如果連續(xù)函數f（x）的圖象不關于直線x=x0對稱，且x0是f（x）的極值點，那么對于f（x）=t的兩個零點x1、x2，顯然有≠x0，即x1、x2的中點與極值點不重合，則稱極值點偏移.若gt;x0，則稱f（x）在x=x0處的極值偏左；若lt;x0，則稱f（x）在x=x0處的極值偏右.我們常把“x1+x2≥（≤）2x0”型不等式問題稱為極值點偏移問題.此類問題涉及了函數的兩個零點x1、x2，所以極值點偏移問題實質上是雙變量不等式問題，解題的關鍵是把雙變量不等式問題轉化為單變量問題來求解.下面結合一道題，談一談求解極值點偏移問題的途徑.

例題：

已知函數f（x）=-2 ln x有兩個零點x1，x2.

（1）求f（x）的單調區(qū)間；

（2）證明：x1+x2gt;2e.

對于第一個問題，我們可以直接對函數進行求導，根據導函數與函數單調性之間的關系來判斷出函數的單調性，進而求出f（x）的單調遞增區(qū)間為（e，+∞）、單調遞減區(qū)間為（0，e）.下面主要討論求解第二個問題的途徑.

一、構造對稱函數

運用構造對稱函數法求解極值點偏移問題的步驟為：第一步，對函數進行求導，并求出函數f（x）的極值點x0；第二步，構造一元函數F（x）=f（x）-f（2x0-x），并判斷出函數F（x）的單調性；第三步，結合F（0）=0判斷出F（x）的符號，從而確定f（x）、f（2x0-x）的大小關系.

證明：

運用構造對稱函數法求解極值點偏移問題，關鍵 在于構造出對稱函數.通常需根據兩個零點 x1 、x2 之 間的不等關系，如 x1 + x2 ≥ （≤）2x0 ，構造對稱函數 F（x） = f （x） - f （2x0 - x） ，再根據導函數與函數的單調性之間 的關系進行證明.

二、比值換元

對于涉及雙變量的問題，我們通常采用比值換元法求解.運用比值換元法求解極值點偏移問題的步驟為：第一步，根據f（x1）=f（x2）建立等量關系式；第二步，設t=x1（x2），通過代換消去x1、x2，將問題轉化為關于單變量t的函數不等式問題；第三步，構造函數g（t），討論導函數與函數單調性之間的關系，運用導數法求得最值，進而證明結論.

證明：

運用比值換元法求解極值點偏移問題，通常要設 t = x2 x1 ，這樣就能通過比值換元來減少變量的個數，將 多變量問題轉化為單變量問題，從而化繁為簡.

三、運用對數平均不等式

有些極值點偏移問題會涉及指數式、對數式，此 時我們可以對函數式取對數，并將其進行變形，得到 兩個對數式的差，如 ln a - ln b ，就可以利用對數平均 不等式 ab ≤ a - b ln a - ln b ≤ a + b 2 ，其中 a、b 為正數，來 將對數式放縮為兩式的和、積，從而順利證明不等式.

證明

將 f （x1）與f （x2）作差、變形，即可構造出 x1 - x2 ln x1 - ln x2 ， 這樣就可以利用對數平均不等式將該式放縮，從而把 問題轉化為證明 ln t lt; 2（t - 1） t + 1 .再構造出函數 h（t） = ln t - 2（t - 1） t + 1 ，t ∈ （0，1） ，通過研究函數的單調性來證明結 論.

極值點偏移問題的難度較大，常以壓軸題的形式 出現(xiàn).但是我們只要掌握一些常用的方法、技巧，靈活 運用數形結合思想、轉化與化歸思想等，就能順利破 解難題.

（作者單位：西華師范大學數學與信息學院）