段俠

含參二次函數(shù)是二次函數(shù)知識(shí)中的難點(diǎn)，也是中考的高頻考點(diǎn)，更是大家的易錯(cuò)點(diǎn)。我們將從以下三個(gè)方面來探究含參二次函數(shù)的通性通法。

一、含參二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題

例1 已知：二次函數(shù)y=x2-2mx-1（m為常數(shù)）。

求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)。

【解析】當(dāng)y=0時(shí)，x2-2mx-1=0，b2-4ac=（-2m）2-4×1×（-1）=4m2+4。

∵無論m取何值，m2≥0，

∴4m2+4＞0。

∴方程x2-2mx-1=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

∴不論m為何值，該一元二次函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)。

變式 已知：二次函數(shù)y=a（x-1）·（x-1-a）（a為常數(shù)，且a≠0）。

求證：該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)。

【解析】方法1：令y=0，即a（x-1）（x-1-a）=0。

∵a≠0，∴x-1=0或x-1-a=0，即x1=1，x2=1+a。

∵1≠1+a，

∴一元二次方程a（x-1）（x-1-a）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

∴該函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)。

方法2：將該二次函數(shù)化為一般式，然后利用例1的方法進(jìn)行證明。證明略。

【方法點(diǎn)撥】對(duì)于含參二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，常見的解決方法有兩種：①若二次函數(shù)的表達(dá)式是一般形式，即y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0），先令函數(shù)值y=0，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再利用b2-4ac與0的關(guān)系進(jìn)行證明；②若二次函數(shù)的表達(dá)式是交點(diǎn)式，即y=a（x-x1）·（x-x2）（a為常數(shù)，且a≠0），可直接令y=0，求出與x軸的交點(diǎn)進(jìn)行證明。兩種方法都可使用，大家可以根據(jù)題中所給函數(shù)表達(dá)式靈活選用。

二、含參二次函數(shù)中的圖像過定點(diǎn)問題

例2 已知函數(shù)y=x2+（m-3）x+1-2m（m為常數(shù)），則該函數(shù)圖像必經(jīng)過定點(diǎn)。

【解析】y=x2+（m-3）x+1-2m

=（x-2）m+x2-3x+1。

∵該函數(shù)的圖像必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，∴x-2=0，解得x=2。

當(dāng)x=2時(shí)，y=-1。

∴該函數(shù)圖像必經(jīng)過定點(diǎn)（2，-1）。

【方法點(diǎn)撥】含參二次函數(shù)中的圖像過定點(diǎn)問題的解題步驟為：①將函數(shù)表達(dá)式化為一般形式；②將含參項(xiàng)合并同類項(xiàng)；③令參數(shù)的系數(shù)為零，求出橫坐標(biāo)的值；④將橫坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式求出縱坐標(biāo)的值，進(jìn)而解決問題。

三、含參二次函數(shù)中的比較大小問題

例3 已知二次函數(shù)y=（x-k）2+2（x-k）（k為常數(shù)），在該函數(shù)的圖像上任取兩點(diǎn)A（2k，y1）、B（2k+1，y2），試比較y1與y2的大小。

【解析】∵點(diǎn)A（2k，y1）、B（2k+1，y2）在y=（x-k）2+2（x-k）的函數(shù)圖像上，

∴y1=k2+2k，y2=（k+1）2+2（k+1）=k2+4k+3。

∴y2-y1=k2+4k+3-（k2+2k）=2k+3。

當(dāng)k＜[-32]時(shí)，y2-y1＜0，y2＜y1；

當(dāng)k=[-32]時(shí)，y2-y1=0，y2=y1；

當(dāng)k＞[-32]時(shí)，y2-y1＞0，y2＞y1。

變式 已知函數(shù)y1=ax2+3ax+1與y2=ax+5，a為常數(shù)，且a≠0。當(dāng)a＜[12]，0＜x＜2時(shí)，比較y1與y2的大小，并說明理由。

【解析】令y=y1-y2=ax2+2ax-4，

該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x=-1。

∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y隨x的增大而增大，或y隨x的增大而減小。

∵a＜[12]，

∴當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+4a-4=8a-4＜0。

又∵當(dāng)x=0時(shí)，y=-4＜0，

∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y＜0，即y1＜y2。

【方法點(diǎn)撥】比較大小問題在函數(shù)中屬于常見題型，有兩種常用解法：①數(shù)形結(jié)合，直接利用函數(shù)圖像的性質(zhì)解題，此方法對(duì)數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力要求比較高，稍不注意就會(huì)出錯(cuò)；②利用作差法比較大小，只要對(duì)作差的結(jié)果與零進(jìn)行比較，即可得出最后的結(jié)論，這種方法對(duì)數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力要求相對(duì)較低且正確率較高。

（作者單位：江蘇省南京市宏運(yùn)學(xué)校）