周劍青，屈福政，祝德強，張再斌

（大連理工大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

1 引言

客運索道具備適應(yīng)復(fù)雜地形、成本低等優(yōu)勢，通常用于旅游景區(qū)、滑雪場等地點［1］。目前客運索道主流型式為單線循環(huán)脫掛式索道［2］，與其他類型索道的區(qū)別在于脫掛式索道可通過抱索器的特殊結(jié)構(gòu)與鋼絲繩分離，安全性高、運輸效率高。索道用鋼絲繩是這種索道最核心的承載和傳動部件，其性能直接決定著索道系統(tǒng)的性能和安全，而軸向的彈性模量則是這種鋼絲繩重要的力學(xué)特性。

國內(nèi)外學(xué)者早期研究方向主要是通過解析法建立鋼絲繩剛度矩陣以描述鋼絲繩力學(xué)特性［3-5］。近年來越來越多學(xué)者利用商用有限元軟件對鋼絲繩進行建模分析。文獻［6］建立了二次捻制的鋼絲繩有限元模型，討論了自扭轉(zhuǎn)系數(shù)對鋼絲繩捻制成形應(yīng)力應(yīng)變的影響，發(fā)現(xiàn)非零自扭轉(zhuǎn)系數(shù)鋼絲繩加工剪切應(yīng)力和塑性變形較小的結(jié)論。文獻［7］通過ANSYS建立了忽略鋼絲間摩擦的6×19 IWS鋼絲繩軸向拉伸有限元模型，得到股內(nèi)鋼絲應(yīng)力呈螺旋狀分布，同向捻鋼絲繩側(cè)絲應(yīng)力明顯高于交互捻鋼絲繩的結(jié)論。文獻［8］通過CATIA 建立多層捻制鋼絲繩幾何模型，導(dǎo)入Abaqus對鋼絲繩承受拉伸載荷的情況進行仿真，并與文獻［9］中的單捻鋼絲繩理論計算結(jié)果及試驗數(shù)據(jù)對比以驗證計算準(zhǔn)確性。文獻［10］提出一種多股鋼絲繩彎曲狀態(tài)力學(xué)模型，同時利用Abaqus進行有限元仿真，并且設(shè)計了一臺鋼絲繩彎曲變形測量裝置，對比理論計算值、仿真計算值和實驗值發(fā)現(xiàn)理論計算與實驗結(jié)果更為接近，驗證了力學(xué)模型的正確性。文獻［11］通過Abaqus對6×7 IWRC鋼絲繩圈進行準(zhǔn)靜態(tài)壓縮分析，模型中采用了基于罰函數(shù)的通用接觸，研究發(fā)現(xiàn)鋼絲繩截面的等效應(yīng)力云圖呈層狀分布，鋼絲繩圈承受壓縮荷載時失效形式與圓環(huán)相似。

綜上所述，現(xiàn)有文獻為采用有限元法分析鋼絲繩的力學(xué)性能奠定了基礎(chǔ)，但索道用壓實股鋼絲繩與一般鋼絲繩相比，無論是鋼絲的接觸狀態(tài)還是填充率都有明顯的不同，因此有必要對某索道用鋼絲繩的軸向拉伸性能進行有限元仿真研究。

2 鋼絲繩三維模型

以直徑為48mm的6×K31WSR索道用壓實股鋼絲繩為研究對象，鋼絲繩參數(shù)與截面形狀，如表1、圖1所示。

圖1 鋼絲繩截面Fig.1 Cross Section of Wire Strands

2.1 螺旋線參數(shù)方程

鋼絲繩通常由若干側(cè)股繞著繩芯捻制而成，側(cè)股又由多層鋼絲圍繞股中心鋼絲螺旋纏繞。因此，建立鋼絲繩三維模型之前需要推導(dǎo)鋼絲中心線的參數(shù)方程，再利用三維建模軟件的掃描功能建立實體模型。6×K31WSR鋼絲繩股和鋼絲的中心線可分為一次螺旋線和二次螺旋線，其中側(cè)股中心鋼絲的中心線為一次螺旋線，側(cè)股其余鋼絲的中心線為二次螺旋線。建立鋼絲繩螺旋線空間坐標(biāo)系，如圖2所示。假設(shè)側(cè)股芯絲的中心線上存在一點A，點B是對應(yīng)的二次螺旋線上一點，根據(jù)微分幾何理論可在點A處建立由切向量t、主法向量n、從法向量b構(gòu)成的Frenet標(biāo)架。

圖2 鋼絲繩螺旋線示意圖Fig.2 Spiral Diagram of Wire Strands

所以在笛卡爾坐標(biāo)系OXYZ中二次螺旋線上點的矢量表達式為：

由一般螺旋線定義可知，矢量OA的表達式為：

式中：R—一次螺旋線螺旋半徑（mm）；θ—點A在一次螺旋上的旋轉(zhuǎn)角（rad）；β—一次螺旋線螺旋升角（rad）。

在點A處的Frenet標(biāo)架中，各向量的表達式為：

所以Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為：

矢量AB在Frenet標(biāo)架中的表達式為：

式中：r—二次螺旋線螺旋半徑（mm）；

φ—點B在二次螺旋上的旋轉(zhuǎn)角（rad）。

由此可以根據(jù)式（1）得到二次螺旋線的矢量表達式為：

式（2）、式（8）即為描述鋼絲繩中心線的方程。

2.2 Creo三維建模

Creo是一款參數(shù)化建模功能強大的三維建模軟件，可通過參數(shù)方程快速生成復(fù)雜的空間曲線，利用Creo軟件構(gòu)建索道用6×K31WSR鋼絲繩三維模型是較好的選擇。側(cè)股芯絲中心線螺旋半徑R=16.5mm，對應(yīng)的螺旋角β=73°，側(cè)股每層鋼絲中心線的螺旋半徑分別為r1=2.34mm、r2=4.1mm、r3=4.48mm、r4=6.7mm，將上述已知參數(shù)代入式（2）、式（8）可得到一次、二次螺旋線的參數(shù)方程，在Creo中生成的各鋼絲中心線，如圖3所示。

圖3 各鋼絲中心線Fig.3 Center Line of Steel Wire

在鋼絲中心線的基礎(chǔ)上，根據(jù)表1中鋼絲直徑，通過Creo可變截面掃描功能生成長度為339mm的鋼絲繩三維模型，如圖4所示。其中，鋼絲繩的繩芯簡化成直徑為17.2mm的圓柱體。

圖4 鋼絲繩三維模型Fig.4 3D Model of Wire Strands

3 鋼絲繩有限元模型

3.1 網(wǎng)格劃分

由于鋼絲繩的螺旋結(jié)構(gòu)以及鋼絲之間復(fù)雜的接觸關(guān)系，構(gòu)建一個捻距長度（339mm）的鋼絲繩有限元模型需要劃分大量的網(wǎng)格。經(jīng)過多次建模試驗發(fā)現(xiàn)，常用有限元軟件求解器無法準(zhǔn)確求解甚至不收斂，利用Abaqus有限元軟件中Explicit求解器適于求解復(fù)雜接觸問題的特點，建立對應(yīng)的有限元模型。

在建模過程中，首先通過Creo軟件將長339mm的鋼絲繩三維模型導(dǎo)出為Parasolid格式文件，將此文件導(dǎo)入Hypermesh中劃分網(wǎng)格，各鋼絲均采用C3D8R六面體單元，其中單元大?。?.3～1）mm，單元數(shù)為3739653，節(jié)點數(shù)為4593052，鋼絲繩端面網(wǎng)格，如圖5所示。在Hypermesh中設(shè)置材料屬性并分別賦予每根鋼絲。鋼絲與繩芯材料參數(shù)，如表2所示。

圖5 鋼絲繩網(wǎng)格劃分Fig.5 Mesh Generation of Wire Strands

表2 鋼絲繩材料參數(shù)Tab.2 Material Parameters of Wire Strands

其中，繩芯的參數(shù)來自于超高分子量聚乙烯材料［12］。

3.2 邊界條件與求解設(shè)置

約束鋼絲繩一端面的軸向位移，在另一端面施加FZ=（50，150，250，350，450）（TkN）的軸向拉力分別進行求解，如圖6所示。

圖6 鋼絲繩約束與載荷Fig.6 Restraint and Load of Wire Strands

在Abaqus中設(shè)置“General Contact”模擬鋼絲之間的接觸，切向接觸特性采用罰函數(shù)法，鋼絲間摩擦系數(shù)取0.1［13］，法向接觸特性設(shè)置為“Hard Contact”。

利用Explicit求解器進行計算，一般取加載時間為結(jié)構(gòu)一階模態(tài)周期的10倍，以確保計算結(jié)果的準(zhǔn)確性［14］。分析前先進行模態(tài)分析，得到一階模態(tài)周期為0.03s，所以在Abaqus中設(shè)置step time=0.3s進行仿真。

4 仿真結(jié)果與分析

4.1 軸向拉伸仿真結(jié)果

仿真結(jié)束后得到鋼絲繩的變形與應(yīng)力，以FZ=450kN為例，鋼絲繩的變形云圖，如圖7所示。從圖中可以看出鋼絲繩軸向伸長量為1.29mm。

圖7 鋼絲繩軸向變形云圖（450kN）Fig.7 Axial Deformation Nephogram of Wire Strands（450kN）

鋼絲繩側(cè)股等效應(yīng)力云圖，如圖8所示?？拷摻z繩拉力加載的端面應(yīng)力值較大，鋼絲繩固定端及中間部分的應(yīng)力相對較小，側(cè)股端面的應(yīng)力圍繞中心鋼絲呈螺旋狀分布，最大值在側(cè)股中心鋼絲與側(cè)股第一層鋼絲接觸位置，其值為863MPa。

圖8 鋼絲繩側(cè)股等效應(yīng)力云圖（450kN）Fig.8 Equivalent Stress Nephogram of Wire Strands Spiral Strand（450kN）

鋼絲繩側(cè)股中心鋼絲的最大應(yīng)力與最小應(yīng)力所在截面的等效應(yīng)力云圖，如圖9所示。

圖9 鋼絲繩截面等效應(yīng)力云圖（450kN）Fig.9 Equivalent Stress Nephogram of Wire Strands Section（450kN）

圖中截面的應(yīng)力最大值分別為863MPa、327MPa。對比不同軸向拉力下各截面的應(yīng)力值發(fā)現(xiàn)，側(cè)股中心鋼絲的應(yīng)力值普遍較大，而側(cè)股外層鋼絲的應(yīng)力值較小，這主要是因為側(cè)股中心鋼絲初始長度比外層鋼絲短，受到軸向拉力時鋼絲繩要保持變形協(xié)調(diào)，側(cè)股中心鋼絲的應(yīng)變比其它鋼絲大；并且側(cè)股中心鋼絲的接觸狀態(tài)最復(fù)雜，承受的接觸壓力最大，因此導(dǎo)致中心鋼絲應(yīng)力大于外層鋼絲。

鋼絲繩繩芯等效應(yīng)力云圖，如圖10所示。從圖中可以明顯看出鋼絲繩繩芯與側(cè)股外層鋼絲接觸位置應(yīng)力比繩芯上其它位置大，最大應(yīng)力出現(xiàn)在靠近鋼絲繩端面處，其值為165MPa。

圖10 鋼絲繩繩芯等效應(yīng)力云圖（450kN）Fig.10 Equivalent Stress Nephogram of Wire Strands Fiber Core（450kN）

4.2 等效彈性模量

由于鋼絲繩結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在實際工程應(yīng)用中通常將鋼絲繩等效為一個均勻的圓柱體，圓柱體的橫截面積與鋼絲繩各鋼絲橫截面積的總和相等［15］。為此，引入鋼絲繩等效彈性模量EZ，根據(jù)材料力學(xué)知識：

式中：EZ—鋼絲繩等效彈性模量（MPa）；FZ—軸向拉力（kN）；L—鋼絲繩長度（mm）；δ—軸向變形量（mm）；S—鋼絲繩橫截面積（mm2）。

表3是不同軸向拉力下鋼絲繩軸向變形量，將軸向變形量代入式（9），可得到的鋼絲繩拉力與等效彈性模量關(guān)系圖，如圖11所示。從圖中可以看出鋼絲繩拉力較小時，EZ隨著軸向拉力的增大而增大，當(dāng)拉力超過250kN后，EZ穩(wěn)定在116000MPa，大約是鋼絲材料彈性模量的0.64倍。

圖11 軸向拉力與等效彈性模量關(guān)系Fig.11 Relationship Between Axial Tension and Equivalent Elastic Modulus

表3 鋼絲繩軸向變形量Tab.3 Axial Deformation of Wire Strands

呈現(xiàn)這種關(guān)系是因為在軸向拉力加載時，鋼絲繩股內(nèi)鋼絲存在一定間隙，鋼絲繩的伸長量相對于等效的圓柱體較大，隨著拉力的增大間隙逐漸消除，鋼絲繩等效彈性模量維持為恒定值。所以，鋼絲繩在使用之前進行有效的預(yù)拉伸，消除鋼絲間的間隙，對得到穩(wěn)定的等效彈性模量是很有幫助的。

5 結(jié)論

（1）利用Abaqus/Explicit求解得到不同拉力下鋼絲繩軸向變形量、等效應(yīng)力云圖，結(jié)果表明，側(cè)股端面的應(yīng)力圍繞中心鋼絲呈現(xiàn)螺旋狀分布；鋼絲繩側(cè)股的最大應(yīng)力出現(xiàn)在側(cè)股中心鋼絲與第一層鋼絲接觸位置，側(cè)股外層鋼絲的應(yīng)力值普遍較??；鋼絲繩繩芯與側(cè)股外層鋼絲接觸位置應(yīng)力比繩芯上其它位置大。（2）將鋼絲繩等效為圓柱體，引入鋼絲繩等效彈性模量EZ，根據(jù)力學(xué)關(guān)系以及鋼絲繩軸向變形量求出軸向拉力與鋼絲繩等效彈性模量的關(guān)系，拉力較小時，EZ隨著軸向拉力的增大而增大，當(dāng)拉力到達一定值之后，EZ穩(wěn)定為鋼絲材料彈性模量的0.64倍。