臂設(shè)計方案Fig.1 Robotic Arm Design

方案a整體外形參照UR機器人；方案b參照INNFOS團隊自主研發(fā)設(shè)計的智能柔性執(zhí)行器系列Smart Compliant Actuator（SCA）；方案c是對方案a、b的補充改進：機械臂各關(guān)節(jié)所受力矩由作用在各關(guān)節(jié)的力和力臂決定，在關(guān)節(jié)類型確定的大前提下，盡可能減小力臂，可達到增大末端有效負(fù)載的效果，因此方案c中將第5關(guān)節(jié)前置，使機器人的整體重心前移，有效的減小了第二關(guān)節(jié)的力矩。

關(guān)節(jié)2所受靜力矩由力和力臂相乘得到：力臂指關(guān)節(jié)2之后的構(gòu)件重心與關(guān)節(jié)2旋轉(zhuǎn)軸線的距離，力指關(guān)節(jié)2之后的總重量（包括末端負(fù)載1kg），兩個參數(shù)均通過三維設(shè)計軟件測量得到，詳細(xì)數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 各方案關(guān)節(jié)峰值力矩表Tab.2 Joint Peak Torque Table for Each Plan

關(guān)節(jié)2峰值力矩是在機械臂各連桿處于水平位置繞關(guān)節(jié)2瞬時啟動時經(jīng)過仿真測量得到，只對關(guān)節(jié)2設(shè)置旋轉(zhuǎn)速度，此時力臂最大，關(guān)節(jié)2受到的啟動力矩最大。根據(jù)對三種方案的對比，綜合考慮多種因素，采用具有較小靜力矩和動力矩的關(guān)節(jié)前置型方案，滿足模塊化關(guān)節(jié)提供的最大扭矩，該方案瞬時啟動產(chǎn)生的峰值力矩，如圖2所示。瞬時啟動關(guān)節(jié)2所受峰值扭矩15.27N·m。

圖2 關(guān)節(jié)前置型瞬時啟動力矩圖Fig.2 Joint Front Type Instantaneous Start Torque Diagram

機械臂整體外形尺寸，如圖3 所示。外殼材料選用鋁合金7075，大臂180mm，小臂208.2mm，整體高度611.6mm，額定負(fù)載1kg，相比INNFOS團隊研發(fā)的六軸機械臂（額定負(fù)載500g），該方案實現(xiàn)了小型化、輕量化，并有效的增大了末端負(fù)載。

圖3 關(guān)節(jié)前置型機械臂整體尺寸Fig.3 The Overall Size of the Front Joint Robot Arm

2.3 機械臂有限元分析

在關(guān)節(jié)前置型方案中，所有模塊化關(guān)節(jié)滿足峰值力矩要求，但機械臂本身強度、剛度是否達到要求還有待驗證。因此，本節(jié)最后對上述確定的機械臂方案（關(guān)節(jié)前置型機械臂）進行有限元分析，如圖4 所示。對末端負(fù)載設(shè)置1kg，分別完成了對機械臂的靜應(yīng)力分析、靜態(tài)位移分析以及靜態(tài)應(yīng)變分析，得到最大靜應(yīng)力點6.857×107N/m2，最大靜態(tài)位移0.3568mm，最大靜態(tài)應(yīng)變3.301×10-4，滿足強度、剛度等需求，詳細(xì)分析，如圖4所示。

圖4 機械臂有限元分析Fig.4 Finite Element Analysis of Robotic Arm

3 機械臂運動學(xué)分析

目前，對于開鏈機器人正向運動學(xué)模型建立的方法主要有D-H 參數(shù)法［3，4］（Denavit-Hartenberg parameter）和基于旋量理論的指數(shù)積公式法［5］（Product of Exponential，PoE）。D-H 參數(shù)法的優(yōu)點在于只需要最少數(shù)量的參數(shù)來描述機器人運動學(xué)，即對于一個n桿機器人，可以用3n個參數(shù)描述機器人結(jié)構(gòu)，n個參數(shù)表示關(guān)節(jié)變量；而PoE模型并不是最少參數(shù)的參數(shù)形式（需要6n個參數(shù)來描述n個關(guān)節(jié)軸運動旋量，外加n個參數(shù)表示關(guān)節(jié)變量），但其優(yōu)點也是十分明顯的，不需要建立連桿坐標(biāo)系，避免了由于D-H 參數(shù)法參數(shù)錯誤而導(dǎo)致的運動學(xué)模型建立錯誤［6］。因此，選用PoE 公式進行關(guān)節(jié)前置型機械臂運動學(xué)模型的建立。

3.1 機械臂旋量法運動學(xué)正解

對于n自由度開鏈空間機器人，如圖5所示。

圖5 n桿開鏈機器人PoE公式圖示Fig.5 Illustration of the PoE Formula for An n-Link Spatial Open Chain

為應(yīng)用PoE公式，首先選擇基坐標(biāo)系｛s｝和附著在最后一根桿上的末端坐標(biāo)系｛b｝，并將機器人置于零位，此時所有關(guān)節(jié)變量初值為0，每個關(guān)節(jié)正向位移的方向指定，令M∈SE(3)表示末端坐標(biāo)系｛b｝相對基坐標(biāo)系｛s｝的初始位形。

則n自由度開鏈空間機器人正向運動學(xué)的指數(shù)積公式可寫成：

式中：Sn：Sn=(ωn，vn)—在基坐標(biāo)系中的關(guān)節(jié)n的旋量坐標(biāo)；

ωn∈R3—沿關(guān)節(jié)軸正向的單位向量；

vn=-ωn×qn，qn—關(guān)節(jié)軸上任意一點，坐標(biāo)值在基座標(biāo)系中進行度量；

θn—關(guān)節(jié)n對應(yīng)的關(guān)節(jié)變量。

這里設(shè)計的機械臂零位，如圖6所示。該位置為機器人的初始位置，各關(guān)節(jié)及其旋轉(zhuǎn)方向如圖中標(biāo)示，其中，基座標(biāo)系｛0｝，末端坐標(biāo)系｛6｝，L1=146.7mm，L2=180mm，L3=208.2mm，L4=76.7mm。令M∈SE(3)表示機器人處于初始位置時的末端位形，直接觀察可得：

圖6 關(guān)節(jié)前置型機械臂零位圖示Fig.6 The Zero Position of the Front-Joint Manipulator

機器人各螺旋軸Si=(ωi，vi)，i=1，…，6，坐標(biāo)，如表3所示。

表3 各螺旋軸Si坐標(biāo)Tab.3 Coordinates of Each Screw Axis Si

由此可得到上述六個螺旋軸的（4×4）矩陣，表示形式如下：

將初始位形M和各螺旋軸代入式（1），關(guān)節(jié)變量θi，T(θ)即為機械臂運動學(xué)正解。鑒于此，旋量法建模明顯簡化了運動學(xué)計算過程的復(fù)雜性，便于開發(fā)人員高效的建立機器人模型。

3.2 機械臂運動學(xué)反解

機器人運動學(xué)反解是正向運動學(xué)的反向求解過程，即已知機器人末端位姿X∈SE(3)，找出滿足T(θ)=X的關(guān)節(jié)角θ（ii=1，2，3，4，5，6）的過程。6R關(guān)節(jié)前置型機械臂的運動學(xué)方程如下：

機器人運動學(xué)反解的方法眾多，主要分為兩大類：解析解和數(shù)值解［7］。采用解析解時，前三個關(guān)節(jié)的求解可以根據(jù)機器人前三個關(guān)節(jié)構(gòu)成的連桿結(jié)構(gòu)進行求解，機器人后三個關(guān)節(jié)軸相交于一點，所以前三個關(guān)節(jié)決定了機器人末端的位置，后三個關(guān)節(jié)決定了機器人末端的姿態(tài)。

（1）機器人末端位置的求解

機器人前三關(guān)節(jié)的逆向位置求解示意圖，如圖7所示。機器人后三個關(guān)節(jié)軸相交于一點Om(PXX，PYY，PZZ)，Om坐標(biāo)與末端位姿X的關(guān)系如下：

圖7 6R關(guān)節(jié)前置型機械臂的逆向位置求解Fig.7 Solving the Reverse Position of the 6R Joint Front Type Manipulator

將Om點向X0-Y0平面投影，通過投影關(guān)系可以求出第一關(guān)節(jié)角的兩個有效值：

確定機械臂關(guān)節(jié)角θ2、θ3的過程，可以進一步簡化為求解平面兩連桿機構(gòu)的逆運動學(xué)問題，其中：

由此可得第三關(guān)節(jié)角的兩個有效值：

類似的方法可求出第二關(guān)節(jié)角的值：

（2）機器人末端姿態(tài)的求解

已知末端姿態(tài)，求解關(guān)節(jié)角θ4、θ5、θ6。前一部分已經(jīng)求得前三關(guān)節(jié)角，根據(jù)正向運動學(xué)式（3），可寫成：

等式右邊已知，后三個關(guān)節(jié)軸方向分別是ω4=(1，0，0)，ω5=(0，1，0)，ω6=(0，0，1)；現(xiàn)定義右邊項得轉(zhuǎn)動部分為R，c4=cosθ4，c5=cosθ5，c6=cosθ6，s4=sinθ4，s5=sinθ5，s6=sinθ6；腕部關(guān)節(jié)角可以通過求解下式得到：

機器人前三關(guān)節(jié)存在四組解，腕部的后三個關(guān)節(jié)通過“翻轉(zhuǎn)”可以得到第二組解：θ4'=θ4+π；θ5'=θ5；θ6'=θ6+π。通過上述位置和姿態(tài)的求解與組合，6R關(guān)節(jié)前置型機械臂一共存在8組解。

3.3 運動學(xué)逆解確定與優(yōu)化

在不同的情況下，機器人逆解采用的優(yōu)化準(zhǔn)則也是不同的，關(guān)節(jié)前置型機械臂一共有八組解，采用“最小變化角”準(zhǔn)則進行優(yōu)化，即每次關(guān)節(jié)運動所有關(guān)節(jié)移動量為最小的解。在不考慮障礙的前提下，尋求逆運動學(xué)的最優(yōu)解就是在關(guān)節(jié)空間中選取一個最接近起始點的解，關(guān)節(jié)前置型機械臂前三個連桿的尺寸較大，后三個較小，主要用于定向［8］，在這種情況下，需要使用加權(quán)系數(shù)來衡量接近的程度。取目標(biāo)函數(shù)M：

式中：Mi=1…8—8組解對應(yīng)的變化角；λi—加權(quán)系數(shù)，加權(quán)系數(shù)選擇應(yīng)遵循“多移動小關(guān)節(jié)，少移動大關(guān)節(jié)”原則［9］，這樣可以有效的減少機器人工作中的硬損傷［10］。

4 機械臂運動學(xué)仿真建模

4.1 虛擬樣機建立

在進行物理平臺實驗前，完成基于機械臂虛擬樣機的仿真分析，包括機械臂正、逆運動學(xué)驗證，確保以最小變化角為準(zhǔn)則的位置控制算法的可行性，能夠有效保證后期物理平臺實驗的安全性、準(zhǔn)確性和高效性。將關(guān)節(jié)前置型機械臂模型從Solidworks導(dǎo)入CoppeliaSim，首先完成對各桿件的連接約束，對各桿件添加相應(yīng)質(zhì)量，并在各電機與連桿間添加驅(qū)動關(guān)節(jié)（Revolute Joint），關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)方向按圖6所示放置，經(jīng)過上述步驟，關(guān)節(jié)前置型機械臂虛擬樣機基本建立完成。添加完連接約束和旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)后的關(guān)節(jié)前置型機械臂虛擬樣機，如圖8所示。

圖8 機械臂虛擬樣機Fig.8 Virtual Prototype of Robotic Arm

4.2 正向運動學(xué)驗證

利用CoppeliaSim 與Matlab 進行驗證，機械臂形態(tài)1，如圖9（a）所示。對應(yīng)θ=[-pi/4 -pi/4pi/4 0 -pi/4 0]，依據(jù)式（3）求出末端位姿T(θ)1；機械臂形態(tài)2，如圖9（b）所示。對應(yīng)θ=[pi/4pi/4 0 -pi/4 0 0]，求出末端位姿T(θ)2。分別對虛擬樣機進行形態(tài)1、2關(guān)節(jié)角的設(shè)置，通過對比樣機末端位姿與T(θ)1、T(θ)2，結(jié)果正確。

圖9 正向運動學(xué)驗證Fig.9 Positive Kinematics Verification

4.3 逆向運動學(xué)仿真驗證

通過Matlab新建腳本，根據(jù)上述逆解的解析式，建立針對機械臂的以最小變化角為準(zhǔn)則的位置控制算法，完成對機械臂的運動控制；最后通過Matlab與CoppeliaSim聯(lián)合控制，實現(xiàn)對虛擬樣機的實時控制。如圖10（a）所示，仿真中機械臂完成了從點（0.2，-0.2，0.3）至點（0.2，0.2，0.3）至點（-0.2，0.2，0.3）至點（-0.2，0.2，0.3）的運動；圖10（b）將仿真得到的具體位置數(shù)據(jù)（每時刻的末端位置x、y、z坐標(biāo)）輸出到Matlab并進行作圖得到實際運動軌跡，通過期望軌跡與實際軌跡的對比，兩條軌跡基本一致。

圖10 逆向運動學(xué)仿真驗證對比Fig.10 Comparison of Inverse Kinematics Simulation Verification

如圖11進一步將第一段的期望位置與實際位置通過作差進行誤差分析，由圖可得x、y、z軸方向誤差均小于0.02mm，實際距離誤差基本控制在0.02mm以內(nèi)，符合設(shè)計要求，以最小變化角為準(zhǔn)則的位置控制算法有效的控制了機械臂的運動。

圖11 實際軌跡誤差分析圖Fig.11 Actual Trajectory Error Analysis Chart

5 結(jié)論

系統(tǒng)介紹了基于模塊化關(guān)節(jié)的桌面級協(xié)作機器人構(gòu)造設(shè)計及仿真分析過程，設(shè)計方案具備小型化、輕量化、模塊化特點；在Matlab軟件中運用PoE方法建立了桌面級協(xié)作機器人模型，并對機器人進行了正、逆運動學(xué)求解，這種方法極大的簡化了運動學(xué)逆解的求解；其次，利用CoppeliaSim建立了機器人虛擬樣機，通過Matlab和CoppeliaSim聯(lián)合控制完成了桌面級協(xié)作機器人的仿真分析，仿真誤差基本控制在0.02mm以內(nèi)。仿真結(jié)果表明，基于旋量理論的運動學(xué)求解方法計算簡單，以最小變化角為準(zhǔn)則的位置控制算法精確度高，具有較大的實用性。