吳世華

同學(xué)們在解二次函數(shù)相關(guān)的問題時，稍有不慎，就會出現(xiàn)顧此失彼的情況。為了幫助同學(xué)們更好地掌握二次函數(shù)的知識，更深刻地理解二次函數(shù)的本質(zhì)，現(xiàn)將常出現(xiàn)的錯誤歸納總結(jié)，分析如下，希望對大家的學(xué)習(xí)有所幫助。

例1 已知y=（a+1）xa2+1-2x+3是二次函數(shù)，請求出a的值。

【錯解】∵y=（a+1）xa2+1-2x+3是二次函數(shù)，∴未知數(shù)的指數(shù)應(yīng)該是2，即a2+1=2。解得a=±1?！郺的值為±1。

【錯因分析】本題做錯的原因是對二次函數(shù)的定義理解得不透徹，把“二次項系數(shù)不等于0”這個條件遺漏了。

【正解】∵y=（a+1）xa2+1-2x+3是二次函數(shù)，∴a2+1=2。解得a=±1。又∵二次函數(shù)的二次項系數(shù)不等于0，即a+1≠0。解得a≠-1。

綜上所述，a的值為1。

例2 若函數(shù)y=ax2-2x+1的圖像與x軸有唯一的交點，請求出a的值。

【錯解】函數(shù)y=ax2-2x+1的圖像與x軸有唯一的交點，令y=0，得ax2-2x+1=0。所以Δ=（-2）2-4a?1=0。解得a=1。

【錯因分析】本題做錯的原因是審題不清，或者說沒有思考到還有另一種可能。此題題干部分說的是“函數(shù)”，而不是“二次函數(shù)”。因此，當(dāng)此函數(shù)為一次函數(shù)時，圖像與x軸有唯一的交點，也符合題意。

【正解】當(dāng)y=ax2-2x+1是二次函數(shù)時，函數(shù)y=ax2-2x+1的圖像與x軸有唯一的交點，令y=0，得ax2-2x+1=0。所以Δ=（-2）2-4a?1=0。解得a=1。

當(dāng)y=ax2-2x+1是一次函數(shù)時，即a=0，此時函數(shù)表達式為y=-2x+1，也符合題意。

綜上所述，a=1或a=0。

例3 已知二次函數(shù)y=x2-2ax+16圖像的頂點在坐標(biāo)軸上，請求出a的值。

【錯解】∵y=x2-2ax+16=（x-a）2-a2+16，∴頂點坐標(biāo)為（a，16-a2）。由題意知，16-a2=0，解得a=±4。

【錯因分析】本題考查分類討論思想。題干中說到“頂點在坐標(biāo)軸上”，坐標(biāo)軸包括x軸和y軸，錯解中只考慮了頂點在x軸上這一種情況，從而導(dǎo)致解題不完整。

【正解】∵y=x2-2ax+16=（x-a）2-a2+16，∴頂點坐標(biāo)為（a，16-a2）。

當(dāng)頂點在x軸上時，16-a2=0。解得a=±4。當(dāng)頂點在y軸上時，a=0。

綜上所述，a的值是±4或0。

例4 已知二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），一次函數(shù)y=kx+b圖像經(jīng)過點A，與這個拋物線交于點C，且S△ABC=8，求一次函數(shù)的表達式。

【錯解】當(dāng)y=0時，即y=-x2+2x+3=0。解得x1=-1，x2=3?！郃（-1，0），B（3，0）。

設(shè)點C坐標(biāo)為（x，y）。

∵S△ABC=8，∴[12]［3-（-1）］?y=8。

∴y=4。

當(dāng)y=4時，得x=1?！郈（1，4）。

經(jīng)過A（-1，0）、C（1，4）的一次函數(shù)表達式為y=2x+2。

【錯因分析】本題做錯的主要原因是沒有找全符合題意的情況，三角形的高可能在x軸上方，也可能在x軸下方。

【正解】當(dāng)y=0時，即y=-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3。∴A（-1，0）、B（3，0）。

設(shè)點C坐標(biāo)為（x，y）。

∵S△ABC=8，∴[12]［3-（-1）］?[y]=8。

∴y=±4。

當(dāng)y=4時，得x=1?！郈（1，4）。

經(jīng)過A（-1，0）、C（1，4）的一次函數(shù)表達式為y=2x+2。

當(dāng)y=-4時，得x1=1-[22]，x2=1+[22]?！郈'（1-[22]，-4），C″（1+[22]，-4）。

∴一次函數(shù)圖像過A（-1，0）、C'（1-[22]，-4）時，表達式為y=（2+[22]）x+2+[22]；一次函數(shù)圖像過A（-1，0）、C″（1+[22]，-4）時，表達式為y=（2-[22]）x+2-[22]。

綜上所述，符合題意的表達式為：y=2x+2、y=（2+[22]）x+2+[22]、y=（2-[22]）x+2-[22]。

（作者單位：江蘇省南京宇通實驗學(xué)校）