杜旭升，白福忠,2，徐永祥,2，王建新

（1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)特殊服役智能機(jī)器人重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；3.西南科技大學(xué) 極端條件物質(zhì)特性聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽 621010）

引言

干涉測量技術(shù)因具有非接觸測量、測量精度高的優(yōu)點(diǎn)而備受人們關(guān)注[1]。其中，徑向剪切干涉是一種自參考干涉技術(shù)，與傳統(tǒng)雙光束干涉相比，具有不需要額外設(shè)置參考光路、干涉系統(tǒng)易于設(shè)計(jì)成共光路結(jié)構(gòu)等優(yōu)勢[2]，從而對溫度變化、空氣擾動(dòng)、振動(dòng)等因素不敏感，被廣泛應(yīng)用在自適應(yīng)光學(xué)[3]、激光波前診斷、光學(xué)元件質(zhì)量檢測、角膜地形圖測量、溫度場測量、流場測量[4]等領(lǐng)域。但是與傳統(tǒng)含有絕對平面波前參考光束的干涉技術(shù)相比，徑向剪切干涉所形成的相位差并不是待測波前相位本身，而是待測波前的擴(kuò)束和縮束波面在重疊區(qū)域的相位差[5]。因而如何從相位差信息中獲取待測波前相位，即波前重構(gòu)，是徑向剪切干涉中的一個(gè)重要研究內(nèi)容。

目前波前重構(gòu)算法主要包括迭代重構(gòu)算法和模式重構(gòu)算法[6]。迭代重構(gòu)算法是將剪切波前經(jīng)過若干次插值放大，將所有迭代結(jié)果與原始相位差數(shù)據(jù)相加得到重構(gòu)波前。迭代重構(gòu)算法原理簡單，實(shí)際應(yīng)用可行性好，對待重構(gòu)的波前畸變的空間頻率信息沒有特別要求。模式重構(gòu)算法用Zernike、Legendre 多項(xiàng)式作為模式基底，分別對圓形孔徑或方形孔徑相位差數(shù)據(jù)進(jìn)行模式擬合而得到重構(gòu)波前[7]，模式法適用于重構(gòu)低空間頻率的波前畸變，對于高空間頻率的像差復(fù)原精度較低。

對于傳統(tǒng)波前重構(gòu)算法，從重構(gòu)原理上講均要求擴(kuò)束與縮束光波中心重合或?qū)?zhǔn)，否則會(huì)產(chǎn)生重構(gòu)誤差。然而，在實(shí)際的徑向剪切干涉測量實(shí)驗(yàn)中，為了使擴(kuò)束與縮束光波中心對準(zhǔn)，需要多次反復(fù)地對光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行精密調(diào)試，使擴(kuò)束與縮束光波中心盡可能重合，增加了實(shí)驗(yàn)調(diào)試復(fù)雜性。盡管如此，實(shí)際上很難保證中心嚴(yán)格重合，而中心不重合情況卻時(shí)有發(fā)生。另外，對于不同結(jié)構(gòu)類型的徑向剪切干涉系統(tǒng)，其調(diào)整方法也不盡相同，因而很難設(shè)計(jì)出通用且行之有效的裝調(diào)技術(shù)。

為此，若能夠通過實(shí)驗(yàn)方式檢測出中心偏移量大小，考慮將其作為一個(gè)新的物理變量引入到波前重構(gòu)算法中，由此獲得高精度波前重構(gòu)結(jié)果，對于降低調(diào)試難度、提高測量效率、保證測量精度具有重要意義。因此，研究適用于中心不重合情況下的波前重構(gòu)算法就成為一個(gè)重要且有意義的內(nèi)容。目前關(guān)于改進(jìn)的迭代波前重構(gòu)算法要求擴(kuò)束比與縮束比成倒數(shù)關(guān)系，僅適用于特定光學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，如環(huán)路徑向剪切干涉儀[8]。而對于如文獻(xiàn)[9]的系統(tǒng)則無法適用，算法普適性差。

本文基于傳統(tǒng)迭代重構(gòu)算法，推導(dǎo)了更具普適性的中心不重合徑向剪切干涉迭代波前重構(gòu)算法，給出了詳細(xì)的算法設(shè)計(jì)方案。仿真分析了本文算法與傳統(tǒng)迭代波前重構(gòu)算法在Zernike 組合像差、單階Zernike 像差、中心偏移程度及其計(jì)算誤差情況下的重構(gòu)效果，驗(yàn)證了本文算法的有效性與可靠性。

1 用于中心不重合徑向剪切干涉的迭代波前重構(gòu)算法原理

徑向剪切干涉是利用剪切干涉裝置把待測波面分成擴(kuò)束、縮束兩個(gè)相干波面，使兩個(gè)波面在空間重疊區(qū)域發(fā)生干涉；通過相位復(fù)原算法從干涉條紋中求解剪切相位差，進(jìn)而利用波前重構(gòu)算法計(jì)算出被測波前相位[10]。圖1 是徑向剪切干涉示意圖，設(shè)縮束比為sc（sc＜1），擴(kuò)束比為se（se＞1），則剪切比 β=sc/se。

圖1 徑向剪切干涉示意圖Fig.1 Schematic diagram of radial shearing interference

設(shè)原始波面方程為W(x,y)，將坐標(biāo)系原點(diǎn)O定義在縮束波面的中心位置，擴(kuò)束波面中心O'相對于縮束波面中心的偏移量為 (-x0,-y0)，為了便于推導(dǎo)，可先假設(shè)y0=0。于是縮束波面可表示為W(x/sc,y/sc)，擴(kuò)束波面可表示為W(x/se+x0,y/se)，則兩波面在重疊區(qū)域的相位差可表示為

式（1）中坐標(biāo)變量x和y乘以β可以使擴(kuò)束波面中心區(qū)域逐漸趨近平面波：

重復(fù)上述過程可得：

式中：n=0,1,2,···,N，表示迭代次數(shù)。為了消除式（1）至式（4）等號右邊第2 項(xiàng)，在式（2）中增加坐標(biāo)變量x0后變?yōu)?/p>

式（3）中增加坐標(biāo)變量 (β+1)x0后變?yōu)?/p>

式(1)、式(5)至式(7)相加，等號兩邊各項(xiàng)錯(cuò)位相消后可得：

經(jīng)過若干次迭代，擴(kuò)束波面的中心區(qū)域趨近平面波，因而上式最后一項(xiàng)可以被忽略，于是式（8）可寫為

進(jìn)一步地，若y0≠0時(shí)可以得到迭代重構(gòu)波前的一般表達(dá)式：

若剪切光束中心重合，則x0=y0=0，代入式（10）推導(dǎo)出如下所示中心重合情況下的迭代波前重構(gòu)表達(dá)式，這與傳統(tǒng)迭代重構(gòu)算法是一致的。

2 波前重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)步驟

用于中心不重合徑向剪切干涉的迭代波前重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)過程主要包括相位差復(fù)原、干涉圖參數(shù)求解、迭代波前重構(gòu)3 個(gè)技術(shù)步驟。

1）剪切相位差復(fù)原

利用徑向剪切干涉系統(tǒng)，引入相位調(diào)制技術(shù)，獲取載波干涉條紋圖像或者移相干涉圖[11]。對于載波干涉條紋，僅需一幀條紋圖像便可采用傅里葉變換算法求解剪切相位差。對于移相波前復(fù)原技術(shù)而言，常用四步移相算法[12]，相鄰兩幀移相干涉圖之間的相移量為 π/2，仿真的四幀移相徑向剪切干涉圖如圖2 所示。

圖2 仿真的四步移相徑向剪切干涉圖Fig.2 Simulated four-step phase-shifting radial shearing interferograms

四步移相算法表示為

式中：Ik（k=1，2，3，4）為移相干涉圖強(qiáng)度。對式（12）計(jì)算出的包裹相位經(jīng)過相位解包裹[13]后得到剪切相位差 ΔW，即擴(kuò)束光波和縮束光波在重疊區(qū)域的相位差。

2）干涉圖參數(shù)求解

由擴(kuò)束光波的半徑re和縮束光波的半徑rc，計(jì)算剪切比 β=rc/re。兩光波中心坐標(biāo)之差即為中心偏移量 (x0,y0)。

3）迭代波前重構(gòu)

基于上節(jié)介紹的迭代波前重構(gòu)算法原理，將迭代重構(gòu)實(shí)施過程歸納為如下5 個(gè)步驟。

a）將剪切相位差 ΔW通過插值運(yùn)算擴(kuò)大1/β倍，得到擴(kuò)束波面。

b）以擴(kuò)束波面中心為基準(zhǔn)，引入中心偏移量 (x0,y0)，在擴(kuò)束波面中提取有效數(shù)據(jù)區(qū)域。有效數(shù)據(jù)區(qū)域大小與剪切相位差大小一致，由此得到第1 次迭代波面，記為 ΔW1。

c）將 ΔW1擴(kuò)大1/β倍得到新的擴(kuò)束波面。重復(fù)步驟b)，得到第2 次迭代波面 ΔW2。

d）重復(fù)上述迭代過程N(yùn)次，得到第N次迭代波面 ΔWN與第N-1 次迭代波面 ΔWN-1，若迭代結(jié)果滿足式(13)，則迭代過程終止[14]。

式中：Num表示 ΔWN中包含的有效數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)；λ為光波的波長。

e）將剪切相位差 ΔW與N次迭代波面相加，得到重構(gòu)波面W：

迭代波前重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)流程如圖3 所示。圖中虛線所示的圓形區(qū)域表示未考慮中心偏移時(shí)提取的有效數(shù)據(jù)范圍，實(shí)線所示的圓形區(qū)域表示考慮中心偏移后提取的有效數(shù)據(jù)范圍。

圖3 迭代波前重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)流程Fig.3 Implementation flow of iterative wavefront reconstruction algorithm

3 波前重構(gòu)算法仿真分析

3.1 算法有效性驗(yàn)證

首先對本文算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，取3 至15 階圓形孔徑Zernike 多項(xiàng)式構(gòu)造組合像差，得到原始仿真波面如圖4(a)所示，大小為256×256像素。

圖4 兩種算法重構(gòu)結(jié)果對比Fig.4 Comparison of reconstruction results of two algorithms

假設(shè)縮束比sc=0.828，擴(kuò)束比se=1.2；中心偏移量y0=0 像素，x0=25 像素。于是可得剪切比β=sc/se=0.69，縮束和擴(kuò)束波面大小分別為212×212像素和308×308 像素。仿真條件中擴(kuò)束比與縮束比并非成倒數(shù)關(guān)系，也可以為其他任意量值。

由縮束與擴(kuò)束波面相減得到剪切相位差，如圖4(b)所示，其大小與縮束波面大小相等。使用傳統(tǒng)迭代重構(gòu)算法對剪切相位差進(jìn)行波前重構(gòu)，重構(gòu)波面與誤差波面如圖4(c)和圖4(e)所示。本文算法得到的重構(gòu)波面和誤差波面如圖4(d)和圖4(f)所示，其中誤差波面是由重構(gòu)波面與原始波面作差得到。

傳統(tǒng)算法重構(gòu)誤差的峰谷(PV)值為3.617 1λ，均方根誤差（RMS）值為0.851 9λ，本文算法重構(gòu)誤差的PV 值為0.020 6λ，RMS 值為0.004 6λ，重構(gòu)誤差要遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)算法重構(gòu)誤差。

將原始波面、傳統(tǒng)算法和本文算法的重構(gòu)波面的中間一行截面數(shù)據(jù)（沿x軸方向）繪制于圖5。本文算法的重構(gòu)結(jié)果與原始波面高度吻合，而傳統(tǒng)算法的重構(gòu)結(jié)果卻與原始波面存在明顯差異。表明本文算法在存在中心偏移時(shí)能夠準(zhǔn)確地重構(gòu)出待測波前。

圖5 重構(gòu)波面中間一行截面數(shù)據(jù)Fig.5 Cross-section data in middle row of reconstruction wavefront

3.2 不同Zernike 像差的重構(gòu)精度分析

通過對3.1 節(jié)得到的重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行Zernike 分解[15]，得到3 至15 階Zernike 系數(shù)，原始波面的Zernike 系數(shù)是在仿真時(shí)直接給定，如圖6 所示。

圖6 兩種算法對各階Zernike 像差的重構(gòu)結(jié)果對比Fig.6 Reconstruction results comparison of different orders of Zernike aberration with two algorithms

圖6(a)顯示了原始波面下兩種算法重構(gòu)結(jié)果的Zernike 系數(shù)柱狀圖；圖6(b)顯示了Zernike 系數(shù)的相對誤差分布，其中相對誤差是指重構(gòu)結(jié)果Zernike 系數(shù)與理論系數(shù)之差與理論系數(shù)的比值。結(jié)果顯示，本文算法對于不同Zernike 像差的重構(gòu)精度都明顯高于傳統(tǒng)算法，相對而言，兩種算法對第5 階像差的重構(gòu)誤差偏大，其中傳統(tǒng)算法重構(gòu)相對誤差約800%，改進(jìn)算法重構(gòu)相對誤差為20.7%。

3.3 中心偏移量對重構(gòu)精度的影響

根據(jù)3.1 節(jié)仿真條件可知，中心偏移量最大允許值（擴(kuò)束與縮束波面半徑之差）為48 像素。本節(jié)通過改變中心偏移量的大小來對重構(gòu)算法精度進(jìn)行分析。設(shè)中心偏移量沿x方向從0 至48 像素、以2 像素步長逐漸增加，在y方向保持為0，其余仿真條件與3.1 節(jié)相同。兩種算法得到的重構(gòu)誤差RMS 值如圖7 所示。結(jié)果顯示，隨著中心偏移量逐漸增大，傳統(tǒng)算法重構(gòu)誤差近似呈線性增大，最大重構(gòu)誤差RMS 值為1.6λ；中心偏移量變化時(shí)本文算法的重構(gòu)誤差一直保持在較低水平，最大重構(gòu)誤差RMS 值為0.05λ，說明中心偏移量的大小對本文算法的影響幾乎可以忽略。

圖7 組合像差重構(gòu)誤差隨中心偏移量的變化Fig.7 Variation of reconstruction errors of combined aberration with center offset

3.4 單階Zernike 像差在不同偏移量情況下的重構(gòu)精度分析

考慮3 至15 階單階Zernike 像差，在中心偏移量（y0=0 像素，x0=0～48 像素）由小到大變化過程中的情況，對比分析兩種算法的重構(gòu)效果，圖8 給出了兩種算法的重構(gòu)誤差RMS 值。本文算法重構(gòu)誤差的RMS 值為10-2λ量級；而傳統(tǒng)算法對于各階Zernike 像差的重構(gòu)誤差普遍較大，重構(gòu)誤差RMS 值約為1λ量級。

圖8 單階Zernike 像差重構(gòu)誤差隨中心偏移量的變化Fig.8 Variation of reconstruction error of single-order Zernike aberration with center offset

圖9 顯示了重構(gòu)誤差偏大的第3 階、第10 階和第15 階Zernike 像差重構(gòu)誤差RMS 值隨偏移量的變化曲線。由圖可見，本文算法重構(gòu)誤差最大為0.054λ；而傳統(tǒng)算法重構(gòu)誤差隨偏移量增加逐漸增大，最大重構(gòu)誤差為3.39λ。

圖9 部分Zernike 像差重構(gòu)誤差Fig.9 Reconstruction error of part of single-order Zernike aberrations

綜上可知，對于單階Zernike 像差以及組合像差，不論中心偏移量有多大，本文算法均能獲得高精度的波前重構(gòu)結(jié)果。而傳統(tǒng)算法未考慮中心偏移情況，其重構(gòu)誤差與中心偏移量近似呈線性關(guān)系。

3.5 中心偏移量計(jì)算誤差對重構(gòu)精度的影響

對于迭代算法的數(shù)學(xué)模型，難以從理論推導(dǎo)上分析中心偏移量的計(jì)算誤差對重構(gòu)精度的影響，這里同樣使用數(shù)值仿真方式進(jìn)行分析?；?.1節(jié)仿真條件，當(dāng)中心偏移量的計(jì)算誤差在-20 像素至20 像素范圍內(nèi)變化時(shí)，計(jì)算出的本文算法重構(gòu)誤差RMS 值如圖10 所示。重構(gòu)誤差符合一般常識，即計(jì)算誤差越大，重構(gòu)誤差越大，這也從側(cè)面說明，中心偏移量的準(zhǔn)確計(jì)算對提高算法重構(gòu)精度是重要的。

圖10 中心偏移量計(jì)算誤差對波前重構(gòu)精度的影響Fig.10 Influence of center offset calculation error on wavefront reconstruction accuracy

在實(shí)際測量中，可對擴(kuò)束和縮束光波的光斑圖像采用圖像處理技術(shù)，來獲得各自中心坐標(biāo)，從而計(jì)算出中心偏移量。引入本文算法重構(gòu)被測波面，通過圖像處理算法能夠更有利于提高并保證測量精度；同時(shí)也避免了傳統(tǒng)算法需要對光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行反復(fù)調(diào)試來達(dá)到剪切光波中心的準(zhǔn)確對準(zhǔn)。接下來作者將對實(shí)際應(yīng)用中的剪切光波中心偏移量標(biāo)定方法進(jìn)行深入研究，為改進(jìn)算法的工程化應(yīng)用提供技術(shù)支持。

4 結(jié)論

本文基于徑向剪切干涉中的迭代波前重構(gòu)算法，推導(dǎo)了一種更為普適的中心不重合徑向剪切干涉迭代波前重構(gòu)算法。通過數(shù)值仿真分析了組合Zernike 像差、單階Zernike 像差、中心偏移量變化對傳統(tǒng)迭代重構(gòu)算法與本文算法的影響。仿真結(jié)果顯示，相較于傳統(tǒng)重構(gòu)算法，本文算法的重構(gòu)精度更高，不受偏移量大小的影響，適用于不同類型的波前像差。這對于傳統(tǒng)算法實(shí)驗(yàn)調(diào)試對準(zhǔn)過程繁瑣、重構(gòu)精度難以保證的問題，提供了一種有效解決途徑。本文仿真分析是在剪切比、波面大小不變的情況下，仿真分析了中心偏移量、待測波面這些物理量對算法性能的影響，上述的研究結(jié)論在其他剪切比、波面大小和波面類型中同樣具有普遍意義。另外，兩種算法在計(jì)算效率方面沒有明顯優(yōu)劣。