胡必偉，吳志平，饒 偉，李源清，胡畢煒

（1.江西省科技基礎條件平臺中心，江西 南昌 330003；2.南昌工程學院信息工程學院，江西 南昌 330099）

0 引 言

一維均勻線陣（Uniform Linear Array，ULA）是陣列信號處理領(lǐng)域中最基礎的陣列結(jié)構(gòu)之一［1］，由于其容易實現(xiàn)的結(jié)構(gòu)和良好的結(jié)構(gòu)拓展性，受到了許多學者的研究。首先是一維線型標量傳感器陣列，通過將多個標量傳感器等間距地放置在同一條水平線上，對陣列接收信號進行數(shù)據(jù)處理就可以實現(xiàn)對入射信號波達方向（Direction of Arrival，DOA）的估計［2］。但是，受到奈奎斯特采樣定律的影響，為了避免循環(huán)模糊相鄰陣元的間距需要小于等于載波的半波長［3］，這使得陣列的孔徑受到了極大的限制。同時，傳統(tǒng)線型陣列的可識別信號個數(shù)無法超出陣元個數(shù)［4］。為了解決上述問題，人們提出了稀疏陣列結(jié)構(gòu)［5］，其中包括一維嵌套陣列［6］和一維互質(zhì)陣列［7］。在一維嵌套陣列中，包含有2個間距不同的子陣列，其中第1個子陣列仍然是半波長的間距排列，第2 個子陣列以多倍半波長的間距排在第1 個子陣列之后。利用嵌套結(jié)構(gòu)中的2 個子陣列陣元間距不同的特點，結(jié)合嵌套陣列的協(xié)方差矩陣中元素結(jié)構(gòu)和方向矩陣中元素結(jié)構(gòu)的相似性，生成一個具有更多虛擬陣元和更大陣列孔徑的虛擬均勻線陣。與一維嵌套陣列不同，一維互質(zhì)陣列的2 個子陣列都是以不同的多倍半波長等間距穿插排列的，需要注意的是，2 個子陣列的間距之間必須是互質(zhì)關(guān)系［8］。區(qū)別于一維嵌套陣列生成的虛擬陣列，一維互質(zhì)陣列生成的并非是均勻的虛擬線陣，因此后續(xù)還有多種基于此的提升方法［9］。

隨著聲矢量傳感器在陣列信號處理中的使用［10］，直接將陣列中的標量傳感器替換成聲矢量傳感器，可以實現(xiàn)估計性能的提升，這種提升最直接的來源是矢量傳感器陣列具有的接收信號冗余性［11］。而冗余性來源于矢量傳感器的自身結(jié)構(gòu)，由于單個矢量傳感器是由多個傳感器部件組成［12-13］，因此矢量傳感器可以額外地檢測到入射信號的多個維度的信息。因此，該接收信號具有天然的高維度特點，這也促使了張量代數(shù)在矢量傳感器陣列信號處理中的應用［14-16］。 平行因子分解（Parallel Factorization，PARAFAC）亦稱為正則多元分解（Canonical Polyadic Decomposition，CPD），Sidiropoulos等［17］首先結(jié)合CPD 提出了基于均勻線陣的DOA 估計算法。該算法將整個陣列分割成幾個相同大小、空間上部分重疊的子陣。陣列接收到所有的信號可以表示為一個三階張量，然后通過CPD 分解得到陣列信號的DOA 估計。在DOA 估計中，與估計性能直接掛鉤的是陣列自由度和陣列孔徑，為了提高這2 個目標參數(shù)，將矢量傳感器移植到一維嵌套陣列結(jié)構(gòu)［18］。同時，由于矢量傳感器的引入，陣列接收信號的維度也提高了［19］，為了避免使用傳統(tǒng)DOA 估計算法（例如傳統(tǒng)MUSIC 算法［20］）的多維搜索帶來的高成本，在使用嵌套陣列結(jié)構(gòu)的同時，使用了張量代數(shù)［21］作為數(shù)據(jù)處理工具。為了充分運用矢量傳感器陣列信號的多維數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，文獻［22］使用張量代數(shù)中的張量分解實現(xiàn)了對均勻矢量傳感器陣列入射信號波達方向的估計。相比較于聲矢量傳感器陣列信號處理中傳統(tǒng)的矩陣代數(shù)算法［23］，該方法不僅降低了計算復雜度，而且?guī)砹斯烙嬓阅苌系奶嵘?。為了進一步提高陣列自由度（Degree of Freedom，DOF），將電磁矢量傳感器陣列的結(jié)構(gòu)特點和張量代數(shù)相結(jié)合，文獻［24］中使用相同的嵌套電磁矢量傳感器陣列構(gòu)造出了一個具有更高DOF 的張量數(shù)據(jù)模型，因此DOA 估計的精度和角度分辨率得到了進一步提高。

盡管在陣列結(jié)構(gòu)中引入矢量傳感器能夠帶來性能的提升，但是矢量傳感器陣列的成本隨著傳感器個數(shù)的增加直線上升［25］。為了降低矢量傳感器陣列的成本，或在相同的陣列成本下進一步提升信號DOA估計的性能，本文提出一種由標量傳感器和聲矢量傳感器組成的混合傳感器陣列結(jié)構(gòu)。該陣列中的標量傳感器和聲矢量傳感器分別構(gòu)成了2 個陣元間距不同的ULA。然后和許多稀疏陣列信號的處理方法［5］類似，利用張量代數(shù)對這2個ULA 接收信號的互相關(guān)（即二階統(tǒng)計量）進行處理，推導出2 個三階張量數(shù)據(jù)模型，分別對應于2 個虛擬矢量傳感器陣列的接收信號。根據(jù)這2 個虛擬矢量傳感器陣列的空間分布特點，通過對2 個三階張量進行切片重排，再進行合并得到一個新的三階張量數(shù)據(jù)模型，該模型對應于一個更大的聲矢量傳感器均勻線陣。分析表明，當新陣列使用M2個聲矢量傳感器和2M2個標量傳感器時，可以構(gòu)造出一個虛擬的含有約2-M2個聲矢量傳感器的均勻線陣。最后對該模型進行張量分解得到DOA的估計值。與文獻報道的方法相比，在相同的陣列成本下，新陣列以及張量代數(shù)處理方法具有更好的DOA 估計精度和更優(yōu)的角度分辨率。仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性。

1 混合傳感器陣列結(jié)構(gòu)及其信號模型

一維線型混合傳感器陣列的結(jié)構(gòu)如圖1 所示。不失一般性，假設陣列中所有的陣元都是沿Z軸分布的。該陣列由2個子陣列組成，分別是由M1個標量傳感器組成的均勻線型陣列ULA-1，以及由M2個聲矢量傳感器組成的均勻線型陣列ULA-2，陣元總數(shù)為N=M1+M2。ULA-1 位于Z軸原點兩側(cè)對稱分布且相鄰陣元間距為信號半波長（d）。ULA-2位于Z軸的正半軸，且其第1 個陣元位于Z軸的原點處，相鄰陣元間距為M1d。

圖1 一維混合傳感器陣列結(jié)構(gòu)

需要注意的是，一個聲矢量傳感器是由1 個全向壓力傳感器和最多3 個正交的粒子速度傳感器組成［11］，其中全向壓力傳感器是標量傳感器中的一種。在大多數(shù)傳統(tǒng)的聲矢量傳感器陣列結(jié)構(gòu)中，每一個陣元的位置都需要一個矢量傳感器去填補。而在本陣列結(jié)構(gòu)中，僅ULA-2 放置的是聲矢量傳感器且為稀疏分布（陣元間距為M1d），而ULA-1放置的卻是標量傳感器，同時聲矢量傳感器的個數(shù)是標量傳感器個數(shù)的一半。

假設有K個具有不同方位角和俯仰角(φk，θk)，k= 1，…，K的遠場窄帶信號入射到本陣列中，其中方位角的取值范圍是φk∈[0，π)，俯仰角的取值范圍是θk∈[0，π/2)。設第k個入射信號sk的俯仰角的方向余弦為vk= sin(θk)，則由標量傳感器構(gòu)成的子陣列ULA-1在t時刻的接收信號向量y（1t）可表示為：

其中，w1（t）為ULA-1 子陣列對應的噪聲向量，導向矢量ak= [Φ-M1/2+0.5，…，Φ-1.5，Φ-0.5，Φ0.5，Φ1.5，…，ΦM1/2-0.5]T，Φ= e-j2πvkd/λ，λ為入射信號的波長。

同理可得，由聲矢量傳感器構(gòu)成的子陣列ULA-2在t時刻的接收信號矩陣Y2（t）為：

其中，w2（t）為ULA-2子陣列對應的噪聲向量，導向矢量bk=[1，ΦM1，…，ΦM1×(M2-1)]T，pk為在原點位置的聲矢量傳感器對于第k個入射信號的空間響應向量［10］：

2 虛擬聲矢量傳感器ULA

對比式（1）和式（2）可知，聲矢量傳感器的引入直接導致了接收信號的數(shù)據(jù)維度的增加。為了能夠高效地利用新增加的數(shù)據(jù)維度信息，接下來將采用張量代數(shù)的方法來處理一維混合傳感器陣列的接收信號，以產(chǎn)生一個具有更多陣元的虛擬聲矢量傳感器ULA。

首先，與差分陣列［6］類似，為了充分利用2 個子ULA 不同的陣元間距，先求出2 個子陣信號的互相關(guān)量張量：

其中，σk為第k個入射信號的功率，a*表示取共軛，此時

觀察式（4）和式（2）可知，陣列的陣元位置信息蘊藏在方向向量的相位上，即方向向量的相位差體現(xiàn)了該陣列的陣列結(jié)構(gòu)信息。差分陣列正是利用了這一特點，先求出整個陣列的自相關(guān)數(shù)據(jù)，再將自相關(guān)數(shù)據(jù)量中表示2 個陣列方向向量進行合并并且重排，再去除重復項，就可以得到一個新的數(shù)組，新數(shù)組具有和原先子陣列方向向量類似的結(jié)構(gòu)成分，但是元素個數(shù)變多了，且每個元素的相位也呈現(xiàn)等間距排布，這就生成了虛擬均勻線陣的方向向量。

2.1 基于陣列信號二階統(tǒng)計量的虛擬ULA的構(gòu)造

相比較于傳統(tǒng)方法，新方法使用張量進行建模，區(qū)別于傳統(tǒng)差分陣列矩陣的數(shù)據(jù)處理中單純地拉成長矢量的方式，新方法通過張量的外積表達式來表示張量的各個組成部分，同時將張量的維度的合并和升階處理與陣列結(jié)構(gòu)的物理特征相結(jié)合，進一步地利用和開發(fā)新陣列結(jié)構(gòu)潛力。利用所提出的混合傳感器陣列的接收信號，構(gòu)造出具有更多虛擬陣元的聲矢量傳感器陣列。與傳統(tǒng)差分陣列處理方法［6］中對整個差分陣列求自相關(guān)量再進行處理的方式相比較，新方法將構(gòu)造新的虛擬陣列的過程變成為2 個子陣列的二階統(tǒng)計量的處理過程。

首先，將張量R1的第1維度和第3維度進行合并，得到張量R2：

然后，去除ck中的重復元素并按順序排列，得到張量R′2：

圖2 張量R′2對應的虛擬聲矢量傳感器均勻線陣

為了進一步增加虛擬陣列的陣元數(shù)，對張量R′2求取共軛張量，得到張量R3：

對張量R3的第1 維度中的元素順序進行倒序排列，得到張量R′3：

與上述分析類似，張量R′3也可以被看作是一個具有M1M2個聲矢量傳感器ULA 的單快拍接收信號，且陣元的位置如圖3所示。

圖3 張量R′3對應的虛擬聲矢量傳感器均勻線陣

2.2 虛擬ULA的合并

為了在后續(xù)的處理步驟中，更好地增加虛擬陣列的DOF，采取將上文中2 個虛擬陣列合并的措施。因此需要對張量R3的第1維度元素進行重新排序，便于將分別位于Z軸原點左右兩側(cè)的虛擬ULA進行合并：從圖2 和圖3 中可以看出，這2 個虛擬線陣并非完全位于Z 軸原點的兩側(cè)，而是有一些重疊的部分。因此需要將2個虛擬ULA 重疊的部分進行舍去，也就是將張量R′2對應的虛擬線陣位于原點左側(cè)多余的部分陣元舍棄，將張量R′3對應的虛擬線陣位于Z 軸原點右側(cè)的多余部分舍去，再進行合并。合并時，將Z 軸原點左側(cè)的虛擬陣列所對應的張量放在合并之后張量的前半部分，將Z 軸原點右側(cè)的虛擬陣列所對應的張量放在合并之后張量的后半部分。

為實現(xiàn)上述操作，令Q是一個大小為2（M1M2-M1/2）×1的張量，且：

其表達式為：

其中，ek=[Φ-M1×M2+(M1/2+0.5),…,Φ-0.5,Φ0.5,…,ΦM1×M2-(M1/2+0.5)]T。結(jié)合上文中方向向量的特點，根據(jù)ek中元素的特征，可以看出張量Q對應于一個位于Z軸的聲矢量傳感器均勻線陣，并且該均勻線陣的陣元個數(shù)為（M1M2-M1/2）×2，如圖4所示。

圖4 合并之后的虛擬聲矢量傳感器均勻線陣

2.3 陣列自由度分析

如下所示，對新方法的陣列自由度進行分析。由式（10）可知，盡管此時的虛擬陣元個數(shù)得到了擴展，但是Q對應于單快拍數(shù)據(jù)。在傳統(tǒng)的差分陣列處理過程中，需要進行矩陣域的空間平滑來實現(xiàn)等效快拍數(shù)的增加［6］，而本文將采用張量域的空間平滑來實現(xiàn)等效快拍數(shù)的增加：在進行空間平滑時將（M1M2-M1/2）×2個陣元劃分為如圖5所示的N個重疊子陣，且每個子陣均含有L個陣元，則有L+N=（M1M2-M1/2）×2+1成立。第n（1≤n≤N）個子陣接收信號的表達式為：

圖5 空間平滑示意圖

其對應的外積形式為：

其中，gk=[1，Φ，…，ΦN-1]T。根據(jù)張量H的外積表達式，可以看出，其對應于一個聲矢量傳感器ULA 的接收信號。其中，該陣列包括L個聲矢量傳感器陣元、N個等效快拍，虛擬陣元間的間距由原一維混合陣列中的間距d所決定，即半波長間距。

綜上，針對所提出的由M1個標量傳感器和M2個聲矢量傳感器構(gòu)成的陣列，通過上述處理方法可得到一個具有L個聲矢量傳感器ULA 的N個快拍數(shù)據(jù)。接下來利用三階張量分解的唯一性來確定L和N 的值：令k（A）表示矩陣A的Kruskal秩，張量H的分解唯一性條件為［12］：

其中，E=[e1,…,eK]、G=[g1,…,gK]和P=[p1,…,pK]稱為因子矩陣。

假設入射信號的二維角度值滿足文獻［26］的定理4，那么各個因子矩陣的Kruskal秩與其維度存在著如下約束：

因此，結(jié)合張量分解唯一性的條件，可以得到入射信號個數(shù)K與各個因子矩陣的不同維度之間的不等式：

根據(jù)上文所述，L和N還存在著約束關(guān)系，即L+N=（M1M2-M1/2）×2+1。使用Lagrange 乘子法，將入射信號個數(shù)K的條件約束最大化問題轉(zhuǎn)化為無條件約束最大化問題，從而得到入射信號個數(shù)與實際傳感器個數(shù)M1和M2的關(guān)系：

根據(jù)Lagrange 乘子法易知，當L=N+1=M1M2-M1/2+1或N=L+1=M1M2-M1/2+1時，K取最大值：

因此，該虛擬聲矢量傳感器ULA 的自由度約為M1M2-M1/2+1。

關(guān)于陣列結(jié)構(gòu)（圖1）中標量傳感器個數(shù)M1和矢量傳感器個數(shù)M2的取值問題，參考一維嵌套陣列結(jié)構(gòu)［6］并結(jié)合自身陣列結(jié)構(gòu)特點，可簡單將它們設置成：

綜上所述，按照圖1 的方式構(gòu)造混合傳感器陣列，其中包含M2個聲矢量傳感器和2M2個標量傳感器。通過上述方法對該陣列接收信號進行處理后，可得到一個包含了約2-M2個聲矢量傳感器ULA 的約2-M2個快拍數(shù)據(jù)。顯然生成的虛擬ULA中含有的陣元總數(shù)（即2-個聲矢量傳感器）遠多于物理陣列中的陣元總數(shù)（即M2個聲矢量傳感器和2M2個標量傳感器）。換言之，用M2個聲矢量傳感器和2M2個標量傳感器的“陣列代價”，獲得了一個包含有2-M2個聲矢量傳感器的ULA。

3 DOA估計

根據(jù)虛擬ULA 信號的張量模型H的表達式，可以看出入射信號的DOA 信息同時存在于不同的維度中，利用張量分解可以同時得到各個因子矩陣［12］。設因子矩陣P的估計值為P?，P?中的第k列表示為P?(：，k)，P?中的第1 行第k列的元素表示為P?(1，k)，則通過下式可以得到入射信號的DOA估計值：

其中，和分別是方位角φ和俯仰角θ的方向余弦估計值。

同時，俯仰角θ也可以從因子矩陣E中得到入射信號的DOA 估計值：首先需要使用范德蒙恢復［12］得到因子矩陣E中每一列中元素對應的基礎相位信息w（k），k=1，…，K，再根據(jù)導向矢量的表達式倒推出入射信號的角度，表達式如下：

需要注意的是，雖然一維虛擬聲矢量傳感器ULA可以同時估計出方位角和俯仰角，但其只在一個方向（圖1 所示為Z軸方向）上有陣列孔徑，該孔徑對應著俯仰角。因此只從聲矢量傳感器空間響應維度P選取方位角的估計值，而俯仰角的估計值則從虛擬陣列的方向矩陣E中得到。

4 仿真實驗

為了驗證本文方法的性能，將其與文獻［14，19］中的方法進行計算機仿真對比，同時將設置了6 個電磁矢量傳感器的均勻線陣張量代數(shù)方法作為參考，這3 種對比方法分別簡稱為NS EMVS Tensor MUSIC、NS EMVS CPD、EMVS CPD。注意到這3 種對比方法均為電磁矢量傳感器陣列，為了能在“相同的陣列代價”的前提下進行算法性能對比，簡單起見，本文將一個標量傳感器看作是1 個“部件”，一個聲矢量傳感器則看作含有4 個“部件”，而一個電磁矢量傳感器則看作含有6 個“部件”。因此，接下來的對比實驗將在各方法中所含有的“部件”數(shù)相同的情況下展開，且蒙特卡洛仿真次數(shù)均為100次。

實驗1不同信噪比下DOA估計性能比較。

假設有一個遠場窄帶信號(φk，θk)=(27°，65°)入射到所有陣列中。設NS EMVS Tensor MUSIC、NS EMVS CPD 和EMVS CPD 均含有6 個電磁矢量傳感器，即對應36 個“部件”。相應地，將混合傳感器陣列設置成含有12個標量傳感器和6個聲矢量傳感器，也對應36 個“部件”。將快拍數(shù)固定為1000，信噪比SNR 從-5 dB 變化到20 dB。所有方法的DOA 估計的均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）［27］值如圖6 所示。可以看出，在傳感器部件總數(shù)相同的情況下，本文所提出的混合傳感器陣列具有更好的DOA 估計性能。這是因為，在傳感器部件總數(shù)相同的情況下，混合傳感器陣列所生成的虛擬聲矢量傳感器ULA具有更多的陣元和更大的陣列孔徑。

圖6 RMSE隨信噪比變化情況

實驗2不同快拍數(shù)下DOA估計性能比較。

固定信噪比為10 dB，快拍數(shù)從100 變化到800，其它參數(shù)設置與實驗1 相同。所有方法的DOA 估計的RMSE 值如圖7 所示。可以看出，本文方法仍然具有最小的RMSE值，其原因與實驗1中相同。

圖7 RMSE隨快拍數(shù)變化情況

實驗3角度分辨率性能比較。

假設有2 個波達角接近的入射信號（φ1，θ1）=（15°，18°）和（φ2，θ2）=（13°，20°），將信噪比和快拍數(shù)固定為10 dB 和500，其它參數(shù)設置與實驗1 相同。圖8~圖11 展示了所有方法的DOA 估計結(jié)果。從結(jié)果圖中可以看出本文方法能正確識別出這2 個信號，NS EMVS Tensor MUSIC 識別性能略差，而其它2 種對比方法無法識別出這2 個信號?？梢姡捎诒疚姆椒ㄔ谙嗤瑐鞲衅鞑考那闆r下具有更大的陣列孔徑，因此在角度分辨率上存在明顯的優(yōu)勢。

圖8 本文方法的角度分辨結(jié)果

圖9 NS EMVS CPD的角度分辨結(jié)果

圖10 NS EMVS Tensor MUSIC 的角度分辨結(jié)果

圖11 EMVS CPD的角度分辨結(jié)果

5 結(jié)束語

本文提出了一種一維混合傳感器陣列結(jié)構(gòu)及其相應的張量處理方法。分析結(jié)果表明，本文方法在使用M2個聲矢量傳感器和2M2個標量傳感器的“陣列成本”下，可獲得一個包含有2M22-M2個聲矢量傳感器的ULA，從而獲得了更多的陣列自由度和更大的陣列孔徑。仿真實驗結(jié)果也驗證了在相同陣列成本下，本文方法具有更高的DOA估計精度及更優(yōu)的角度分辨率。