王智宇，張維忠

(1.浙江師范大學(xué)教育學(xué)院，浙江 金華 321004；2.臺州市路橋中學(xué)，浙江 臺州 318000)

一、問題的提出

20世紀(jì)80年代末，在建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀的影響下，情境學(xué)習(xí)和認(rèn)知理論興起，提出“知識具有情境性，是主觀的，動態(tài)發(fā)展的，無法直接傳遞的，是學(xué)習(xí)者在特定的情境脈絡(luò)中持續(xù)地理解和建構(gòu)中產(chǎn)生的”以及“知識與情境是相互作用，不可分離的，情境是一切認(rèn)知活動的基礎(chǔ)”等觀點(diǎn)。情境學(xué)習(xí)和認(rèn)知理論是我國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的一個重要理論基礎(chǔ)，有效地推動了基于問題情境的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的發(fā)展。[1]當(dāng)下，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教與學(xué)為數(shù)學(xué)問題情境的設(shè)計(jì)提供了更為廣闊的空間?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》提出：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在學(xué)生與情境、問題的有效互動中提升。在教學(xué)活動中，應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)合適的情境與問題?！盵2]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要基于對現(xiàn)實(shí)世界的觀察、思考和表達(dá)，即在探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法分析與解決問題?！盵3]近年來，許多學(xué)者從不同的視角對核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)問題情境的關(guān)系進(jìn)行了研究。比如，基于知識建構(gòu)的視角，黃翔認(rèn)為核心素養(yǎng)的特性決定了它的孕育、養(yǎng)成常常是在學(xué)生與數(shù)學(xué)問題情境的持續(xù)互動中，通過不斷解決問題、創(chuàng)生意義的過程而形成的?；谇榫橙蝿?wù)的學(xué)習(xí)，本質(zhì)是個體與環(huán)境交互作用過程中建構(gòu)、組織起來的一種動態(tài)的交互關(guān)系，能夠有效地發(fā)展學(xué)習(xí)者的協(xié)調(diào)、應(yīng)變、適應(yīng)復(fù)雜環(huán)境的能力和相應(yīng)的品性，拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維空間，為素養(yǎng)的孕育和生長創(chuàng)造條件。[4]基于核心素養(yǎng)內(nèi)涵的視角，孫曉天認(rèn)為數(shù)學(xué)的眼光可以看作數(shù)學(xué)抽象的門檻，即從真實(shí)的問題情境中先剝離出物理屬性，再剝離出與解決問題無關(guān)的元素，最后結(jié)合最初的問題情境尋找剩余關(guān)鍵元素之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)的語言既是溝通真實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的橋梁，也是理解數(shù)學(xué)世界的工具和解決數(shù)學(xué)問題的載體。數(shù)學(xué)的思維主要表現(xiàn)為推理，把教學(xué)過程中涉及的數(shù)學(xué)思維活動，包括運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等都放在推理的框架下，與現(xiàn)實(shí)世界的需要聯(lián)系在一起。[5][6][7]基于學(xué)習(xí)遷移的視角，張華認(rèn)為素養(yǎng)能超越具體情境的限制，廣泛應(yīng)用于不同情境之中，且適應(yīng)情境的不斷變化。促進(jìn)素養(yǎng)發(fā)展的知識學(xué)習(xí)需要與多樣化的情境相聯(lián)系，使其遷移性獲得最大化。[8]由此可見，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境是培育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要載體，具有不可或缺性，它直接影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)知識建構(gòu)和思維發(fā)展。

然而研究表明，目前課堂中存在“教學(xué)導(dǎo)入情境過多”“情境與問題關(guān)聯(lián)度低”“狹義理解情境”“去情境化不及時(shí)”等“失度”現(xiàn)象。[9][10]這表明一線教師在教學(xué)實(shí)踐過程中，對如何設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題情境的“水平特征”“素養(yǎng)培育目標(biāo)”“基本框架”和“基本路徑”等方面存在認(rèn)識上的不足。筆者梳理相關(guān)文獻(xiàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)層面，關(guān)于指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)問題情境設(shè)計(jì)的研究相對缺乏。因此，本研究認(rèn)為有必要在分析數(shù)學(xué)問題情境的水平特征以及明確問題情境的素養(yǎng)指向的基礎(chǔ)上，構(gòu)建指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)問題情境設(shè)計(jì)的基本框架，并提出課堂問題情境設(shè)計(jì)的基本路徑，為數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

二、 指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)問題情境設(shè)計(jì)框架的構(gòu)建

(一)數(shù)學(xué)問題情境的水平特征分析

羅日葉提出問題情境是指為了完成某個既定任務(wù)，由人為加以聯(lián)結(jié)的一組背景化和結(jié)構(gòu)化的信息，包含“情境的復(fù)雜性水平”和“任務(wù)的復(fù)雜化水平”兩個特征。其中，“情境的復(fù)雜性水平”特征由“情境的背景化”“基本知識與技能的性質(zhì)和數(shù)量”以及“聯(lián)結(jié)這些知識與技能的類型”三個因素構(gòu)成，與學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)環(huán)境等因素有關(guān)?！叭蝿?wù)的復(fù)雜化水平”主要取決于學(xué)生完成任務(wù)的內(nèi)容所使用方法的認(rèn)知水平、情感水平或動作水平以及所面臨的學(xué)習(xí)環(huán)境。[11]陳志輝認(rèn)為數(shù)學(xué)問題情境指的是通過某種信息傳遞形式、承載一定認(rèn)知任務(wù)要求且含有相關(guān)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想的環(huán)境，并從“情境類型”“數(shù)學(xué)特征”“表征特征”“任務(wù)特征”四個方面構(gòu)建了問題情境的特征水平分析框架。[12]此外，由于數(shù)學(xué)問題情境蘊(yùn)含情境的問題化過程，教師在設(shè)計(jì)過程中往往要考慮從情境中抽象出數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)表征過程。徐斌艷等認(rèn)為數(shù)學(xué)表征有助于在情境與數(shù)學(xué)問題之間建立一種映射關(guān)系，即通過利用符號、圖形、語言、文字等表達(dá)數(shù)學(xué)概念或關(guān)系，為數(shù)學(xué)化過程提供支持工具。[13]

結(jié)合已有研究，數(shù)學(xué)問題情境的水平特征包含“背景呈現(xiàn)”“數(shù)學(xué)表征”“任務(wù)要求”三個要素?！氨尘俺尸F(xiàn)”指向?qū)W生對問題情境的親近感知程度，由近到遠(yuǎn)分為“熟悉”“關(guān)聯(lián)”“綜合”三個層次。其中，“熟悉”指向?qū)W生在先前的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中接觸過的、感興趣的、現(xiàn)實(shí)生活環(huán)境中常見的背景；“關(guān)聯(lián)”指向?qū)W生不太熟悉的、先前沒有接觸過的情境，可以是數(shù)學(xué)內(nèi)部不同知識模塊的關(guān)聯(lián)背景，也可以是數(shù)學(xué)與生活實(shí)踐、歷史文化、其他學(xué)科以及科技應(yīng)用等之間的關(guān)聯(lián)背景；“綜合”指向?qū)W生感到陌生的，甚至是感到遙遠(yuǎn)的情境，需要學(xué)生開展探究與創(chuàng)新的情境，是數(shù)學(xué)知識內(nèi)部與外部之間更廣泛的、更深層的、更隱蔽的關(guān)聯(lián)背景?！皵?shù)學(xué)表征”指向?qū)W生能否在情境中提取數(shù)學(xué)信息并轉(zhuǎn)化為有利于問題解決的數(shù)學(xué)表征方式的能力，包含對情境與問題的表征以及相互轉(zhuǎn)換，水平從低到高分為“解釋”“選擇”“設(shè)計(jì)”三個層次。其中，“解釋”是指學(xué)生能夠識別問題情境呈現(xiàn)的表征和直接利用文字、符號、操作性模型、圖形或圖表等表征進(jìn)行解釋；“選擇”是指學(xué)生能夠?yàn)閱栴}情境的理解或問題解決選擇恰當(dāng)?shù)谋碚鞣绞揭约澳軌蛟诓煌谋碚髦g進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換；“設(shè)計(jì)”是指學(xué)生在能夠熟練運(yùn)用各種數(shù)學(xué)表征方式的基礎(chǔ)上，為情境的理解和問題的提出以及問題解決的關(guān)鍵點(diǎn)設(shè)計(jì)特定的表征方式?！叭蝿?wù)要求”指向?qū)W生分析問題情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系以及完成學(xué)習(xí)任務(wù)所需要達(dá)到的認(rèn)知水平和動作水平，從低到高分為“理解”“分析”“創(chuàng)造”三個層次?！袄斫狻笔侵笇W(xué)生能夠理解問題情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式、定理和公理等的基本含義與特征，運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本規(guī)則和基本方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題等；“分析”是指學(xué)生能夠進(jìn)行類比數(shù)學(xué)推理，區(qū)分和識別數(shù)學(xué)問題情境蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)屬性，將統(tǒng)一整體下的各部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容分類和建構(gòu)聯(lián)系，綜合運(yùn)用各種知識和方法分析和解決常規(guī)性的較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題；“創(chuàng)造”是指學(xué)生在復(fù)雜的問題情境中將源于不同整體下的關(guān)聯(lián)度更低的數(shù)學(xué)要素整合在一起形成內(nèi)在一致的功能整體，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和思想方法創(chuàng)造性地通過猜想、驗(yàn)證來解決非常規(guī)性的數(shù)學(xué)問題。

(二)數(shù)學(xué)問題情境設(shè)計(jì)的核心素養(yǎng)指向和基本框架

喻平認(rèn)為核心素養(yǎng)的生成源于對知識的學(xué)習(xí)，而知識學(xué)習(xí)表現(xiàn)為“知識理解”“知識遷移”和“知識創(chuàng)新”三種形態(tài)，對應(yīng)由學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化而來的核心素養(yǎng)的三種水平。以數(shù)學(xué)學(xué)科為例，“知識理解水平”表現(xiàn)為“了解知識產(chǎn)生和發(fā)展過程，形成概念體系和命題體系，應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本規(guī)則和基本方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題等”；“知識遷移水平”表現(xiàn)為“能夠進(jìn)行類比推理，遷移知識以解決與數(shù)學(xué)知識相關(guān)的現(xiàn)實(shí)情境問題、數(shù)學(xué)內(nèi)部不同情境問題、不同學(xué)科情境問題，掌握知識結(jié)構(gòu)及其相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，綜合運(yùn)用各種知識和方法解決常規(guī)性復(fù)雜問題等”；“知識創(chuàng)新水平”表現(xiàn)為“具有探究問題的意識，具備探究問題的能力，具備解決非常規(guī)性的數(shù)學(xué)問題的能力和形成基于數(shù)學(xué)思維的世界觀和方法論等”。[14]喻平對“知識理解”“知識遷移”和“知識創(chuàng)新”的界定表明知識的遷移性孕育著素養(yǎng)的遷移性，既可以用于學(xué)習(xí)過程的評價(jià)，也可以用于對學(xué)習(xí)結(jié)果的評價(jià)。數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的三種形態(tài)孕育在數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展和社會生產(chǎn)生活兩個方面的情境中，不僅蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，同時(shí)還蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)基本思想的呈現(xiàn)過程，指向?qū)W習(xí)者通過整合和評估已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，形成理解、分析和解釋數(shù)學(xué)問題的能力。同時(shí)，數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的三種形態(tài)也凸顯了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的階段性和層次性特征。弗賴登塔爾的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育理論強(qiáng)調(diào)開發(fā)與生活緊密結(jié)合的情境，抽象出情境的一般化特征，形成具體的教學(xué)模式，并用這個模式解決相關(guān)問題，最后通過這些模式使學(xué)生逐漸逼近形成的數(shù)學(xué)知識。因此，數(shù)學(xué)教育的任務(wù)就在于確定各類學(xué)生不同階段必須達(dá)到的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，將客觀現(xiàn)實(shí)材料與數(shù)學(xué)知識體系融為一體。[15]

上述研究表明，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)問題情境創(chuàng)設(shè)存在對應(yīng)性和同步性，這為通過真實(shí)的數(shù)學(xué)問題情境設(shè)計(jì)促進(jìn)核心素養(yǎng)的培育提供了方向。具體而言，在“知識理解”階段，將學(xué)生置身于熟悉的現(xiàn)實(shí)生活情境或數(shù)學(xué)情境中，發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的原型，理解數(shù)學(xué)知識的生成和發(fā)展的真實(shí)情境脈絡(luò)，用數(shù)學(xué)的眼光抽象出數(shù)學(xué)問題中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)概念的基本特征，通過演繹和歸納能夠合理地解釋以及恰當(dāng)?shù)乇硎鲂轮R，并能夠應(yīng)用基本方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題。在“知識遷移”階段，將學(xué)生置身于關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題情境中，用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行描述和推理，將不熟悉的數(shù)學(xué)問題情境轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題情境，引導(dǎo)他們運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識、技能和思想方法，通過類比推理解決常規(guī)的簡單的或者較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。在“知識創(chuàng)新”階段，將學(xué)生置身于綜合的數(shù)學(xué)問題情境中，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和語言表達(dá)解決非常規(guī)的問題情境(包括結(jié)構(gòu)不良的問題情境以及通過對舊的問題情境進(jìn)行推廣和變式形成的超越教材之外的情境)，從而獲得元認(rèn)知知識，形成探究問題的意識和能力，養(yǎng)成反思的習(xí)慣。

綜上分析，本研究構(gòu)建了指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)問題情境設(shè)計(jì)的框架，如表1所示。

表1 指向核心素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)問題情境設(shè)計(jì)的框架

三、指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)問題情境設(shè)計(jì)的基本路徑及例舉

問題是數(shù)學(xué)的心臟。數(shù)學(xué)的發(fā)展是由數(shù)學(xué)問題驅(qū)動的。數(shù)學(xué)知識的習(xí)得建立在一連串的問題的分析和解決的基礎(chǔ)上。在課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)問題鏈?zhǔn)且远喾N方式呈現(xiàn)給學(xué)生的、有序的主干數(shù)學(xué)問題序列，為學(xué)生提供數(shù)學(xué)思考的載體，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。[16]問題情境體現(xiàn)了問題的情境化，即情境設(shè)計(jì)是為數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決創(chuàng)造條件和提供支持。筆者認(rèn)為，指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)問題情境設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)基于數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)，其基本路徑包含以下四個基本步驟。

第一步是確定數(shù)學(xué)問題情境設(shè)計(jì)的素養(yǎng)具體指向。核心素養(yǎng)的形成具有階段性、綜合性和持久性等特征。教師要基于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、數(shù)學(xué)教材分析和專家思維等視角，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)以及達(dá)到的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，從數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)的視角關(guān)注數(shù)學(xué)知識、方法和思想的體系化，確定學(xué)生通過某一節(jié)課的知識學(xué)習(xí)在“知識理解”“知識遷移”“知識創(chuàng)新”三個層面所達(dá)到的具體素養(yǎng)目標(biāo)。核心素養(yǎng)在各層次的具體目標(biāo)可以從“在探尋數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的過程中要解決哪些核心的數(shù)學(xué)問題，從數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的過程中經(jīng)歷了什么樣的學(xué)習(xí)過程，如何評價(jià)學(xué)習(xí)效果以及如何促進(jìn)學(xué)后反思”等方面進(jìn)行表述。

第二步是尋找數(shù)學(xué)問題的真實(shí)情境原型。關(guān)于情境的真實(shí)性，崔允漷認(rèn)為學(xué)生對于知識意義的感受與理解往往是通過在真實(shí)情境中的應(yīng)用來實(shí)現(xiàn)的，并且評估學(xué)生是否習(xí)得核心素養(yǎng)的最好做法就是讓學(xué)生“做事”，而“做事”必須要有真實(shí)的情境。[17]劉徽認(rèn)為在真實(shí)的情境中引導(dǎo)學(xué)生溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活以及數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的探究和挑戰(zhàn)的欲望，完整地經(jīng)歷問題解決的過程，建立關(guān)于知識理解的記憶。[18]因此，結(jié)合“數(shù)學(xué)知識的發(fā)展來源于社會生產(chǎn)實(shí)踐以及數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部發(fā)展的需要”這一事實(shí)，可以把真實(shí)情境分為現(xiàn)實(shí)世界情境和數(shù)學(xué)內(nèi)部情境。其中，現(xiàn)實(shí)世界情境可用于抽象出數(shù)學(xué)知識的原型，比如從生活情境中抽象出函數(shù)的概念，從物理學(xué)情境中抽象出平面向量的概念和運(yùn)算法則，從人口增長和銀行理財(cái)?shù)壬鐣榫持谐橄蟪龅缺葦?shù)列的模型等。數(shù)學(xué)內(nèi)部知識情境用于揭示數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯發(fā)展過程，例如從純數(shù)學(xué)情境中歸納形成根指數(shù)的表示方法以及指對數(shù)式的互化，從數(shù)學(xué)史情境探尋正余弦定理的多樣化證明方法，從數(shù)學(xué)文化情境中發(fā)現(xiàn)和提煉基本不等式的原型等。

第三步是設(shè)計(jì)問題情境的召喚結(jié)構(gòu)。由于問題情境具有交互性，因此教師要設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題情境的召喚結(jié)構(gòu)。這種召喚結(jié)構(gòu)一方面蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思維屏障，另一方面也為數(shù)學(xué)思維發(fā)展提供方向。李懷軍認(rèn)為召喚結(jié)構(gòu)包括“空白”“空缺”或“否定”三個要素。其中，“空白”指的是設(shè)計(jì)者隱含部分信息，讓學(xué)習(xí)者結(jié)合自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行補(bǔ)充；“空缺”指的是設(shè)計(jì)者提供的情境的信息不連貫，需要學(xué)習(xí)者重新組織情境的邏輯關(guān)聯(lián)；“否定”指的是情境中的信息或任務(wù)讓學(xué)習(xí)者產(chǎn)生認(rèn)知沖突和激發(fā)探究欲望。[19]由此可見，這三個要素同時(shí)蘊(yùn)含激勵性、啟發(fā)性、生長性、干擾性和聯(lián)系性等多種特征，形成召喚力，在知識學(xué)習(xí)的不同階段為學(xué)習(xí)者實(shí)現(xiàn)理解、遷移和創(chuàng)新提供支持。同時(shí)，這三個要素也為情境的復(fù)雜程度設(shè)計(jì)提供了更多的空間，具體表現(xiàn)為兩個方面：一是教師在預(yù)設(shè)問題鏈中的某個主干問題教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)多樣化的情境，這些情境的復(fù)雜程度可以是等價(jià)的，也可以是不斷遞進(jìn)的，這與學(xué)生解決該主干問題所具備的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)以及所需要達(dá)到的認(rèn)知水平有關(guān)；二是教師在預(yù)設(shè)整條問題鏈的教學(xué)時(shí)對情境的復(fù)雜程度有整體設(shè)計(jì)。從總體上看，問題鏈上的主干問題的有序性決定了情境的復(fù)雜程度是不斷提高的。因此，教師要先基于對“數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和教學(xué)的目標(biāo)”等方面的理解，再結(jié)合“背景呈現(xiàn)”“數(shù)學(xué)表征”“任務(wù)要求”三個維度展開問題情境的設(shè)計(jì)，從而使問題情境能夠真正幫助學(xué)生貫通認(rèn)知的起點(diǎn)和終點(diǎn)，破除思維障礙。

第四步是評價(jià)和優(yōu)化數(shù)學(xué)問題情境。數(shù)學(xué)問題情境是情境內(nèi)容、學(xué)生經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)內(nèi)容三者的融合。羅日葉認(rèn)為一個好的情境可以通過四個不同的軸組合起來，分別為：一個真正的靶向情境、一個對學(xué)習(xí)有用的情境、一個激發(fā)學(xué)生動機(jī)的情境、一個可以實(shí)現(xiàn)的情境。[11]吳曉紅認(rèn)為一個好的問題情境應(yīng)當(dāng)具備五個功能，分別為：能夠激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系、培養(yǎng)學(xué)生的問題意識以及提出問題的能力、培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力、提供問題解決和新知識運(yùn)用的情境。[20]李昌官認(rèn)為促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展的數(shù)學(xué)問題情境應(yīng)當(dāng)具有目的性、聯(lián)系性、問題性、啟發(fā)性和激勵性等特征。[21]這些研究為評價(jià)和優(yōu)化單個數(shù)學(xué)問題情境提供了重要參考，但對整個教學(xué)任務(wù)中由問題情境構(gòu)成的問題情境鏈缺乏系統(tǒng)性地評價(jià)。一條好的數(shù)學(xué)問題情境鏈應(yīng)當(dāng)具有階段性、層次性、整體性、持續(xù)性和多樣性等特點(diǎn)，形成情境到問題再回到情境的完整閉環(huán)，同時(shí)具備以下幾個特征：一是有效地服務(wù)于整個教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，為發(fā)展和培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供支持；二是讓召喚結(jié)構(gòu)形成合力，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)和探究問題提供足夠的空間；三是為學(xué)生的思維發(fā)展提供指導(dǎo)，讓學(xué)生真實(shí)地理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，為激勵學(xué)生積極參與知識建構(gòu)提供持續(xù)動力；四是為學(xué)生提供反思的機(jī)會，促進(jìn)學(xué)生高質(zhì)量地學(xué)習(xí)。

下面結(jié)合人教A版(2019版)高中數(shù)學(xué)教材必修2第7章中“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念”內(nèi)容的教學(xué)過程，例談如何通過設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課堂問題情境促進(jìn)核心素養(yǎng)的培育。

第一階段：指向“知識理解”的問題情境設(shè)計(jì)

本階段的素養(yǎng)目標(biāo)包括：從多樣化的問題情境中了解引入復(fù)數(shù)的必要性和重要性；從數(shù)系擴(kuò)充的數(shù)學(xué)史情境中歸納出數(shù)系擴(kuò)充過程中的一般規(guī)則，體會數(shù)系擴(kuò)充過程中數(shù)學(xué)理性思維的價(jià)值。設(shè)計(jì)如下：

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)真實(shí)的數(shù)學(xué)歷史情境，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突和探究欲望，發(fā)現(xiàn)并提出“負(fù)實(shí)數(shù)能否平方”這一數(shù)學(xué)問題。

問題情境2：從方程的角度看，“負(fù)實(shí)數(shù)開平方”這一問題可以簡化為什么問題？在過去的學(xué)習(xí)中，你是否也碰到過類似于“方程在限定的數(shù)集范圍無解”的問題？你能結(jié)合“方程x+1=0在自然數(shù)集中的求解、方程3x+1=0在整數(shù)集中的求解以及方程x2-2=0在有理數(shù)集中的求解”談一談自己的想法嗎？

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)熟悉的數(shù)學(xué)情境，從解方程的角度將“負(fù)實(shí)數(shù)能否開平方”這一問題表征和轉(zhuǎn)化為“方程x2+1=0的解”的問題。引導(dǎo)學(xué)生通過演繹推理歸納出數(shù)系的擴(kuò)充的幾條規(guī)則為：引入新的數(shù)，將原數(shù)系進(jìn)行擴(kuò)充為新數(shù)系；原數(shù)系成為新數(shù)系的一部分；原數(shù)系和新數(shù)系中的運(yùn)算規(guī)則和性質(zhì)協(xié)調(diào)一致。

問題情境3：每一次數(shù)系擴(kuò)充的原因是什么？分別解決了什么問題？

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)熟悉的歷史情境、社會情境和現(xiàn)實(shí)生活情境，引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)系擴(kuò)充的原因，體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)展往往基于數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展和社會生產(chǎn)實(shí)踐的需要，感悟數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價(jià)值。

問題情境4：類比自然數(shù)系到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過程，你能否找到一種方法，使方程x2+1=0有解嗎？追問：引入新的數(shù)之后，實(shí)數(shù)系就進(jìn)行了擴(kuò)充，在新的數(shù)系中，數(shù)有哪些新的表示呢？這些數(shù)能有統(tǒng)一的表示形式嗎？能表示出這些新數(shù)組成的集合嗎？

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)熟悉的數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生類比數(shù)系的擴(kuò)充過程，引入虛數(shù)的概念，并歸納新數(shù)的統(tǒng)一表示形式以及形成復(fù)數(shù)的概念。

問題情境5：請同學(xué)們進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀，先回答以下問題：(1)復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)的虛數(shù)單位、實(shí)部、虛部分別是什么？(2)舉例說明什么是虛數(shù)和純虛數(shù)？(3)如何對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類？并解答課本上2個例題。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置學(xué)習(xí)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生自行建立復(fù)數(shù)相關(guān)概念的知識網(wǎng)絡(luò)，應(yīng)用復(fù)數(shù)的知識解決簡單的數(shù)學(xué)問題，體會分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法。

第二階段：指向“知識遷移”的問題情境設(shè)計(jì)

本階段的素養(yǎng)目標(biāo)包括：從關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)情境中建立復(fù)數(shù)與三角函數(shù)和向量等知識的聯(lián)系，理解復(fù)數(shù)的幾何意義，能夠利用復(fù)數(shù)知識解決新情境中的數(shù)學(xué)問題，體會到復(fù)數(shù)的廣泛應(yīng)用性。設(shè)計(jì)如下；

問題情境6：歐拉公式e1θ=cpsθ+i·sinθ(e是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的。它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，當(dāng)θ=π時(shí)，就有eiπ+1=0，根據(jù)上述背景知識，設(shè)復(fù)數(shù)z=e-i的實(shí)部為a和虛部為b，則點(diǎn)P(a，b)落在哪個象限上？追問：復(fù)數(shù)有什么幾何意義呢？

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)關(guān)聯(lián)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生意識到“復(fù)數(shù)的概念“與“三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的有界性以及向量的幾何意義與坐標(biāo)表示”等知識具有關(guān)聯(lián)性，能夠解釋復(fù)數(shù)的幾何意義，利用復(fù)數(shù)的知識解決向量運(yùn)算中的問題。

第三階段：指向“知識創(chuàng)新”的問題情境設(shè)計(jì)

本階段的素養(yǎng)目標(biāo)包括：回顧“復(fù)數(shù)的概念”的引入、生成和發(fā)展過程，探索和歸納數(shù)系新概念學(xué)習(xí)的一般過程和方法；聯(lián)系數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想，生成新的問題情境；從復(fù)數(shù)的發(fā)展史中感悟到數(shù)學(xué)思維蘊(yùn)含的理性精神以及數(shù)學(xué)思維，形成正確的世界觀和方法論。設(shè)計(jì)如下：

問題情境8：結(jié)合本節(jié)課學(xué)習(xí)的過程，請你談?wù)劺猛ㄟ^舊知識推動新知識的學(xué)習(xí)？

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生生成超越教材內(nèi)容規(guī)定的元認(rèn)知知識，比如形成“新知識的學(xué)習(xí)與舊知識存在依存關(guān)系或邏輯關(guān)系”“對舊問題進(jìn)行變式或者類比推理可以產(chǎn)生新問題”等認(rèn)識。

問題情境9：聯(lián)系“平面向量的線性運(yùn)算”內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程，我們會進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的哪些知識以及如何學(xué)習(xí)？

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生利用類比推理發(fā)現(xiàn)新問題、新知識和新方法，形成探究問題的意識和能力。

問題情境10：人們最初發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)時(shí)充滿了困惑、懷疑、甚至敵意。在無數(shù)數(shù)學(xué)家的努力下，又經(jīng)過長達(dá)300年的時(shí)間，復(fù)數(shù)終于被揭去神秘的面紗，不再是虛無縹緲的虛幻之?dāng)?shù)。請結(jié)合復(fù)數(shù)相關(guān)知識的發(fā)展和廣泛應(yīng)用(課上為學(xué)生提供視頻素材)，談?wù)勀阌心男└形颍?/p>

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)真實(shí)的歷史情境和科學(xué)情境，讓學(xué)生感受復(fù)數(shù)的發(fā)展雖然曲折而漫長，但是其意義重大而深遠(yuǎn)，體會數(shù)學(xué)家們尋找真理的決心和百折不撓的精神，理解數(shù)學(xué)對于認(rèn)識和改造世界以及塑造個人價(jià)值觀的重要意義，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。

目前，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的高中教學(xué)評價(jià)改革正在不斷深入地推進(jìn)。《中國高考評價(jià)體系說明》明確提出問題情境作為高考評價(jià)體系的重要考察載體，要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、綜合性和創(chuàng)新性，能夠考查學(xué)生在必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)和核心價(jià)值四個層面的表現(xiàn)水平，發(fā)揮高考立德樹人、服務(wù)選才和引導(dǎo)教學(xué)三方面的重要功能。這方面在近幾年的新高考數(shù)學(xué)試卷中得到了充分體現(xiàn)。[22]因此，基于問題情境的教學(xué)要被賦予新的時(shí)代價(jià)值和內(nèi)涵，諸如“問題情境如何貫穿單元整體教學(xué)”“如何通過問題情境設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)”“如何進(jìn)一步對問題情境蘊(yùn)含的召喚結(jié)構(gòu)進(jìn)行分層”“如何把握問題情境設(shè)計(jì)過程中的探究點(diǎn)”“如何設(shè)計(jì)和評價(jià)真實(shí)性的任務(wù)情境”等問題需要進(jìn)一步深入地研究。