林周瑾 汪佳玲 霍昱安

摘要： 探究在特定的初值和邊界條件下一維Klein-Gordon-Schr?dinger方程的幾種差分格式并進(jìn)行比較。利用經(jīng)典的向前差分算子、中心差分算子、Crank-Nicolson方法和緊差分算子分別為Klein-Gordon-Schr?dinger方程構(gòu)造向前Euler式、Crank-Nicolson格式及緊差分格式。結(jié)果表明：Crank-Nicolson格式及緊差分格式能夠精確地保持離散電荷和能量守恒。數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。

關(guān)鍵詞：Klein-Gordon-Schr?dinger方程； 向前Euler格式； Crank-Nicolson格式； 緊差分格式； 電荷守恒； 能量守恒

中圖分類號(hào)： O 241.82文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A?? 文章編號(hào)： 1000-5013（2024）01-0108-13

Several Difference Schemes and Comparisons for ?Klein-Gordon-Schr?dinger Equation

LIN Zhoujin， WANG Jialing， HUO Yu′an

（School of Mathematics and Statistics， Nanjing University of Information Science and Technology， Nanjing 210044， China）

Abstract： Several difference schemes of one-dimensional Klein-Gordon-Schr?dinger equation under specific initial value and boundary conditions are investigated and contrasted. The classical forward difference operator， central difference operator， Crank-Nicolson method and compact difference operator are used to construct forward Euler scheme， Crank-Nicolson scheme and compact difference scheme respectively. Results show that Crank-Nicolson scheme and the compact difference scheme can accurately conserve the discrete charge and energy conservation. The correctness of the theoretical result has been verified by numerical experiments.

Keywords： Klein-Gordon-Schr?dinger equation； forward Euler scheme； Crank-Nicolson scheme； compact difference scheme； charge conservation； energy conservation

Klein-Gordon-Schr?dinger（KGS）方程是薛定諤方程的狹義相對(duì)論形式，該系統(tǒng)于1970年被Yukawa首次提出。1975年，由Fukuda和Tsutsumi提出了帶有Yukawa作用的KGS系統(tǒng)模型［1］，被用來描述量子場理論中守恒復(fù)標(biāo)量核子場與實(shí)標(biāo)量介子場之間相互作用，是相對(duì)論量子力學(xué)和量子場論中的最基本方程。隨著學(xué)術(shù)科研的發(fā)展與科學(xué)技術(shù)的創(chuàng)新，KGS方程的研究越來越受到國內(nèi)外學(xué)者的重視。在過去的二十年中，許多學(xué)者們針對(duì)KGS方程的解析解和數(shù)值解進(jìn)行了一系列的研究。

在數(shù)學(xué)方面，F(xiàn)ukuda等［1］討論了三維空間中耦合的KGS方程的初邊值問題，建立了初邊值問題整體解的存在唯一性定理。Baillon等［2］討論了耦合的KGS方程的柯西問題，并且證明了KGS方程柯西問題的唯一整體解的存在性。Darwish等［3］設(shè)計(jì)了一種代數(shù)方法來統(tǒng)一構(gòu)造KGS耦合方程的一系列顯式精確解。Wang等［4］用雅可比橢圓函數(shù)展開法的推廣得到KGS方程的周期波解。文獻(xiàn)［5-10］也在數(shù)學(xué)上對(duì)KGS方程展開研究。

然而，該方程的解析解很難得到，大多數(shù)情形只能靠數(shù)值方法進(jìn)行求解。因此，對(duì)于如何得到能夠長時(shí)間地保持系統(tǒng)解的行為的KGS方程的數(shù)值解就顯得尤為重要。在數(shù)值方面，學(xué)者們利用許多不同的數(shù)值方法對(duì)KGS方程進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算［11-17］。Wang［11］提出一個(gè)緊差分格式來計(jì)算具有齊次Dirichlet邊界條件的KGS方程。通過連接合適的辛Runge-Kutta-type方法和辛Runge-Kutta-Nystr?m-type方法，Hong等［12］提出了KGS方程的顯式多辛格式，并證明用該方法構(gòu)造的方法是多辛的，可在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下精確地保持離散電荷守恒定律。Wang等［13］提出用傅里葉譜方法求解具有周期邊界條件的空間分?jǐn)?shù)階KGS方程，并且表明該格式可以保持離散電荷和能量守恒。

基于此，本文在一定的初值和邊值條件下，利用不同的差分格式求解一維KGS方程并進(jìn)行比較。

1 數(shù)值格式的構(gòu)造

在區(qū)域Ω=［a，b］×［0，T］上考慮一維KGS方程，即

選取初值條件

φ（x，0）=φ0（x），? u（x，0）=u0（x），? ut（x，0）=u1（x），? x∈［a，b］（3）

和Dirichlet零邊界條件

φ（a，t）=φ（b，t）=0，? u（a，t）=u（b，t）=0，? t∈（0，T］。（4）

式（3）中：φ0（x）是給定的具有足夠光滑性的復(fù)值函數(shù)；u0（x）和u1（x）是兩個(gè)給定的具有足夠光滑性的實(shí)值函數(shù)，這3個(gè)函數(shù)充當(dāng)求解過程中的初始解。

式（1）～（4）具有電荷守恒律和能量守恒律，即

定義空間

V0h={v|v={vj|0≤j≤J}∈Vh，v0=vJ=0}

和三對(duì)角矩陣

其中：矩陣A根據(jù)二階中心差分算子可得，矩陣B為對(duì)角占優(yōu)矩陣，因此是可逆矩陣。

設(shè)u，v∈Vh，定義離散內(nèi)積和離散范數(shù)，即

2 幾種差分格式

2.1 向前Euler格式

令Φnj=φ（xj，tn），Unj=u（xj，tn）。在節(jié)點(diǎn)（xj，tn）處考慮KGS方程（1）～（2），有

式（7），（8）中：0≤n≤N-1；1≤j≤J-1。

由向前差分算子及二階中心差分算子，有

將式（9）～（12）代入式（7），（8），得到

結(jié)合式（3），（4），可得

忽略式（13），（14）的小量項(xiàng)，則有

并用φnj，unj分別代替Φnj，Unj，得到差分格式為

式（15）～（18）即為KGS方程的向前Euler格式。稱R（1）j，n和R（2）j，n為差分格式（15）和差分格式（16）的局部截?cái)嗾`差。記

則可知截?cái)嗾`差R（1）j，n，R（2）j，n滿足

|R（1）j，n|≤c1（τ+h2），? 0≤n≤N-1， 1≤j≤J-1，|R（2）j，n|≤c2（τ2+h2），? 1≤n≤N-1， 1≤j≤J-1。

其中：c1，c2是與h和τ無關(guān)的常數(shù)。

注1 向前Euler格式（15）～（18）是一個(gè)非線性顯性格式，并且該格式下φ的數(shù)值解在時(shí)間方向和空間方向上分別具有1階和2階精度，u的數(shù)值解在時(shí)間方向和空間方向上都具有2階精度。

2.2 Crank-Nicolson格式

其中：0≤n≤N-1；1≤j≤J-1。

應(yīng)用公式

可得到

再利用式（9）及

可以得到

在（xj，tn+1/2）處考慮方程（2），即

式（24）中：1≤n≤N-1；1≤j≤J-1。

結(jié)合式（11），（12），（21）及

可將式（24）改寫為

略去式（23）和式（28）的小量項(xiàng)，則有

結(jié)合初值條件（3）和邊值條件（4），并用φnj，unj分別代替Φnj，Unj，得到Crank-Nicolson差分格式為

式（29）～（32）即為KGS方程的Crank-Nicolson格式。稱R（3）j，n和R（4）j，n為差分格式（23）和差分格式（28）的局部截?cái)嗾`差。記

則可知截?cái)嗾`差R（3）j，n，R（4）j，n滿足

|R（3）j，n|≤c3（τ2+h2），? 0≤n≤N-1， 1≤j≤J-1，|R（4）j，n|≤c4（τ2+h2），? 1≤n≤N-1， 1≤j≤J-1。

其中：c3，c4是與h和τ無關(guān)的常數(shù)。

注2 與向前Euler格式不同，Crank-Nicolson格式（29）～（32）是一個(gè)非線性隱性格式，并且該格式下φ和u的數(shù)值解在時(shí)間方向和空間方向上都具有2階精度。

2.3 緊差分格式

在點(diǎn)（xj，tn+1/2）處考慮方程（1），有

其中：0≤n≤N-1；1≤j≤J-1。

結(jié)合式（19）～（22），有

式（33）中：0≤n≤N-1；1≤j≤J-1。

式（33）兩邊同時(shí)左乘緊差分算子Ah，可以得到

由于有

所以有

將式（35）代入式（34），有

在點(diǎn)（xj，tn+1/2）處考慮方程（2），有

式（37）中：1≤n≤N-1；1≤j≤J-1。

將式（25）～（27）代入式（37），可以得到

將式（38）兩邊同時(shí)左乘緊差分算子Ah，并利用式（11）及

可得

略去式（36）和式（39）中的小量項(xiàng)，則有

結(jié)合初值條件（3）和邊值條件（4），并且用φnj，unj分別代替Φnj，Unj，得到KGS方程的緊差分格式為

式（40）～（43）即為KGS方程的緊差分格式。稱R（5）j，n和R（6）j，n為差分格式（36）和差分格式（39）的局部截?cái)嗾`差。記

則可知截?cái)嗾`差R（5）j，n，R（6）j，n分別滿足

|R（5）j，n|≤c5（τ2+h4），? 0≤n≤N-1， 1≤j≤J-1，

|R（6）j，n|≤c6（τ2+h4），? 1≤n≤N-1， 1≤j≤J-1。

其中：c5，c6是與h和τ無關(guān)的常數(shù)。

注3 緊差分格式（40）～（43）也是一個(gè)非線性隱性格式，并且該格式下的φ和u的數(shù)值解在時(shí)間方向和空間方向上分別具有2階和4階精度。

3 守恒性

引理1［18］ 對(duì)于任意的u，v∈V0h，有〈δ2xu，v〉=-〈δ+xu，δ+xv〉。

引理2［18］ 對(duì)于任意的u∈Vh，n=0，1，…，N-1，則有

Re〈-B-1A（un+1+un），（un+1-un）〉=|||δxun+1|||2-|||δxun|||2，

Im〈B-1A（un+1+un），（un+1-un）〉=0。

其中：Re和Im分別表示取函數(shù)的實(shí)部和虛部。

定理1 Crank-Nicolson格式（29）～（32）能夠精確地保持離散的電荷和能量守恒，即

Qn=φn2≡Q0，? n=1，2，…，N，（44）

En=un2+δ+tun2+δ+xun2+δ+xφn2-2〈un，|φn|2〉=E0，? n=1，2，…，N-1。（45）

證明：式（29），（30）可以表示為

將式（46）與φn+1/2作內(nèi)積，并取虛部，有

由引理1可知

〈δ2xφn+1/2，φn+1/2〉=-〈δ+xφn+1/2，δ+xφn+1/2〉=-δ+xφn+1/22∈R。

又

因此，有

故有

φn+12=φn2。（48）

因此，式（44）成立。

將式（46）與φn+1-φn做內(nèi)積，并取實(shí)部，有

對(duì)上式進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即

整理可以得到

-δ+xφn+12+δ+xφn2+〈un+1+un，|φn+1|2〉-〈un+1+un，|φn|2〉=0。（49）

將式（47）與un+1-un做內(nèi)積，有

〈δ2tun+1/2，un+1-un-1〉-〈δ2xun+1/2，un+1-un〉+〈un+1/2，un+1-un〉-12〈|φn|2+|φn+1|2，un+1-un〉=0。

對(duì)上式進(jìn)行逐項(xiàng)分析，可得到

整理得到

δ+tun+12-δ+tun2+δ+xun+12-δ+xun2+un+12-un2-〈|φn|2+|φn+1|2，un+1-un〉=0。（50）

用式（50）減去式（49）得到

un+12+δ+tun+12+δ+xun+12+δ+xφn+12-2〈un+1，|φn+1|2〉=un2+δ+tun2+δ+xun2+δ+xφn2-2〈un，|φn|2〉，

因此，式（45）成立。

定理2 緊差分格式（40）～（43）能夠精確保持離散電荷和能量守恒，即

Qn=φn2≡Q0，? n=0，1，…，N，（51）

En=un2+δ+tun2+|||δxun|||2+|||δxφn|||2-2〈un，|φn|2〉≡E0，? n=0，1，…，N-1。（52）

證明：利用前面定義的矩陣A和B，式（40），（41）可以表示為

將式（53）與φn+1/2作內(nèi)積，并取虛部，則有

對(duì)上式進(jìn)行逐項(xiàng)分析，有

又〈un+1/2φn+1/2，φn+1/2〉∈R，所以有

由此可知，式（51）成立。

將式（53）與δ+tφn作內(nèi)積，并取實(shí)部，有

逐項(xiàng)分析，有

則式（56）可表示為

|||δxφn+1|||2-|||δxφn|||2-〈un+1+un，|φn+1|2〉+〈un+1+un，|φn|2〉=0。（57）

將式（54）與δ+tun作內(nèi)積，并取實(shí)部，有

分析式（58）的每一項(xiàng)，可得

則式（58）可以寫成

δ+tun+12-δ+tun2+|||δxun+1|||2-|||δxun|||2+un+12-un2-〈|φn|2+|φn+1|2，un+1-un〉=0。（59）

結(jié)合式（57）與式（59），有

un+12+δ+tun+12+|||δxun+1|||2+|||δxφn+1|||2-2〈un+1，|φn+1|2〉=un2+δ+tun2+|||δxun|||2+|||δxφn|||2-2〈un，|φn|2〉。

由此可知，式（52）成立。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證前面的理論結(jié)果。根據(jù)文獻(xiàn)［19］可以得到KGS方程的解析解，即

式（60），（61）中：v為孤立波的傳播速度；x0為初始相位。對(duì)于固定的t，當(dāng)x→∞時(shí)，φ（x，t）和u（x，t）迅速衰減到0。因此，在數(shù)值上可以在有限區(qū)域（a，b）中求解KGS方程。其中，-a，b1，邊界條件為零邊界。

4.1 數(shù)值解

考慮初值條件

φ0（x）=φ（x，0，v，0），? u0（x）=u（x，0，v，0），? u1（x）=ut（x，0，v，0）。

計(jì)算主要在區(qū)間［-20，20］中進(jìn)行，選取空間步長h為0.2，時(shí)間步長τ為0.001 s，傳播速度v為0.1。向前Euler格式、Crank-Nicolson格式和緊差分格式在數(shù)值運(yùn)算時(shí)間（T）分別為1，16 s時(shí)得到的數(shù)值解，如圖1～3所示。

由圖1～3可知：當(dāng)T=16時(shí)，向前Euler格式的數(shù)值解出現(xiàn)了一些輕微的振蕩，Crank-Nicolson格式和緊差分格式的數(shù)值解較為光滑。這表明相較于其他兩種穩(wěn)定的隱式格式，作為顯式格式的向前Euler格式相對(duì)不穩(wěn)定。

當(dāng)T分別為1，16 s時(shí)，分別運(yùn)用向前Euler格式、Crank-Nicolson格式和緊差分格式求解KGS方程時(shí)的CPU運(yùn)行時(shí)間（tCPU），結(jié)果如表1所示。由表1可知：顯式的向前Euler格式的計(jì)算速度明顯優(yōu)于隱式的Crank-Nicolson格式和緊差分格式，這是因?yàn)橄蚯癊uler格式在計(jì)算過程中沒有迭代。

4.2 電荷守恒與能量守恒

分別定義離散電荷誤差error Q和能量誤差error E為

式（62）中：Qn和En分別表示第n步的電荷值和能量值。計(jì)算在區(qū)間［-20，20］中進(jìn)行，選取空間步長h為0.2，時(shí)間步長τ為0.001 s，傳播速度v為0.1。分別繪制T=10 s時(shí)Crank-Nicolson格式和緊差分格式的電荷、能量值及其離散誤差，如圖4，5所示。

由圖4可知：電荷誤差和能量誤差分別在10-13和10-12左右，表明Crank-Nicolson格式的電荷和能量是守恒的。由圖5可知：緊差分格式的守恒量誤差分別在10-11和10-12左右，表明緊差分格式能夠很好地保持離散電荷和能量守恒。

5 結(jié)束語

利用經(jīng)典的差分算子為一維KGS方程分別構(gòu)造向前Euler格式、Crank-Nicolson格式和緊差分格式。利用相關(guān)理論知識(shí)討論了3種格式的精度，詳細(xì)證明了Crank-Nicolson格式和緊差分格式能夠精確保持離散電荷守恒及能量守恒。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與Crank-Nicolson格式和緊差分格式相比，向前Euler格式長時(shí)間計(jì)算的穩(wěn)定性稍差，但是其計(jì)算效率更高。另外，在數(shù)值上，Crank-Nicolson格式和緊差分格式能夠精確地保持離散的電荷和能量守恒，驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。

通過對(duì)3種格式的比較，可以看出它們?cè)谇蠼釱GS方程時(shí)的優(yōu)缺點(diǎn)，為不同工程應(yīng)用提供合適的選擇。

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