張光鵬,張 珺,李文超,齊 健

(1.中北大學(xué) 航空宇航學(xué)院,山西 太原 030051;2.太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 太原 030001)

熱過程控制是工業(yè)生產(chǎn)的重要組成部分,被廣泛應(yīng)用于熱處理和催化裂解等生產(chǎn)工序中,對產(chǎn)品質(zhì)量、生產(chǎn)效率和收益等有重大的影響,因此對熱過程控制進(jìn)行分析、設(shè)計和優(yōu)化有著重要的意義[1-2]。

目前,熱過程控制系統(tǒng)響應(yīng)一般通過計算流體力學(xué)(CFD)的方法進(jìn)行熱流耦合數(shù)值模擬。陳文杰[3]等采用CFD方法模擬了出口壓力、壁面溫度及轉(zhuǎn)速等參數(shù)對柱塞油膜摩擦生熱引起溫度變化的影響規(guī)律,發(fā)現(xiàn)出口壓力對油膜摩擦生熱引起的溫升影響較小,壁面溫度每上升 20 K,油膜溫度上升量近似降低50%。邱彤[4]等CFD方法對爐膛內(nèi)流動、燃燒、傳熱和傳質(zhì)過程進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)可以通過增加側(cè)壁燒嘴來彌補(bǔ)爐膛頂部熱量的不足的問題。熊天軍[5]等采用CFD方法對嚴(yán)寒地區(qū)某工業(yè)廠房冬季不同的供暖末端進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)熱風(fēng)機(jī)難以將暖空氣送至人員工作區(qū)域,并且會導(dǎo)致較大的垂直溫度梯度與室內(nèi)溫度分布不均,從而增大所需供熱量,而采用輻射地板可以以最少的熱量供應(yīng)達(dá)到相同的平均操作溫度。陳思[6]采用CFD方法研究了蓄熱材料充填蓄熱室熱過程,討論了其吸熱和放熱過程的影響因素,實現(xiàn)了蓄熱室熱過程兩相對流、傳導(dǎo)、輻射的非穩(wěn)態(tài)耦合計算。傳統(tǒng)熱過程控制采用CFD方法估計系統(tǒng)的響應(yīng),雖然可以估計熱過程控制系統(tǒng)的溫度分布特征和溫度-時間響應(yīng),能夠滿足熱過程控制設(shè)計的需要,但該方法計算量大耗時長、無法實時調(diào)整系統(tǒng)的控制率,導(dǎo)致對熱過程系統(tǒng)控制率的優(yōu)化周期較長、成本較高,尤其難以實現(xiàn)熱過程控制的“實時”優(yōu)化。

降階模型大致可分為兩種:一種基于流場特征模態(tài)(如POD、子空間投影等),另一種基于系統(tǒng)辨識和數(shù)據(jù)驅(qū)動(如Volterra級數(shù)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等),前者建模需要全流場信息,而后者則只需要少量的輸入輸出樣本,以簡潔的數(shù)學(xué)表達(dá)式描述全階非定常流動系統(tǒng)[7]。因此,后者更適用于熱過程控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)問題。Volterra級數(shù)是一種范函級數(shù),描述了非線性時系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系,可以任意精度逼近連續(xù)函數(shù)。Volterra級數(shù)降階模型根據(jù)已知的試驗數(shù)據(jù)或仿真數(shù)據(jù),辨識系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系,是一種能夠體現(xiàn)系統(tǒng)非線性特征的簡單數(shù)學(xué)模型,其精度與CFD接近且計算效率遠(yuǎn)高于CFD,為非線性系統(tǒng)響應(yīng)的快速估計提供了有力的方法和工具[8]。本文采用高效精確的Volterra級數(shù)降階模型方法替代CFD方法,提高熱過程控制系統(tǒng)的溫度響應(yīng)預(yù)測效率,為熱過程系統(tǒng)的控制和優(yōu)化提供了新的方法。通過一個系統(tǒng)溫度控制的算例,研究了降階模型辨識方法替代CFD方法的可行性,討論了基于降階模型優(yōu)化熱過程系統(tǒng)控制率的可行性。

1 基于Volterra級數(shù)的熱過程響應(yīng)的降階模型分析方法

在某些工業(yè)生產(chǎn)過程(如熱處理、催化裂解等)中需要對加熱過程進(jìn)行嚴(yán)格控制,使被控對象的溫度按一定規(guī)律進(jìn)行變化或基本恒定在某一數(shù)值上。對于這類熱過程控制系統(tǒng),其輸出變量為系統(tǒng)溫度,輸入變量可以是加熱溫度、加熱氣體泵送壓力、加熱氣體流量、加熱棒的功率等[9],為簡化問題,本文以加熱溫度為控制輸入變量展開討論,對于其他控制變量也可以采用同樣的方法進(jìn)行研究。

溫控系統(tǒng)的輸入溫度T和輸出溫度Y之間的關(guān)系可表示為

{Y(t)}=Ψ{T(t)}

(1)

式中:t為時間,s。

以上關(guān)系涉及流體力學(xué)和傳熱學(xué)等多個學(xué)科,是一個非線性的函數(shù),常采用CFD方法求解,考慮到CFD方法的缺點(diǎn),本文采用非線性降階模型的方法研究上述溫控系統(tǒng),選擇基于Volterra級數(shù)的降階模型來實現(xiàn)溫控系統(tǒng)的熱過程快速預(yù)測和優(yōu)化。

對于公式(1)表示的溫控系統(tǒng),其離散格式Volterra級數(shù)降階模型可寫為[10]

(2)

式中:T(n)為離散的系統(tǒng)溫度輸入向量;Y(n)為離散的系統(tǒng)溫度輸出向量;n=0,1,…為離散時間,s;H0為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)溫度,K;H1為溫度響應(yīng)的一階核函數(shù)矩陣;H2為溫度響應(yīng)的二階核函數(shù)矩陣。

通過已有的系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系,辨識公式(2)中的H0、H1、H2,可得離散格式的系統(tǒng)響應(yīng)降階模型。用該降階模型,可以計算任意輸入下系統(tǒng)的響應(yīng)[11-12]。基于Volterra 級數(shù)的降階模型的關(guān)鍵在于核函數(shù)的辨識,核函數(shù)可由脈沖信號法、階躍信號法或者隨機(jī)信號下的響應(yīng)來識別。由于Volterra 級數(shù)降階模型二階及以上的核函數(shù)數(shù)量大,識別核函數(shù)困難,因此一般采用一階Volterra 級數(shù)降階模型[13-16]。將式(1)所表示的溫控系統(tǒng)按照一階離散格式的Volterra級數(shù)展開,可以得到該系統(tǒng)熱過程響應(yīng)的降階模型:

(3)

在建立上述降階模型后,可以進(jìn)一步進(jìn)行系統(tǒng)熱過程的快速預(yù)測和優(yōu)化。溫控系統(tǒng)降階模型建立、熱過程快速預(yù)測和控制率優(yōu)化的具體步驟如下:

(1)建立溫控系統(tǒng)的CFD模型;

(2)在CFD模型上施加階躍溫度輸入信號,得到溫控系統(tǒng)的溫度響應(yīng);

(3)通過溫控系統(tǒng)的輸入溫度和響應(yīng)溫度,辨識公式(3)中的核函數(shù);

(4)將核函數(shù)代入式(3),構(gòu)造溫控系統(tǒng)的降階模型;

(5)改變輸入溫度的時間變化規(guī)律,采用降階模型得到對應(yīng)的系統(tǒng)溫度時間變化規(guī)律;

(6)重復(fù)步驟(5)得到最優(yōu)的溫度控制率。

2 熱過程控制系統(tǒng)算例說明

某溫度控制系統(tǒng)如圖1所示。該系統(tǒng)為球體,球體直徑44 m,加熱氣體入口直徑0.5 m,減壓排氣口直徑0.5 m,入口和出口夾角為90°。通過空氣進(jìn)行加熱,系統(tǒng)的輸入變量為入口加熱氣體的溫度,輸出變量為該系統(tǒng)的壁面溫度。對壁面的溫度進(jìn)行控制,要求在最短時間內(nèi)將壁面溫度從300 K均勻加熱至550 K左右,壁面最大溫差不超過50 ℃。

圖1 溫控對象模型

3 熱過程控制系統(tǒng)算例響應(yīng)降階模型

采用CFD獲得階躍溫度下熱過程控制系統(tǒng)的響應(yīng)。CFD計算時流體為空氣,k-e湍流模型,球體內(nèi)部的初始溫度為300 K,出口為大氣,入口加熱氣體流速8 m/s。入口加熱氣體的溫度為控制變量,計算時采用階躍溫度,階躍幅值為300 K,入口溫度如圖2(a)所示,在階躍輸入溫度下計算得到的系統(tǒng)壁面最高溫度、平均溫度和最低溫度如圖2(b)所示,系統(tǒng)壁面溫差如圖2(c)所示。不同時刻球體內(nèi)部溫度分布如圖3所示。

圖2 球體入口溫度及其響應(yīng)

圖3 CFD計算得的系統(tǒng)溫度

根據(jù)圖2辨識系統(tǒng)壁面溫度變化的核函數(shù),結(jié)果如圖4所示。將核函數(shù)代入式(3),得到該系統(tǒng)壁面溫度響應(yīng)的降階模型。為驗證降階模型方法的可行性和該降階模型精度,分別用降階模型和CFD計算了任意入口控制溫度下系統(tǒng)的響應(yīng),兩者的結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出,降階模型方法得到的升溫曲線與CFD方法得到的升溫曲線重合,這說明了基于Volterra級數(shù)的降階模型方法是可行的,所建立的降階模型是精確的,能夠用來正確估計該系統(tǒng)輸出溫度隨控制溫度的變化規(guī)律。

圖4 溫度變化的核函數(shù)

圖5 升溫曲線對比結(jié)果

4 熱過程控制系統(tǒng)算例控制率的優(yōu)化

為了優(yōu)化圖1所示熱過程控制系統(tǒng)的熱控制過程,將降階模型代入優(yōu)化算法,用于預(yù)測任意控制溫度下溫控對象壁面溫度的響應(yīng),通過優(yōu)化算法調(diào)整溫度控制率實現(xiàn)熱過程的優(yōu)化。根據(jù)算例的要求,入口溫度控制率采用線性函數(shù)T=at+T0,該函數(shù)有兩個控制變量:起始控制溫度T0和升溫斜率a。經(jīng)過優(yōu)化,發(fā)現(xiàn)當(dāng)入口加熱溫度T與時間t的關(guān)系滿足T=0.06t+450 K時滿足設(shè)計要求,這時的輸入溫度波形如圖6(a)所示。用CFD計算了優(yōu)化方案的系統(tǒng)響應(yīng),發(fā)現(xiàn)CFD結(jié)果與降階模型結(jié)果一致,優(yōu)化后系統(tǒng)壁面的升溫速率基本保持不變,且耗時更短,對比如圖6(b)所示。系統(tǒng)的溫差變化如圖6(c)所示,升溫過程中最大溫差為38 ℃,溫差滿足設(shè)計要求。

圖6 系統(tǒng)升溫優(yōu)化結(jié)果

需要說明的是,上述溫度控制系統(tǒng)算例的CFD網(wǎng)格數(shù)量約15萬,在96線程Xeon PLATINUM 8175M并行計算機(jī)上進(jìn)行一次模擬需要6 h,優(yōu)化迭代20次共計120 h。而采用降階模型方法進(jìn)行優(yōu)化僅需要1 s,加上采用CFD進(jìn)行階躍響應(yīng)分析的時間,總耗時6 h,效率提升顯著,而且該降階模型可以用于實時控制過程。

5 總 結(jié)

本文提出了一種基于一階Volterra 級數(shù)的降階模型的熱過程快速分析預(yù)測方法。該方法根據(jù)階躍加熱下系統(tǒng)的響應(yīng),構(gòu)建系統(tǒng)溫度與控制條件之間關(guān)系的降階模型,并用該降階模型快速預(yù)測和優(yōu)化不同控制條件下系統(tǒng)的響應(yīng),為熱過程控制策略制定及控制參數(shù)確定提供了一種工具。算例的結(jié)果表明:利用降階模型方法得到的結(jié)果與CFD的結(jié)果一致且效率提升顯著,可以快速得到不同溫度輸入波形下溫控系統(tǒng)的響應(yīng),且不需要反復(fù)進(jìn)行CFD計算,證明了基于Volterra 級數(shù)的降階模型方法在熱過程快速預(yù)測和優(yōu)化研究中的可行性和高效性。