陶 征，趙 丹，高建設(shè)

（鄭州大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

超聲電機(jī)（Ultrasonic Motor，簡(jiǎn)稱USM）是一種全新概念的微特電機(jī)。它利用壓電材料的逆壓電效應(yīng)，激發(fā)彈性體在超聲頻段內(nèi)的微幅振動(dòng)，并通過定、轉(zhuǎn)子之間的摩擦作用來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子（動(dòng)子）的旋轉(zhuǎn)（直線）運(yùn)動(dòng)。相比于傳統(tǒng)電磁電機(jī)，超聲電機(jī)具有低速大扭矩、重量輕、結(jié)構(gòu)緊湊、起停靈敏度高、響應(yīng)快，不受外界磁場(chǎng)干擾等特點(diǎn)。這些特點(diǎn)使其在航天領(lǐng)域中的空間機(jī)器人、火星探測(cè)器和衛(wèi)星等系統(tǒng)中有著廣闊的應(yīng)用前景［1］。2020年11月24日，中國新聞網(wǎng)報(bào)道由我國自行研制的超聲電機(jī)已在嫦娥五號(hào)登月工程中獲得成功應(yīng)用，助力嫦娥五號(hào)奔月挖土。

超聲電機(jī)是一項(xiàng)橫跨振動(dòng)、摩擦、材料等多學(xué)科的高新技術(shù)體系。其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其工作形式?jīng)Q定了該體系相比于一般的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)具有強(qiáng)非線性的特性。這一特性嚴(yán)重影響著超聲電機(jī)運(yùn)行的平穩(wěn)性、可靠性，同時(shí)也為超聲電機(jī)的運(yùn)行控制帶來了一定的困難。為此，超聲電機(jī)的非線性建模問題已在該領(lǐng)域受到廣泛的關(guān)注。文獻(xiàn)［2］考慮定子、轉(zhuǎn)子、摩擦和接觸等因素建立了電機(jī)整機(jī)模型，該模型可預(yù)測(cè)電機(jī)輸入輸出功率和效率；文獻(xiàn)［3］系統(tǒng)地研究了雙模態(tài)縱扭直線型超聲電機(jī)的動(dòng)力學(xué)原理，通過數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了死區(qū)和飽和現(xiàn)象；文獻(xiàn)［4］通過理論分析和實(shí)驗(yàn)觀察得到蘭杰文振子的滯后、頻率漂移及飽和現(xiàn)象。文獻(xiàn)［5-6］建立了定子駐波和行波振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，應(yīng)用多尺度法研究了定子的主共振響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)定子存在多解和跳躍現(xiàn)象；文獻(xiàn)［7］在建立了超聲電機(jī)非線性混沌分析模型后，分析了電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的非線性運(yùn)行特性；文獻(xiàn)［8］考慮了桿式電機(jī)摩擦、接觸等非線性因素建立了精確有限元模型，設(shè)計(jì)制造了電機(jī)原理樣機(jī)。這里通過四階Runge-Kutta法、Lyapu‐nov指數(shù)、Poincaré截面等方法，針對(duì)TRUSM-60旋轉(zhuǎn)型行波超聲電機(jī)定子在單相激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)特性進(jìn)行了研究，獲得了定子機(jī)體在一定激勵(lì)頻率下的非線性響應(yīng)特性，為進(jìn)一步研究超聲電機(jī)的非線性問題提供了一定的基礎(chǔ)。

2 定子的非線性動(dòng)力學(xué)模型

TRUSM-60旋轉(zhuǎn)型行波超聲電機(jī)定子結(jié)構(gòu)，如圖1所示。電機(jī)定子主要由線彈性金屬體和壓電陶瓷片構(gòu)成。如前所述，當(dāng)定子中的壓電陶瓷片被施加一定頻率的交變電壓時(shí)，其逆壓電效應(yīng)將使定子彈性體產(chǎn)生相應(yīng)的振動(dòng)響應(yīng)，如圖3所示。

圖1 超聲電機(jī)定子結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Stator Structure Chart of Ultrasonic Motor

圖2 壓電陶瓷極化圖Fig.2 Polarization Chart of Piezoelectric Ceramics

圖3 定子振型圖Fig.3 Stator Vibration Shape Chart

當(dāng)激勵(lì)頻率接近或達(dá)到定子的固有頻率時(shí)，定子達(dá)到共振狀態(tài)?，F(xiàn)有資料表明［9］，壓電陶瓷在強(qiáng)交變電場(chǎng)的作用下，由于極化后的壓電陶瓷體內(nèi)剩余極化殘留出現(xiàn)翻轉(zhuǎn)，使得壓電陶瓷的機(jī)電耦合特性不再是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，強(qiáng)非線性則成為主要的表現(xiàn)特征。壓電材料的這種非線性是形成定子體非線性問題的本質(zhì)，在超聲電機(jī)的諸多非線性因素中占有重要的地位，對(duì)電機(jī)性能有著重要的影響。

在科研學(xué)者前期研究的基礎(chǔ)上，根據(jù)電機(jī)定子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，考慮壓電材料的非線性本構(gòu)關(guān)系，利用廣義Hamilton變分原理和Rayleigh-Ritz模態(tài)假設(shè)方法建立了TRUSM-60型電機(jī)定子在單相電壓激勵(lì)下的非線性動(dòng)力學(xué)模型，如式（1）所示。

式中：Mk—定子模態(tài)質(zhì)量；Dk—定子模態(tài)剛度；Ck—模態(tài)阻尼系數(shù)；P（t）—定子模態(tài)坐標(biāo)；機(jī)電耦合系數(shù)；Nk—壓電陶瓷的電容系數(shù)與壓電材料相關(guān)的非線性系數(shù)。壓電材料的非線性本構(gòu)關(guān)系為［10］：

式中：cE—平面剛度系數(shù)矩陣；e—壓電系數(shù)矩陣；eS—介電系數(shù)矩陣；γ—電致彈性系數(shù)矩陣；β—電致伸縮系數(shù)矩陣。

式中：?wl—定子彎曲振型函數(shù)；?v—電勢(shì)分布函數(shù)—非線性剛度系數(shù)。

令激勵(lì)電壓V（t）=V0cos（wt），將其代入式（1）中第一個(gè)方程，可得：

對(duì)式（12）進(jìn)行無量綱化，引入無量綱時(shí)間［11］：

引入無量綱小量ε，將阻尼項(xiàng)、非線性剛度項(xiàng)考慮為一階小量，外部激勵(lì)項(xiàng)考慮為二階小量，則動(dòng)力學(xué)式（12）可以表示為：

式中：l—無量綱頻率；

Δ—激勵(lì)頻率調(diào)諧參數(shù)；

ωn—定子固有頻率。

3 定子非線性行為分析

分岔與混沌是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)所特有的一種運(yùn)動(dòng)形式，且對(duì)系統(tǒng)參數(shù)有較強(qiáng)的依賴性，因此，這里基于上述定子在單相激勵(lì)下的非線性動(dòng)力學(xué)方程，采用四階Runge-Kutta 法、Lyapunov指數(shù)、Poincaré 截面等方法，對(duì)定子在單相激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)隨激勵(lì)頻率改變而變化的非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究。仿真過程中所用參數(shù)，其中壓電陶瓷材料為PZT-8，如表1所示。

表1 定子的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)Tab.1 The Structural Parameters and Material Parameters of Stator

當(dāng)激勵(lì)電壓V0取150V，ε=0.1時(shí)，由式（17）可知，改變激勵(lì)頻率調(diào)諧參數(shù)Δ的值，可得定子在單相激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)隨激勵(lì)頻率改變而變化的特征，如圖4、圖5所示。

圖4 分岔圖Fig.4 Bifurcation Chart

圖5 最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.5 Chart of the Largest Lyapunov Exponent

圖6 定子系統(tǒng)局部分岔圖Fig.6 Local Bifurcation Chart of Stator System

如圖4所示，當(dāng)Δ在（-8～4）范圍變化時(shí)，定子的振動(dòng)響應(yīng)有明顯的非穩(wěn)定狀態(tài)出現(xiàn)，其中，Δ在（-8～-7.4）區(qū)間變化時(shí)，定子振動(dòng)出現(xiàn)Hopf分岔。如圖5所示，可知Δ在（-8～-7.4）區(qū)間所對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)約為0，由最大Lyapunov指數(shù)特性可知，該處為典型的擬周期運(yùn)動(dòng)，定子振動(dòng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)Hopf分岔過程中相應(yīng)的Poincaré映射圖，如圖7所示。該圖顯示，當(dāng)Δ=-7.4（分岔點(diǎn)A）時(shí)，Poincaré 截面成吸引環(huán)，隨著分岔參數(shù)的不斷變化，吸引不變?nèi)Σ粩嗯蛎浿敝磷冃危罱K由擬周期運(yùn)動(dòng)過渡為單周期穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖7 定子分岔過程對(duì)應(yīng)的龐加萊截面圖（a）和（b）穩(wěn)定的焦點(diǎn)；（c）吸引不變?nèi)?；（d）和（e）膨脹的吸引不變?nèi)?；（f）變形的吸引不變?nèi)ig.7 Poincaré Cross-Sections Corresponding to Stator Bifurcation Process（a）and（b）Stable Focus；（c）Attraction Invariant Loop；（d）and（e）Expanded Attraction Invariant Loop；（f）Deformation Attraction of Constant Circle

當(dāng)Δ=-3.52時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。這一現(xiàn)象我們認(rèn)為是壓電陶瓷在交變電場(chǎng)的作用下，由壓電材料的電致彈性和伸縮效應(yīng)引起的非線性激振力導(dǎo)致能量損失所致。當(dāng)Δ=（-3.52～-2.45）時(shí)，系統(tǒng)再一次出現(xiàn)Hopf分岔并逐漸演化為單周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)Δ大于0，系統(tǒng)進(jìn)入單周期穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)。

超聲電機(jī)在實(shí)際應(yīng)用中，為了獲取能量轉(zhuǎn)換最大效率，一般選取定子的共振頻率作為其工作激勵(lì)頻率。以上各非穩(wěn)定區(qū)則均出現(xiàn)在定子固有頻率點(diǎn)的左側(cè)，如圖4 所示。這一現(xiàn)象似乎對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用并無影響，然而，由文獻(xiàn)［11］可知，隨著超聲電機(jī)的連續(xù)工作，由于定轉(zhuǎn)子之間的摩擦以及材料阻尼使機(jī)體溫度升高而出現(xiàn)定子頻率下降的頻率漂移現(xiàn)象，導(dǎo)致電機(jī)輸出穩(wěn)定性下降。為解決這一現(xiàn)象，當(dāng)前主流的控制策略是采用頻率追蹤技術(shù)，因此，實(shí)施這一控制方法過程中，回避圖中非穩(wěn)態(tài)區(qū)應(yīng)得到關(guān)注。

另外，如圖5所示，可以看出共振點(diǎn)（Δ=0）處的最大Lyapunov指數(shù)也是處于略大于0的狀態(tài)，這一現(xiàn)象表明固有頻率點(diǎn)或接近固有頻率點(diǎn)處，定子振動(dòng)狀態(tài)應(yīng)該也存在著一定的不穩(wěn)定性。為此，我們對(duì)共振點(diǎn)（Δ=0）附近的定子振動(dòng)特性作進(jìn)一步的仿真分析，獲得了定子系統(tǒng)分岔圖，如圖6所示。由圖可知，定子在非常接近共振頻率時(shí)的振動(dòng)的確存在著一定的相對(duì)較弱的不穩(wěn)定性。為此，我們認(rèn)為，為了獲得最佳電機(jī)工作狀態(tài)，激勵(lì)頻率應(yīng)適當(dāng)高于定子固有頻率。

4 結(jié)論

超聲電機(jī)具有強(qiáng)非線性，筆者在四階Runge-Kutta法、Lyapu‐nov指數(shù)、Poincaré截面等方法的基礎(chǔ)上，用數(shù)值分析方法研究了旋轉(zhuǎn)行波超聲電機(jī)定子在單相激勵(lì)下隨頻率變化時(shí)的非線性特性，結(jié)果表明定子系統(tǒng)在一定的頻率范圍內(nèi)存在嚴(yán)重的非線性現(xiàn)象以及在共振點(diǎn)處仍然處于弱非穩(wěn)定狀態(tài)?；谏鲜龇治?，針對(duì)當(dāng)前所采用的頻率追蹤控制技術(shù)給出了應(yīng)避開非穩(wěn)態(tài)區(qū)所對(duì)應(yīng)頻率以及電機(jī)激勵(lì)頻率應(yīng)選取適當(dāng)高于定子固有頻率的建議。這些研究對(duì)進(jìn)一步研究超聲電機(jī)的動(dòng)力學(xué)機(jī)理及工作的穩(wěn)定性控制技術(shù)具有重要的意義。