王景輝，李文濤，邱 陽(yáng)

（1.渤海理工職業(yè)學(xué)院機(jī)電工程系，河北 滄州 061199；2.包頭北奔重汽橋箱有限公司，內(nèi)蒙古 包頭 014000）

1 引言

如何將實(shí)際工程系統(tǒng)的物理模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是構(gòu)造功能函數(shù)的關(guān)鍵。為了解決這一問(wèn)題，典型的模型有多項(xiàng)式響應(yīng)面（Polynomial Response Surface，PRS）［1］、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［2］、徑向基函數(shù)［3］、支持向量機(jī)［4］等，其中PRS是應(yīng)用最廣泛的全局逼近方法，與其他模型相比，它不僅可以用簡(jiǎn)單的函數(shù)逼近代替實(shí)際復(fù)雜的仿真模型，而且可以直接得到函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行分析計(jì)算。鑒于響應(yīng)面（Response Surface，RS）的優(yōu)點(diǎn)，有學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究，提出了多級(jí)多項(xiàng)式響應(yīng)面方法［5］、改進(jìn)響應(yīng)面［6］、迭代改進(jìn)響應(yīng)面［7］等。雖然這些方法對(duì)提高擬合精度和計(jì)算效率做出了一定的貢獻(xiàn)，但模型的不確定性仍然被忽略。這些不確定性的物理模型中，不能準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，且計(jì)算誤差引起數(shù)值不準(zhǔn)確。對(duì)于結(jié)構(gòu)不確定性的研究方法中，最常用的方法是蒙特卡洛仿真法（Monte Carlo Simulation，MCS）［8］，MCS方法滿足精度要求的結(jié)果必須依賴大量的計(jì)算，計(jì)算效率低。文獻(xiàn)［9］提出了一種改進(jìn)的子集仿真（Subset Simulation，SS）方法，用于估計(jì)多種隨機(jī)響應(yīng)的小故障概率，該方法可以有效地解決多種隨機(jī)響應(yīng)的可靠性問(wèn)題，但是只能解決隨機(jī)變量相同的多重隨機(jī)響應(yīng)問(wèn)題，并且在不同的工況下，失效模式和參數(shù)變量可能不同。

為此，提出了一種變載荷下轉(zhuǎn)向架構(gòu)架結(jié)構(gòu)可靠性分析方法，建立了轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型（PRS），考慮到計(jì)算誤差和各工況的失效模式，對(duì)模型進(jìn)行了修正（PRS-update模型），并用子集仿真（SS）方法計(jì)算了各工況下的失效概率，根據(jù)荷載工況間的相關(guān)性，采用單峰和雙峰邊界法計(jì)算了結(jié)構(gòu)在變荷載工況下的失效概率。

2 考慮不確定性的代理模型的構(gòu)造

可靠性分析的目的是求解結(jié)構(gòu)的失效概率，通過(guò)多項(xiàng)式響應(yīng)面（PRS）函數(shù)擬合設(shè)計(jì)參數(shù)與失效概率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于結(jié)構(gòu)可變參數(shù)X，其PRS函數(shù)可以表示為：

式中：a0、ai、aii—未知系數(shù)，需要定義的系數(shù)數(shù)量為2n+1個(gè)。

在確定代理模型類(lèi)型時(shí)，計(jì)算誤差是影響模型不確定性的主要因素。這一因素與DOE方法和模擬數(shù)值模型有關(guān)。為了減少不確定性的影響，提高代理模型的精度，假設(shè)采樣數(shù)據(jù)集E包含n個(gè)采樣點(diǎn)，代理模型在每個(gè)采樣點(diǎn)的預(yù)測(cè)偏差可以表示為：

式中：eik—代理模型在取樣點(diǎn)kth處的預(yù)測(cè)偏差；fk—有限元在第kth點(diǎn)分析的實(shí)際響應(yīng)值；yik—代理模型在第knh個(gè)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值；n—取樣點(diǎn)總數(shù)。假設(shè)預(yù)測(cè)偏差為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其中可用極大似然估計(jì)法計(jì)算：

在式（2）、式（3）的基礎(chǔ)上，代理模型的預(yù)測(cè)值可以表示如下

3 結(jié)構(gòu)可靠性分析方法

3.1 單荷載工況的結(jié)構(gòu)可靠性分析

當(dāng)可靠性分析僅涉及一個(gè)功能函數(shù)時(shí)，可以在單一載荷情況下解決傳統(tǒng)可靠性問(wèn)題。由于子集仿真（SS）方法沒(méi)有特殊要求，可以處理各種結(jié)構(gòu)可靠性分析問(wèn)題，例如蒙特卡洛仿真（MCS）。因此，通常將其作為故障概率的解決方法。子集仿真（SS）方法主要思想是通過(guò)自適應(yīng)地引入中間事件將小故障概率轉(zhuǎn)換為條件故障概率。如果中間故障事件滿足嵌套關(guān)系（F1?F2…?Fm），則目標(biāo)故障概率可以寫(xiě)為：

式中：F—目標(biāo)失效事件，F(xiàn)=｛g（X）≤b｝；b—結(jié)構(gòu)響應(yīng)的臨界值。

對(duì)于等式（5），條件概率P(Fi|Fi-1)的初始值通常是恒定的，一般取值范圍為［0.1，0.3］，P（F1）可以直接通過(guò)蒙特卡洛仿真獲得。

式中：{xk|k=1，2，…，N}—通過(guò)使用輸入隨機(jī)向量模擬聯(lián)合概率密度函數(shù)q（x）生成的獨(dú)立且分布均勻的樣本；N—每層采樣點(diǎn)的數(shù)量；IF1—指數(shù)函數(shù)。

為了有效地生成條件樣本，采用基于改進(jìn)的Metropolis-Hastings馬爾可夫鏈蒙特卡洛（MCMC）仿真算法。如果在第i層仿真中使用的采樣點(diǎn)為N，則第i層中條件概率的估計(jì)值可以表示為：

則獲得目標(biāo)失效事件的失效概率估計(jì)值為：

式中：N（Fi）—落入故障域的最后一層中的樣本數(shù)。

3.2 變載荷工況下轉(zhuǎn)向架構(gòu)架結(jié)構(gòu)的可靠性分析

對(duì)于變載荷工況的可靠性分析，這里將其視為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性問(wèn)題，在處理結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性時(shí)，需要識(shí)別失效荷載工況并計(jì)算相應(yīng)的失效概率［10-13］，尋求一種更合理的結(jié)構(gòu)體系可靠度計(jì)算方法，是分析變工況結(jié)構(gòu)可靠度的關(guān)鍵。

如果在第i種載荷下的可靠概率為pri=P()，則失效概率為pfi=P(Ii)。在Cornell方法［8］的基礎(chǔ)上，結(jié)合式（10）、式（11）可以得到了單峰邊界結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠概率為：

可以看出式（12）中沒(méi)有考慮荷載工況之間的相關(guān)系數(shù)，根據(jù)相關(guān)性方程有：

在式（13）中，P(IiIj)≥P(IiIjIk)≥…，如果保留較大的項(xiàng)，方程可以變成：

如果兩個(gè)荷載工況的失效概率為pfij=P(IiIj)，結(jié)合式（14）、式（15），可以得到出雙峰邊界結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度概率為：

如果荷載工況之間沒(méi)有相關(guān)性，則可以用失效概率的單峰邊界來(lái)計(jì)算結(jié)構(gòu)在變荷載工況下的失效概率。若荷載工況存在相關(guān)性，則可以采用失效概率的雙峰邊界來(lái)計(jì)算失效概率。假設(shè)可靠性指標(biāo)分別為βi和βj，則在3.1節(jié)中計(jì)算出的故障概率由可靠性指標(biāo)表示，且相關(guān)系數(shù)為ρij，則單載荷情況下的失效概率可以表示為：

則兩種載荷情況下同時(shí)失效的失效概率可以表示為：

4 工程實(shí)例

轉(zhuǎn)向架構(gòu)架是一個(gè)復(fù)雜的機(jī)械結(jié)構(gòu)，由于材料特性、荷載變化、裝配誤差、測(cè)量誤差和安裝誤差所引起的設(shè)計(jì)變量和參數(shù)的不確定性，影響了結(jié)構(gòu)在各種荷載工況下的可靠性。因此，在設(shè)計(jì)階段預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)向架構(gòu)架在變載荷工況下的可靠性，對(duì)于判斷設(shè)計(jì)是否滿足要求具有重要的參考價(jià)值。

4.1 轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的有限元分析及試驗(yàn)

轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的幾何模型，如圖1所示。它由橫梁、縱梁、牽引座等組成，鋼板和一系彈簧座的材料為S355J2（H），橫梁和牽引座采用Q345D，S355J2（H）和Q345D的屈服強(qiáng)度分別為355 MPa和345 MPa。根據(jù)UIC615-4 和EN13749 標(biāo)準(zhǔn)分別模擬直線運(yùn)行、調(diào)車(chē)沖擊和電機(jī)短路三種荷載工況下的受力情況［14］，轉(zhuǎn)向架構(gòu)架三種載荷工況情況，如表1所示。對(duì)轉(zhuǎn)向架構(gòu)架進(jìn)行有限元分析，不同荷載情況下的應(yīng)力等效云圖，如圖2所示。

圖1 轉(zhuǎn)向架構(gòu)架幾何模型Fig.1 Geometric Model of Bogie Frame

圖2 轉(zhuǎn)向架構(gòu)架載荷工況下的有限元分析Fig.2 Finite Element Analysis of Bogie Frame Under Load Condition

表1 異常/特殊工況受力情況（KN）Tab.1 Stress Conditions Under Abnormal/Special Conditions（KN）

可以看出轉(zhuǎn)向架三種工況下的最大等效應(yīng)力值分別為297.77MPa、337.02MPa和303.19MPa。根據(jù)失效準(zhǔn)則，計(jì)算出轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的最大Von Mises應(yīng)力小于相應(yīng)材料的屈服強(qiáng)度，靜強(qiáng)度滿足設(shè)計(jì)要求。為了驗(yàn)證有限元分析的準(zhǔn)確性，按照UIC 615-4-2003和EN13749-2011標(biāo)準(zhǔn)的要求進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，轉(zhuǎn)向架構(gòu)架應(yīng)變片布置示意圖，如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)向架構(gòu)架應(yīng)變片布置示意圖Fig.3 Strain Gauge Layout of Bogie Frame

現(xiàn)場(chǎng)對(duì)轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)進(jìn)行應(yīng)變檢測(cè)，仿真結(jié)果與檢測(cè)結(jié)果比較，誤差在10%以內(nèi)，說(shuō)明該仿真分析具有一定的可信性，如圖4所示。

圖4 轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)應(yīng)變檢測(cè)Fig.4 Strain Detection of Bogie Structure

4.2 轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型

根據(jù)有限元分析結(jié)果，確定了不同工況下對(duì)最大應(yīng)力影響較大的設(shè)計(jì)參數(shù)。采用ANSYS參數(shù)化設(shè)計(jì)語(yǔ)言APDL，以設(shè)計(jì)參數(shù)為輸入變量，以最大應(yīng)力為響應(yīng)，建立轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的設(shè)計(jì)參數(shù)與強(qiáng)度響應(yīng)值之間的PRS代理數(shù)學(xué)模型。設(shè)計(jì)參數(shù)的范圍，如表2所示。試驗(yàn)和響應(yīng)的D-最優(yōu)設(shè)計(jì)值，如表3～表5所示。

表2 設(shè)計(jì)參數(shù)統(tǒng)計(jì)特性Tab.2 Statistical Characteristics of Design Parameters

表3 工況1試驗(yàn)值和響應(yīng)值的D-優(yōu)化設(shè)計(jì)Tab.3 D-Optimal Design of Test Value and Response Value of Condition 1

表4 工況2試驗(yàn)值和響應(yīng)值的D-優(yōu)化設(shè)計(jì)Tab.4 D-Optimal Design of Test Value and Response Value of Condition 2

表5 工況3試驗(yàn)值和響應(yīng)值的D-優(yōu)化設(shè)計(jì)Tab.5 D-Optimal Design of Test Value and Response Value of Condition 3

由式（1）可知，用最小二乘法對(duì)表3～表5中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到各工況對(duì)應(yīng)的PRS代理模型。三種荷載工況的PRS函數(shù)如下所示：

PRS函數(shù)能夠代表設(shè)計(jì)參數(shù)與強(qiáng)度響應(yīng)值之間的關(guān)系。為此，這里對(duì)PRS函數(shù)進(jìn)行了方差分析，F(xiàn)值和P值是評(píng)價(jià)函數(shù)顯著性的主要指標(biāo)。F值越大，說(shuō)明顯著性越好，相反，P值越小，說(shuō)明顯著性越好。三種荷載工況的PRS函數(shù)均顯著，擬合精度較好。將表3～表5中的數(shù)據(jù)代入PRS代理模型，并通過(guò)式（2）計(jì)算響應(yīng)誤差值。對(duì)誤差值進(jìn)行擬合和檢驗(yàn)，其概率分布特征分別為e1～N（0.0915，0.0233），e2～N（0.076，0.135）和e3～N（0.0494，0.325）。根據(jù)誤差響應(yīng)分析，荷載工況1和2的預(yù)測(cè)值較高，而荷載工況3的預(yù)測(cè)值較低。可以看出，模型計(jì)算誤差的不確定性對(duì)計(jì)算結(jié)果有不同的影響。

4.3 變荷載工況下的可靠性分析

根據(jù)各荷載工況下的破壞準(zhǔn)則和應(yīng)力強(qiáng)度干涉理論，基于式（4）、式（19）～式（21），結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)可表示為：

式中：Z—荷載工況1 的功能函數(shù)；V—荷載工況2 的功能函數(shù)；

W—荷載工況3 的功能函數(shù)；e1—荷載工況1 的響應(yīng)誤差；

e2—荷載工況2的響應(yīng)誤差；e3—荷載工況3的響應(yīng)誤差。

采用子集仿真法（SS）分別求解式（22），得到了轉(zhuǎn)向架構(gòu)架在三種載荷工況下的失效概率，轉(zhuǎn)向架構(gòu)架在不同載荷工況下的累積分布函數(shù)圖（CDF），如圖5 所示?？梢钥闯鲈跅l件概率p0=0.15、0.20、0.25和0.30情況下每個(gè)荷載工況的CDF圖。比較的目的是通過(guò)對(duì)轉(zhuǎn)向架構(gòu)架采用不同的p0值來(lái)觀察子集仿真（SS）方法的不同情況。對(duì)于荷載工況1，p0=0.10和p0=0.30的CDF 圖與其他曲線有明顯偏差，表明在這些條件概率下，失效概率的計(jì)算誤差較大，相反，p0=0.20和p0=0.25的CDF圖相似，因此它們被視為荷載工況1的備選條件概率。同樣，在荷載工況2和荷載工況3中，p0=0.30的CDF曲線與其他曲線明顯不同。通過(guò)比較CDF曲線，將p0=0.15和p0=0.25作為荷載工況2的備選工況概率，將p0=0.20和p0=0.25作為荷載工況3的備選工況概率。通過(guò)比較不同荷載工況下的CDF曲線，可以得到在不同荷載工況下，當(dāng)p0=0.25時(shí)更準(zhǔn)確的失效概率。

圖5 轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的CDF圖Fig.5 CDF Diagram of Bogie Frame

因此，在本研究中，使用p0=0.25得到的失效概率來(lái)進(jìn)行可變荷載工況下的可靠性分析?；诖耍贸龆囗?xiàng)式響應(yīng)面代理模型下（PRS）的三種工況的失效概率分別為0.0108、0.038和0.003；在考慮不確定性的多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型下（PRS-update），得出三種工況的失效概率分別為0.011、0.037 和0.008。利用式（12）和式（16）計(jì)算變載荷工況下轉(zhuǎn)向架構(gòu)架結(jié)構(gòu)失效概率的區(qū)間估計(jì)，通過(guò)蒙特卡洛仿真法（MCS）、考慮不確定性的多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型（PRS-update）以及多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型（PRS）計(jì)算的轉(zhuǎn)向架構(gòu)架單峰限值范圍分別為（0.01052，0.01750），（0.01086，0.01754）和（0.012，0.01545），邊界的寬度分別為0.00698、0.00668和0.00443。邊界層中心分別為0.01401、0.01420和0.01373。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是邊界寬度還是邊界區(qū)間中心，PRS-update下的結(jié)果與MCS的結(jié)果更接近，說(shuō)明考慮不確定性的多項(xiàng)式響應(yīng)面替代模型（PRS-update）具有較高的計(jì)算精度。

在設(shè)計(jì)過(guò)程中，各種荷載工況之間有時(shí)存在一定的相關(guān)性，為此，采用式（16）、式（18）計(jì)算轉(zhuǎn)向架構(gòu)架在各載荷工況相關(guān)系數(shù)相同時(shí)的失效概率，轉(zhuǎn)向架構(gòu)架在變載荷工況下雙峰邊界的失效概率，如圖6所示?？梢钥闯鲭S著相關(guān)系數(shù)的增加，失效概率呈下降趨勢(shì)，且PRS-update的計(jì)算結(jié)果與MCS計(jì)算結(jié)果的誤差很小，說(shuō)明該方法具有較高的精度。

圖6 變載荷下轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的失效概率Fig.6 Failure Probability of Bogie Frame Under Variable Load

5 結(jié)論

本研究將多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型應(yīng)用在變載荷工況下轉(zhuǎn)向架構(gòu)架結(jié)構(gòu)的可靠性分析上，為轉(zhuǎn)向架構(gòu)架設(shè)計(jì)階段的結(jié)構(gòu)可靠性分析提供了有效的工具。（1）在PRS模型的基礎(chǔ)上，建立了轉(zhuǎn)向架構(gòu)架在變載工況下的功能函數(shù)，在此基礎(chǔ)上提出了一種考慮不確定性因素的多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型，避免了計(jì)算誤差對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響；（2）采用子集仿真（SS）方法計(jì)算其失效概率，將單峰和雙峰邊界引入轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的結(jié)構(gòu)可靠性分析中，通過(guò)與蒙特卡洛模擬（MCS）結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了考慮不確定性多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型具有良好的計(jì)算穩(wěn)定性和計(jì)算精度；（3）在不考慮相關(guān)性的情況下，通過(guò)代理模型定量分析轉(zhuǎn)向架構(gòu)架在變載荷工況下的失效概率。同時(shí)發(fā)現(xiàn)在各載荷工況相關(guān)系數(shù)相同的情況下，轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的失效概率隨著相關(guān)系數(shù)的增大而減小。