仲偉東

二次函數(shù)圖像的平移、翻折和旋轉(zhuǎn)是眾多命題者青睞的方向，也被不少同學(xué)視為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的障礙。要突破這個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)，我們需要回歸知識本位去思考不同的解題策略，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)隱藏于題目之中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，解密二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律。

一、二次函數(shù)圖像的平移

問題1 把二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像向上平移2個(gè)單位，所得圖像的函數(shù)表達(dá)式是什么？

【方法提示】方法1：在拋物線y=x2-2x-3上任取三點(diǎn)，如（0，-3）、（-1，0）、（-2，5），然后確定這三點(diǎn)向上平移2個(gè)單位后的新點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1）、（-1，2）、（-2，7），最后用待定系數(shù)法求解。

方法2：我們根據(jù)平移性質(zhì)發(fā)現(xiàn)，在自變量x不變的前提下，對應(yīng)的函數(shù)值均增加2，直接得到平移后的表達(dá)式為y=x2-2x-3+2。

【密碼破譯】二次函數(shù)圖像的平移問題本質(zhì)是利用平移的性質(zhì)確定平移后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，對于規(guī)律的運(yùn)用要分清楚點(diǎn)的平移規(guī)律和圖像平移規(guī)律的不同之處。

變式1 把二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像向左平移2個(gè)單位，所得圖像的函數(shù)表達(dá)式是什么？

【方法提示】方法1要注意點(diǎn)的左右平移和上下平移的區(qū)別；方法2要注意是函數(shù)值y不變，自變量x變化。

變式2 把二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像沿直線y=[3]x方向向上平移2個(gè)單位，所得圖像的函數(shù)表達(dá)式是什么？

【方法提示】此題的關(guān)鍵在于將“沿直線y=[3]x方向向上平移2個(gè)單位”進(jìn)行解密，它的正確譯文應(yīng)是“先向右平移1個(gè)單位，再向上平移[3]個(gè)單位”。

二、二次函數(shù)圖像的翻折

問題2 把二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像沿x軸翻折，所得圖像的函數(shù)表達(dá)式是什么？

【方法提示】方法1：同問題1的“方法1”一樣，任取三點(diǎn)，然后用待定系數(shù)法求解。

方法2：我們根據(jù)軸對稱性質(zhì)發(fā)現(xiàn)，在自變量x不變的前提下，對應(yīng)的函數(shù)值均取相反數(shù)，得到翻折后的表達(dá)式為

-y=x2-2x-3。

【密碼破譯】二次函數(shù)圖像的翻折問題的本質(zhì)是利用軸對稱性質(zhì)，確定翻折后的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)。

變式1 把二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像沿y軸翻折，所得圖像的函數(shù)表達(dá)式是什么？

【方法提示】方法1要注意點(diǎn)關(guān)于y軸對稱和關(guān)于x軸對稱的區(qū)別；方法2要發(fā)現(xiàn)其翻折的規(guī)律是在函數(shù)值y不變的前提下，對應(yīng)的自變量x均取相反數(shù)。

變式2 把二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像沿直線y=1翻折，所得圖像的函數(shù)表達(dá)式是什么？

【方法提示】此題的關(guān)鍵在于將“沿直線y=1翻折”進(jìn)行解密，它的正確譯文應(yīng)是“翻折前后，對應(yīng)點(diǎn)到直線y=1距離相等”。

三、二次函數(shù)圖像的旋轉(zhuǎn)

問題3 把二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得圖像的函數(shù)表達(dá)式是什么？

【方法提示】方法1：同問題1的“方法1”一樣，任取三點(diǎn)，然后用待定系數(shù)法求解。

方法2：在拋物線y=x2-2x-3上取頂點(diǎn)（1，-4）和非頂點(diǎn)的任意點(diǎn)（0，-3），然后確定這兩點(diǎn)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°所得的新點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）、（2，-5），最后用待定系數(shù)法設(shè)頂點(diǎn)式求解。

【密碼破譯】二次函數(shù)圖像旋轉(zhuǎn)問題的本質(zhì)是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式確定旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)。

變式1 把二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像繞其與y軸交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得圖像的函數(shù)表達(dá)式是什么？

【方法提示】破譯旋轉(zhuǎn)類問題要學(xué)會(huì)取特殊點(diǎn)降低解題難度。如本題可取頂點(diǎn)和與y軸交點(diǎn)變換后的對應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行求解。

變式2 把二次函數(shù) y=x2-2x-3 的圖像繞點(diǎn)（2，1）旋轉(zhuǎn)180°，所得圖像的函數(shù)表達(dá)式是什么？

【方法提示】對于旋轉(zhuǎn)中心為一般點(diǎn)的情況，我們要學(xué)會(huì)合理建立全等三角形模型，正確求出變換后圖像上的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)。

（作者單位：江蘇省南京市江寧高新區(qū)中學(xué)）