空間幾何體的體積問題主要有：（1）求簡單空間幾何體的體積；（2）求組合體的體積.這兩類問題側(cè)重于考查柱體、椎體、臺體、球體的性質(zhì)與體積公式的應(yīng)用.下面主要談一談空間幾何體體積的兩種求法.

一、公式法

對于一些規(guī)則的簡單幾何體，可以直接利用簡單空間幾何體的體積公式來求解.這就要求我們熟記并靈活運用簡單空間幾何體的體積公式：柱體的體積公式[V=Sh]，錐體的體積公式：[V=13Sh]，球的體積公式：[V=43πR3]，其中[S]為底面的面積，[h]為高，[R]為半徑.

例1.如圖1所示，直三棱柱[ABC-A1B1C1]，其中[AB=BC=2]，側(cè)面[AA1B1B]為正方形，[E、F]分別是[AC]和[CC1]的中點，[BF⊥A1B1]，求三棱錐[F-EBC]的體積.

解：如圖2所示，連接[AF]，由題意可得[BF=BC2+CF2].

因為[BF⊥A1B1]，[AB∥A1B1]，

因為[AB⊥BB1，BC⊥AB，BB1?BC=B]，

所以[AB⊥平面BCC1B1]，

則[AF=AB2+BF2=3]，[AC=AF2-CF2=22]，

所以[AB2+BC2=AC2]，則[AB⊥BC]，

所以[ΔABC]為等腰直角三角形，則[SΔBCE=12SΔABC=1]，

所以[VF-EBC=13×SΔBCE×CF=13].

由題意可知三棱柱[ABC-A1B1C1]為直三棱柱，由直三棱柱的性質(zhì)可知側(cè)棱[CC1⊥平面ABC]，則CF為三棱錐[F-EBC]的高，根據(jù)題目中的條件求得底面[ΔBCE]的面積，即可根據(jù)椎體的體積公式[V=13Sh]解題.

二、割補法

對于不規(guī)則的幾何體，可以利用割補法來將其分割或者補成規(guī)則的幾何體，再將幾個部分的體積相加減，即可求得原幾何體的體積.在割補幾何體時，要盡可能地沿著平行線或垂線進行割補，這樣便于快速求得割補后的幾何體的體積.

例2.如圖3所示，在多面體[ABCDEF]中，[ABCD]是菱形且[∠ABC=60°]，[FA⊥平面ABCD]，[ED//FA]，[AB=FA=2ED=2]，求多面體[ABCDEF]的體積.

解：由題意可知[ΔABC]為等邊三角形，可得[SΔABC=34AB2=3].

取AD的中點G，連接CG，

由[ΔACD]為等邊三角形可知[CG⊥AD]，可得[CG=3]，

因為[FA⊥平面ABCD]，所以[平面ADEF⊥平面ABCD]，

所以[CG⊥平面ADEF]，則C到平面ADEF的距離為[CG=3].

由圖易得[VABCDEF=VF-ABC+VC-ADEF]，

因為[VF-ABC=13×SΔABC×FA=233]，

[VC-ADEF=13×（1+2）×22×3=3].

所以[VABCDEF=VF-ABC+VC-ADEF=233+3=533].

先將多面體[ABCDEF]分割為兩個棱錐：[F-ABC]、[C-ADEF]；然后分別根據(jù)幾何體中的垂直關(guān)系確定棱錐的高，求得底面的面積，便可求得兩個棱錐的體積.

總的來說，解答空間幾何體的體積問題，不僅要靈活運用簡單空間幾何體的性質(zhì)和體積公式，還要學(xué)會結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征，添加合適的輔助線，以順利求得問題的答案.解題的難點在于靈活運用相關(guān)的定理、性質(zhì)，求得幾何體的底面面積、高線長、半徑.