■浙江省桐鄉(xiāng)第一中學 李 鑫

在新課標背景下，聯(lián)系實際問題出現(xiàn)的頻次越來越高，涉及數(shù)值計算或估算的問題也越來越多，下面從處理方法的角度討論此類問題，并從物理觀念和科學思維層面出發(fā)，剖析數(shù)值計算和估算問題的求解策略，供同學們參考。

一、方法與策略

1.重估輕算。

例1(2018·浙江)杭州市正將主干道上的部分高壓鈉燈換成LED 燈，已知高壓鈉燈的功率為400 W，LED 燈的功率為180 W，若更換4 000盞，則一個月可節(jié)約的電能約為( )。

A.9×102kW·h

B.3×105kW·h

C.6×105kW·h

D.1×1012kW·h

解析:將4 000 盞高壓鈉燈換成LED燈，每天可節(jié)約的電能約為(400-180)W×4 000×10 h=8.8×106W·h，故一個月可節(jié)約的電能約為8.8×106W·h×30=2.64×108W·h≈3×105kW·h。

答案:B

評價：此類型問題并非第一次出現(xiàn)在浙江省高考卷中，源頭可以追溯到2012年LED燈取代白熾燈背景下估算全國一年可節(jié)約多少電能的經(jīng)典問題。本題相對于2012 年的那道估算題要簡單一些，因為不需要估算全國有多少億戶。求解本題的核心在于知道燈在一天中只亮10小時左右，而不是24小時。本題的數(shù)值計算難度很小，重點在于根據(jù)實際情況進行估值，即重心在估不在算。

2.算估技巧。

例2(2021·全國甲卷)2021 年2月，執(zhí)行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7 m/s2，則“天問一號”探測器的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為( )。

A.6×105m B.6×106m

C.6×107m D.6×108m

解析:設火星半徑為R，火星表面處自由落體的加速度為g，根據(jù)，解得近火衛(wèi)星的周期。設“天問一號”探測器的橢圓形停泊軌道的半長軸為a，根據(jù)開普勒第三定律得，整理得，其中g=3.7 m/s2，T=1.8×105s，R=3.4×106m，解得，因此107m＜a＜108m。近火點和遠火點距離之和等于橢圓形停泊軌道的長軸，因為近火點距離約為2.8×105m，所以遠火點距離約為6×107m。

答案:C

評價：本題是借他山之石來考查萬有引力相關問題，需要學生熟練掌握萬有引力定律、萬有引力和重力的關系，以及開普勒第三定律，并且需要采用合理的估算方法，具備嫻熟的數(shù)值計算能力。本題的解法有很多，上述解法相對來說可以節(jié)約時間。處理數(shù)值計算問題時，第一是要先得出目標物理量函數(shù)關系再計算數(shù)值，而不要列一個關系式就解出一個中間結果，這樣不僅使得計算成本提高，而且容易因為每一步計算的四舍五入導致最終結果謬以千里；第二是要掌握必要的估算技巧，上述解答過程中，將3.7和4相抵消，將3.4與π相抵消，是一種近似處理，而且將半長軸a的結果取在一個區(qū)間內，并不得出精確的數(shù)值，完全不影響選出正確答案。估算的一些數(shù)學技巧是需要同學們在平時的學習與訓練中長期積累的，浙江高考題曾經(jīng)兩次考查小量計算，其中（1+x）n=1+nx在x遠小于1 時成立，這種近似處理方法在求解天體物理估算問題時也有妙用。比如估算在距離地球表面300 km 圓形軌道上運行的環(huán)繞衛(wèi)星的加速度，可以利用牛頓第二定律和萬有引力定律得出，利用得出。

3.先估后算。

例3太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象，稱為“行星沖日”。已知地球及各地外行星繞太陽運行的軌道半徑如表1所示，則相鄰兩次“行星沖日”的時間間隔約為( )。

表1

A.火星365天 B.火星800天

C.天王星365天 D.天王星800天

解析:設相鄰兩次“行星沖日”的時間間隔為t，則，解得。根據(jù)開普勒第三定律得，因此。又有T地≈365天，根據(jù)表1 中的數(shù)據(jù)得t火≈800 天，t天≈369天。

答案:B

評價：本題取材于教材必修第二冊第七章第48頁練習與應用的第1個習題，表格中的數(shù)據(jù)都來自教材。本題考查的“行星沖日”問題與以往注重物理過程分析的“行星沖日”問題不同，本題融入了數(shù)值計算，加大了難度。事實上，求解本題棘手的不是列出方程，而是數(shù)值計算，有的考生甚至會用泰勒展開來降低運算的復雜程度。然而本題命題專家的立意并不在于數(shù)值計算，而重在考查物理觀念。因為地球仍在自轉，所以“行星沖日”的時間間隔一定比365 天大，可排除選項A和C；因為地球與火星的軌道半徑相差不大，地球和天王星的軌道半徑相差較大，所以通過簡單估算就可以從選項B 和D 中選出正確答案。

二、核心素養(yǎng)視角下的數(shù)量級計算和估算問題

1.立足物理觀念，突出數(shù)量級意識。

例4土星最大的衛(wèi)星叫“泰坦”，它每16天繞土星運行一周，它繞土星運行的軌道半徑約為1.2×106km。已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，則土星的質量約為( )。

A.5×1017kg B.5×1026kg

C.7×1033kg D.4×1036kg

解析:根據(jù)萬有引力定律得，解得，代入數(shù)據(jù)計算得。

答案:B

評價：本題從物理知識角度出發(fā)，是一道非常簡單的試題，僅僅考查萬有引力和向心力的數(shù)量關系。但是如果考生處理繁雜數(shù)值的計算能力較弱，且對“泰坦”繞土星運行的周期為16天這一條件使用不當（沒有將其轉換為國際單位），那么就會選錯答案。仔細觀察本題的選項設計可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)量級差異很大，也就是說考生只要列對了表達式，并具備科學記數(shù)法的表達習慣，就不難得出正確結果。另外，考生如果能夠知道地球的質量約為1024kg，太陽的質量約為1030kg，那么根本不用進行復雜的物理分析與數(shù)值運算，就可以直接把正確答案選出來。

素養(yǎng)漫談:物理觀念是學科核心素養(yǎng)的首要方面，認知數(shù)量級是確立物質觀念、運動與相互作用觀念、能量觀念的立足點。小到原子或原子核尺寸的數(shù)量級，核子間強相互作用或分子間相互作用的數(shù)量級，大到行星、恒星質量的數(shù)量級，宇宙間時空尺度的數(shù)量級，同學們都應有一定的了解。對于學有余力者，還應該掌握更多物理參數(shù)的數(shù)量級，比如普朗克時間，天體物理中的天文單位、光年、地月平均距離、地日平均距離等常數(shù)。

例5太陽輻射的總功率約為4×1026W，其輻射的能量來自太陽內部的核聚變反應。在核聚變反應中，一個質量為1 876.1 MeV/c2(c為真空中的光速)的氘核和一個質量為2 809.5 MeV/c2的氚核結合為一個質量為3 728.4 MeV/c2的氦核，并放出一個X 粒子，同時釋放大約17.6 MeV 的能量。下列說法中正確的是( )。

A.X 粒子是質子

B.X 粒子的質量為939.6 MeV/c2

C.太陽每秒因為輻射損失的質量約為4.4×109kg

D.太陽每秒因為輻射損失的質量約為17.6 MeV/c2

解析:根據(jù)質量數(shù)和電荷數(shù)守恒可知，X粒子的質量數(shù)為1，電荷數(shù)為0，則X 粒子為中子，選項A 錯誤。根據(jù)能量關系得mnc2=(1 876.1+2 809.5)MeV-3 728.4 MeV-17.6 MeV，解得mn=939.6 MeV/c2，選項B正確。太陽每秒輻射出的能量E=Pt=4×1026J，因為輻射損失的質量，選項C 正確。因為，所以太陽每秒因為輻射損失的質量，選項D錯誤。

答案:BC

評價：本題考查核聚變反應，要求考生能夠應用愛因斯坦質能方程并結合題目給出的能量信息綜合解決問題?？梢灾苯优懦氖沁x項D，因為只需簡單估算，就可以發(fā)現(xiàn)選項D 中質量為17.6 MeV/c2的物質所輻射的能量微乎其微，顯然不符合實際；本題難度最大的是對選項C 的判斷，計算太陽每秒因為輻射損失的質量的分析與求解過程并不復雜，如果同學們在擁有扎實的數(shù)值計算能力的基礎上，還具備數(shù)量級意識，知曉太陽每秒因輻射而減小的質量約為109kg這一天體物理參數(shù)，那么對于判斷選項C 的正誤而言無疑是如虎添翼的。

2.基于科學思維，彰顯常識性建模。

例6已知普朗克常量h=6.63×10-34J·s，電子的質量為9.11×10-31kg，一個電子和一滴直徑約為4μm 的油滴具有相同動能，則電子與油滴的德布羅意波長之比的數(shù)量級為( )。

A.10-8B.106

C.108D.1016

解析:根據(jù)得，所以。油滴的質量，代入數(shù)據(jù)計算得。

答案:C

評價：從建模角度來說，本題將常見的油滴和?！耙姟钡辉娺^的電子進行對比，在模型建構上頗有新意。本題考查學生應用數(shù)學解決物理問題的能力，需要學生先綜合應用物理關系提煉出最重要的數(shù)學關系，即德布羅意波長與質量的二次方根成反比，再挖掘出油滴的密度這一隱藏條件，估算出油滴的質量，進而求得。

素養(yǎng)漫談:無論是哪個省市使用的高考試卷，對科學思維的考查一定是所有學科核心素養(yǎng)中頗受青睞的。相對于其他省市使用的高考試卷，浙江省高考物理試卷對科學思維中的科學推理的要求要略低一點，但對基于真實情境的模型建構能力要求很高。本題就是一道綜合模型建構、數(shù)值計算和估算的問題，考生需要突破題設描述，大膽結合自己的生活實際，構建油滴的球體模型，知道油的密度，結合球體的體積公式，求出油滴的質量，進而計算出最終結果。

3.強調科學探究，凸顯證據(jù)和解釋。

例7如圖1所示，照片中的汽車在水平路面上做勻速圓周運動，已知圖中雙向四車道的總寬度約為16 m，假設汽車受到的最大靜摩擦力等于車重的0.8倍，則下列關于做勻速圓周運動的汽車的說法中正確的是( )。

圖1

A.汽車所受的合力可能為零

B.汽車只受重力和地面的支持力作用

C.汽車的最大速度不能超過25 m/s

D.汽車做勻速圓周運動所需的向心力由重力和支持力的合力提供

解析:根據(jù)圖中雙向四車道的總寬度約為16 m，需要能夠動眼(觀察)+動手(測量)得出準確的可用信息，注意不能用近處的道路寬度去估算汽車做勻速圓周運動的半徑，因為這段道路在照片中失真明顯，而要用遠端的道路去估計。汽車在水平路面上做勻速圓周運動，受到重力、支持力和摩擦力的作用，其中重力和支持力是一對平衡力，向心力由摩擦力提供，選項A、B、D 錯誤。根據(jù)向心力公式得，解得，結合圖測數(shù)據(jù)可知，遠端半徑大約是道路寬度的5倍，即汽車做勻速圓周運動的半徑r=80 m，將r=80 m，μ=0.8，g=10 m/s2代入解得v=25 m/s，選項C正確。

答案:C

評價：本題是一道非常經(jīng)典的根據(jù)實際模型估算的問題，從某種意義上可以說是無數(shù)據(jù)估算題，需要考生主動剖析照片找尋證據(jù)，采擷照片中的信息加以組合利用才能完成求解。本題題意十分新穎，對考生科學探究能力的要求頗高。

例8在一水平桌面上，一個白球以一定的初速度與一個靜止的黑球發(fā)生碰撞，已知兩球的質量相等。觀察者拍下的兩球碰撞過程的頻閃照片如圖2所示，據(jù)此圖可推斷，碰撞過程中由兩球組成的系統(tǒng)損失的動能約占碰撞前系統(tǒng)動能的( )。

圖2

A.30% B.50%

C.70% D.90%

解析:兩球碰撞過程中頻閃的時間間隔t相同，球的運動速度。觀察頻閃照片可以發(fā)現(xiàn)，相同時間內，白球碰撞前與碰撞后的位移之比約為5∶3，則其速度之比為5∶3，白球碰撞后與黑球碰撞后的位移之比約為1∶1，則兩球的速度之比約為1∶1。因為球的動能，兩球的質量相等，所以碰撞過程中由兩球組成的系統(tǒng)損失的動能為碰撞前白球的動能減去碰撞后系統(tǒng)的動能，求解碰撞過程中系統(tǒng)損失的動能與碰撞前系統(tǒng)動能的比值時，兩球的質量可以約去，得到比例式。

答案:A

素養(yǎng)漫談:強調科學探究、解構情境類問題對考生模型建構能力的要求較高。求解這類問題，需要考生根據(jù)實際情境綜合處理，估算中估的占比更多了，而且估的方法不是演算技巧，而是要動手去測繪，或者依據(jù)實際情況來估計，從實際情境中尋找證據(jù)，在形成證據(jù)鏈中匹配物理觀念完成解釋。求解這類問題，考生還需要具有創(chuàng)造性想法，這對檢驗考生的學科核心素養(yǎng)的底色是卓有成效的。