若不等式中含有兩個或兩個以上的變量，則稱之為多元不等式.相較于一元不等式問題，多元不等式問題較為復(fù)雜，且難度較大.證明多元不等式的方法很多，那么如何選用合適的方法進(jìn)行求證呢？下面我們一起來加以探討.

一、構(gòu)造向量

向量法是解答數(shù)學(xué)問題的重要方法.在證明多元不等式時，可以將代數(shù)式與向量的加法、減法、數(shù)量積、模的公式等關(guān)聯(lián)起來，構(gòu)造出向量，便可根據(jù)向量不等式[a?b≤a?b]、[a?b≤a?b]來證明不等式.

例1.若[a，b∈R+]，且[a+b=1]，試證明：[a+12+b+12≤2].

證明：設(shè)[m=1，1]，[n=a+12，b+12]，

則[m?n=a+12+b+12]，

[m=2]，[n=a+b+1=2]，

因?yàn)閇m?n≤m?n]，所以[a+12+b+12≤2].

將[a+12+b+12]看作向量[m=1，1]、[n=a+12，b+12]的數(shù)量積，便可將問題轉(zhuǎn)化為向量問題，根據(jù)向量不等式[a?b≤a?b]證明不等式.

例2.已知[x+y+z=1]，證明：[3x2+y2+z2≥1].

證明：設(shè)[m=1，1，1]，[n=x，y，z]，

則[m?n=x+y+z=1]，

[m=3]，[n=x2+y2+z2]，

因?yàn)閇m?n2≤m2?n2]，

所以[1，1，1?x，y，z2≤1，1，12?x，y，z2]，

因此[3x2+y2+z2≥1].

由[x2+y2+z2]可聯(lián)想到向量的模的公式，于是構(gòu)造向量[m=1，1，1]，[n=x，y，z]，那么[m?n=x+y+z=1]，便可以直接根據(jù)向量不等式[a?b2≤a2?b2]得出結(jié)論.

二、借助基本不等式

若[a、bgt;0]，則[a+b≥2ab]，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時等號成立，該式被稱為基本不等式.運(yùn)用基本不等式證明多元不等式，往往要先將不等式進(jìn)行合理的變形，通過“1”的代換、湊系數(shù)、湊分母、添項(xiàng)等方式配湊出兩式的和或者積，并使其中之一為定值；然后運(yùn)用基本不等式求最值；最后需檢驗(yàn)兩式相等時等號是否成立.

例3.若[fx=3x-1+x+1]的最小值為[m2+4n2]，其中[m，n∈R]，求證：[1m2+1n2+1≥32].

證明：[fx=3x-1+x+1=-4x+2，x≤-1，-2x+4，-1lt;xlt;1，4x-2，x≥1，]

則當(dāng)[x=1]時， [fx]取得最小值[f1=2]，

可得[m2+4n2=2]，即[m2+4n2+1=6]，

則[1m2+1n2+1=1m2+1n2+1m2+4n2+1×16]

[=165+4n2+1m2+m2n2+1≥165+24=32]，

當(dāng)且僅當(dāng)[4n2+1m2=m2n2+1]，即[m2=2]，[n2=0]時等號成立，

所以不等式[1m2+1n2+1≥32]成立.

由題意可知[m2+4n2+1=6]，可得[m2+4n2+1×16=1]，于是將[1m2+1n2+1]乘以1，將[m2+4n2+1×16]替換“1”，通過“1”的代換配湊出兩式[4n2+1m2、m2n2+1]的和，而這兩式的積為定值，即可運(yùn)用基本不等式求得最值.

例4.設(shè)[agt;0]，[bgt;0]，[cgt;0]，求證：[a2b+b2c+c2a≥a+b+c].

證明：因?yàn)閇agt;0]，[bgt;0]，[cgt;0]，

故[a2bgt;0]，[b2cgt;0]，[c2agt;0]，

而[a2b+b≥2a2b?b=2a]，

[b2c+c≥2b2c?c=2b]，

[c2a+a≥2c2a?a=2c]，

則[a2b+b+b2c+c+c2a+a≥2a+2b+2c]，

可得[a2b+b2c+c2a≥a+b+c]，當(dāng)且僅當(dāng)[a2b=b，b2c=c，c2a=a]，即[a=b=c]等號成立.

本題中a、b、c均大于0，根據(jù)基本不等式[a+b≥2ab]得出[a2b+b≥2a2b?b]，[b2c+c≥2b2c?c]，[c2a+a≥2c2a?a]，便可利用不等式的可加性證明不等式.

三、運(yùn)用函數(shù)思想

對于較為復(fù)雜的不等式，如含有多個單項(xiàng)式、高次冪等，通?？梢岳煤瘮?shù)思想來證明不等式.首先將不等式進(jìn)行變形，并構(gòu)造出函數(shù)，使其形如[fxgt;0]、[fxlt;0]、[fxgt;gx]、[fxlt;gx]；然后討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，證明[fxmingt;0]、[fxmaxlt;0]、[fxmingt;gxmax]、[fxmaxlt;gxmin]，即可證明不等式.

例5.已知[a，b，c∈-1，1]，求證：[ab+bc+cagt;-1].

證明：設(shè)函數(shù)[fx=b+cx+bc+1]，

則[fa=b+ca+bc+1=ab+bc+ca+1]，

而[f1=b+c+bc+1=b+1c+1gt;0]，

[f-1=-b-c+bc+1=b-1c-1gt;0]，

因?yàn)楹瘮?shù)[fx]的圖象是一條直線，

所以當(dāng)[-1lt;alt;1]時，[fxgt;0]，即[fagt;0]，

所以[ab+bc+cagt;-1].

本題若采用常規(guī)方法求解，較為困難，于是先根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)[fx=b+cx+bc+1]，那么[fa=ab+bc+ca+1]；然后根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性證明當(dāng)[-1lt;alt;1]時，[fxgt;0]，即可證明[fagt;0]，從而達(dá)到證明不等式的目的.

例6.當(dāng)[bgt;agt;e]，證明：[abgt;ba].

證明：在不等式[abgt;ba]的兩邊同時取對數(shù)，可得[blnagt;alnb]，

變形可得[1alnagt;1blnb]，

令[fx=1xlnx]，

可知函數(shù)[fx]在[e，+∞]內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，

則[f′x=-1x2lnx+1x?1x=1x21-lnxlt;0][xgt;e]，

所以[fx]在[e，+∞]上單調(diào)遞減，

因?yàn)閇bgt;agt;e]，所以[fagt;fb]，即[1alnagt;1blnb]，

可得[blnagt;alnb]，故不等式[abgt;ba]成立.

先在不等式[abgt;ba]的兩邊同時取對數(shù)，得到同構(gòu)式[1alnagt;1blnb]；然后構(gòu)造函數(shù)[fx=1xlnx]，將問題轉(zhuǎn)化為證明[fagt;fb]；再對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可證明不等式.

向量法、基本不等式法、構(gòu)造函數(shù)法都是證明不等式問題的常用方法.同學(xué)們在證明不等式時，要將不等式進(jìn)行合理的變形、化簡，根據(jù)新不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造出向量、函數(shù)，配湊出基本不等式，即可根據(jù)向量之間的不等關(guān)系、基本不等式的積式與和式之間的大小關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性證明多元不等式.