■陶江華

2023 年高考對(duì)三角函數(shù)的考查主要圍繞“三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)”展開(kāi),考查重點(diǎn)為函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值、圖像變換和零點(diǎn),并常與三角恒等變換交匯命題。

聚焦1:三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性的應(yīng)用

例1 (2023年高考全國(guó)卷)若f(x)=為偶函數(shù),則a=____。

解:函數(shù)f(x)=x2+(a-2)x+1+cosx為偶函數(shù),其定義域?yàn)镽。因?yàn)榕己瘮?shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù),余弦函數(shù)y=cosx為偶函數(shù),所以二次函數(shù)y=x2+(a-2)x+1為偶函數(shù),所以a-2=0,可得a=2。

體驗(yàn):f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|)。既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型,即f(x)=0,x∈D,其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集。

聚焦2:三角函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性和最值

例2 (2023年高考上海卷)已知a∈R,記y=sinx在[a,2a]上的最小值為sa,在[2a,3a]上的最小值為ta,則下列情況不可能的是( )。

A.sa>0,ta>0 B.sa<0,ta<0

C.sa>0,ta<0 D.sa<0,ta>0

解:由給定區(qū)間,可知a>0。作出函數(shù)y=sinx的部分圖像,如圖1所示。

圖1

區(qū)間[a,2a]與區(qū)間[2a,3a]相鄰,且區(qū)間長(zhǎng)度相同。

結(jié)合選項(xiàng)可得,不可能成立的是sa<0,ta>0。應(yīng)選D。

體驗(yàn):本題主要考查正弦函數(shù)在所給相鄰區(qū)間上的單調(diào)性和值域。

聚焦3:利用三角換元法和輔助角公式求最值

例3 (2023 年高考全國(guó)卷)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則x-y的最大值是( )。

體驗(yàn):本題的實(shí)質(zhì)是點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)求點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的差的最值。上述解法是通過(guò)三角換元,結(jié)合余弦函數(shù)的有界性求解的。

聚焦4:三角函數(shù)的探索性問(wèn)題

例4 (2023 年高考北京卷)已知函數(shù)

(2)因?yàn)閒(x)=sinωxcosφ+cosωx·sinφ,所以f(x)=sin(ωx+φ),所以f(x)的最大值為1,最小值為-1。

選擇條件①。因?yàn)閒(x)=sin(ωx+φ)的最大值為1,最小值為-1,所以2無(wú)解,條件①不能使函數(shù)f(x)存在。

體驗(yàn):本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力。