程 佑,廖備水

(1. 浙江大學(xué) 哲學(xué)學(xué)院,浙江 杭州 310000;2. 浙江大學(xué) 邏輯與認(rèn)知研究所,浙江 杭州 310000)

0 前言

論辯框架理論在計(jì)算語(yǔ)言學(xué)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用,例如,在處理基于關(guān)系的論辯挖掘[1]和情感極性分類[2]等問(wèn)題時(shí),運(yùn)用論辯框架評(píng)估論證能提升分類器的性能[2]。

論辯框架的核心任務(wù)是對(duì)不完全的、不確定的和不一致的知識(shí)和信息進(jìn)行表示和推理,得到可接受的結(jié)論[3]。抽象論辯框架(Abstract argumentation framework, AF)簡(jiǎn)稱論辯框架,將論證、攻擊關(guān)系等概念抽象化,為包含信息沖突的現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景的表示和計(jì)算提供了靈活高效的框架[4]。抽象論辯框架的語(yǔ)義最常用的有基于外延的語(yǔ)義和基于標(biāo)記的語(yǔ)義[5]。這兩種語(yǔ)義各有優(yōu)缺點(diǎn)。根據(jù)基于外延的語(yǔ)義,一個(gè)論證集合是可接受的,則其內(nèi)部是無(wú)沖突的且能防御它的攻擊者。這種語(yǔ)義被用于提供可解釋性[6]。根據(jù)基于標(biāo)記的語(yǔ)義,論證的狀態(tài)由其攻擊者的狀態(tài)決定。相對(duì)于基于外延的語(yǔ)義,基于標(biāo)記的語(yǔ)義更易于計(jì)算。在抽象論辯框架下,這兩種語(yǔ)義之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系已被證明[7]。雙極論辯框架(Bipolar Argumentation Framework, BAF)在抽象論辯框架基礎(chǔ)上引入了支持關(guān)系[8]。值得注意的是,支持關(guān)系在不同研究者的框架中有不同的解釋[9],在BAF中通常被解釋為演繹支持(Deductive Support)[10]、必要支持(Necessary Support)[11-12],有時(shí)也被解釋為基于證據(jù)的支持[13]。在框架定義方面,這些框架只引入一種支持關(guān)系,而實(shí)例中往往同時(shí)存在多種支持關(guān)系。同時(shí),一些框架對(duì)沖突的定義基于特殊論證序列結(jié)構(gòu)[10,12],不夠簡(jiǎn)潔和一般化。在語(yǔ)義方面,雖然基于外延的語(yǔ)義和基于標(biāo)記的語(yǔ)義各有優(yōu)缺點(diǎn),可以優(yōu)勢(shì)互補(bǔ),但在雙極論辯框架下,兩者之間尚未形成聯(lián)系,相關(guān)的對(duì)應(yīng)關(guān)系沒(méi)有被證明。

本文旨在建立一種包含多種支持關(guān)系的論辯框架,給出它們的基于外延的語(yǔ)義和基于標(biāo)記的語(yǔ)義,并在兩者之間建立聯(lián)系。本文基于強(qiáng)度來(lái)定義攻擊關(guān)系,相比已有的基于特定結(jié)構(gòu)來(lái)定義攻擊關(guān)系的方法,得到的結(jié)果更簡(jiǎn)潔且更有表達(dá)力。同時(shí),本文提出一種基于伴隨圖的方法,將論辯框架中的多種關(guān)系簡(jiǎn)化為一種,讓基于標(biāo)記的語(yǔ)義求解更加簡(jiǎn)單。

本文的組織結(jié)構(gòu)如下: 第1節(jié)介紹包含支持關(guān)系的論辯框架的相關(guān)工作;第2節(jié)介紹本文研究?jī)?nèi)容有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí);第3節(jié)定義包含演繹支持關(guān)系和必要支持關(guān)系的論辯框架,以及它們的基于外延的語(yǔ)義和基于標(biāo)記的語(yǔ)義;第4節(jié)證明本文框架下兩種語(yǔ)義之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系;第5節(jié)總結(jié)本文的工作,并對(duì)未來(lái)工作進(jìn)行展望。

1 相關(guān)工作

本文研究包含支持關(guān)系的論辯框架。將支持關(guān)系引入到論辯框架的方法有以下幾種: 將支持關(guān)系作為一種抽象關(guān)系引入抽象論辯框架,比如雙極論辯框架和基于證據(jù)的論辯系統(tǒng)(Evidential Argumentation Systems, EAS);將支持關(guān)系實(shí)例化,例如,ASPIC+(Argumentation Service Platform with Integrated Components);將支持關(guān)系整合到依賴關(guān)系,例如,抽象辯證框架(Abstract Dialectical Framework,ADF)。

雙極論辯框架在抽象論辯框架的基礎(chǔ)上引入了支持關(guān)系[8]。雙極論辯框架中的支持關(guān)系有著不同的解釋,可以是演繹支持關(guān)系[10]和必要支持關(guān)系[11-12]。已有研究基于結(jié)構(gòu)定義了受支持攻擊、調(diào)停攻擊、間接攻擊、擴(kuò)展攻擊等[11]。這些攻擊關(guān)系被分別定義,在定義語(yǔ)義時(shí)所起的作用卻是相同的,比較繁瑣。本文采用的基于強(qiáng)度的定義,比基于結(jié)構(gòu)的定義更簡(jiǎn)潔。本文將演繹支持關(guān)系和必要支持關(guān)系同時(shí)引入到框架中。雖然演繹支持和必要支持有二重性,可以互相轉(zhuǎn)化,但也有研究表明,兩者在實(shí)例化時(shí)的表現(xiàn)有所不同[14]。另外,演繹支持和必要支持在實(shí)例中是同時(shí)存在的,引入兩種支持關(guān)系到同一框架下而無(wú)需轉(zhuǎn)化,無(wú)疑是一種更直接和自然的表示方式。

在基于證據(jù)的論辯系統(tǒng)中支持關(guān)系也是抽象的。與雙極論辯框架相比,其不同點(diǎn)在于攻擊關(guān)系和支持關(guān)系都必須開始于包含證據(jù)論證的論證集合。雖然EAS中的支持關(guān)系被解釋為基于證據(jù)的支持關(guān)系,不同于BAF中的演繹支持關(guān)系和必要支持關(guān)系,但也有研究者認(rèn)為EAS中的支持關(guān)系是一種特殊的必要支持關(guān)系[9]。同時(shí),在EAS中,定義基于證據(jù)的支持要用到一類特殊的用于表示環(huán)境的證據(jù)論證?？紤]到這些,本文沒(méi)有將基于證據(jù)的支持關(guān)系引入到框架中。

ASPIC+框架是AF的實(shí)例化,它給AF中的論證和攻擊以具體的結(jié)構(gòu)[15]。一個(gè)ASPIC+框架包含邏輯語(yǔ)言、推理規(guī)則、知識(shí)庫(kù)和從知識(shí)庫(kù)及推理規(guī)則構(gòu)建起來(lái)的論證集。在ASPIC+中論證之間的支持關(guān)系有兩種,一種是一個(gè)論證被它的子論證支持,另一種是被支持的論證的前提是其支持者的結(jié)論。研究表明第二種支持關(guān)系在抽象化成演繹支持時(shí)存在問(wèn)題[14]。因此ASPIC+中的支持關(guān)系接近于必要支持。EAS可以被實(shí)例化為ASPIC+,這也印證了EAS中的支持關(guān)系是一種特殊的必要支持。本文同時(shí)考慮了演繹支持和必要支持兩種支持。相比ASPIC+和EAS,本文的框架可以處理更豐富的支持。

一個(gè)抽象辯證框架(Abstract Dialectical Framework, ADF)是一個(gè)有向圖,其中的節(jié)點(diǎn)表示論證,箭頭表示論證間的依賴關(guān)系[14]。在ADF中,論證的狀態(tài)為可接受或不可接受。每個(gè)論證都被分配一個(gè)可接受條件,表示它的狀態(tài)如何取決于它的父論證的狀態(tài)。ADF利用可接受條件來(lái)決定論證的狀態(tài)。這種方式比直接用支持關(guān)系更靈活,但有研究認(rèn)為ADF有時(shí)無(wú)法刻畫演繹支持[9]。與ADF相比,本文提出的框架和語(yǔ)義能夠表示和處理演繹支持。

本文采用基于等式賦值的方法來(lái)定義框架的基于標(biāo)記的語(yǔ)義。這種方法起初被應(yīng)用于AF[16]。本文用演繹支持關(guān)系和必要支持關(guān)系擴(kuò)展了AF,并將這種方法運(yùn)用于新框架下,同時(shí)對(duì)其與基于外延的語(yǔ)義之間的關(guān)系給出了詳細(xì)證明。

2 背景知識(shí)

2.1 抽象論辯框架及其語(yǔ)義

一個(gè)AF可以被看作是一個(gè)有向圖,其中節(jié)點(diǎn)和邊分別表示論證和攻擊。抽象論辯框架定義如下[9]。

定義1(抽象論辯框架)AF=(,att)是一個(gè)抽象論辯框架,其中,是一組有窮且非空的論證集合,att是上的二元關(guān)系,即att?×。

給定一個(gè)AF,論證評(píng)估的目的是確定這個(gè)AF中,哪些論證集合是可接受的。一個(gè)可接受的論證集合,應(yīng)滿足無(wú)沖突、可防御和可相容三個(gè)基本特征。

定義2(無(wú)沖突、可防御和可相容)給定一個(gè)論辯框架AF=(,att)和一組論證集合?。是無(wú)沖突的,當(dāng)且僅當(dāng)a,b∈,使得(a,b)∈att。一個(gè)論證a∈對(duì)于是可防御的,當(dāng)且僅當(dāng)?(b,a)∈att,?c∈,使得(c,b)∈att。是可相容的,當(dāng)且僅當(dāng)是無(wú)沖突的,并且中的每個(gè)論證對(duì)于是可接受的。

基于外延的語(yǔ)義是一組預(yù)先定義的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),用于確定一個(gè)AF中集體可接受的論證集合。

定義3(基于外延的語(yǔ)義)給定一個(gè)論辯框架AF=(,att)和一組論證集合?。是AF的一個(gè)完全外延,當(dāng)且僅當(dāng)是可相容的,并且每個(gè)對(duì)于可接受的論證都在中。是AF的一個(gè)優(yōu)先外延,當(dāng)且僅當(dāng)是(在集合包含意義上)極大的完全外延。是AF的基外延,當(dāng)且僅當(dāng)是(在集合包含意義上)最小的完全外延。是AF的一個(gè)穩(wěn)定外延,當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)沖突且?b∈,?a∈使得(a,b)∈att。

基于標(biāo)記的語(yǔ)義為每個(gè)論證指派一個(gè)標(biāo)記,再檢查標(biāo)記的合理性,按照相關(guān)研究[7],合法標(biāo)記和基于標(biāo)記的語(yǔ)義定義如下:

定義4(合法標(biāo)記)給定一個(gè)論辯框架AF=(,att),AF的一個(gè)標(biāo)記定義為一個(gè)全函數(shù): AF→{IN,OUT,UNDEC}。給定a∈,給a指派的標(biāo)記是IN是合法的,當(dāng)且僅當(dāng)(a)=IN,且a的所有攻擊者都標(biāo)記為OUT;a指派的標(biāo)記是OUT是合法的,當(dāng)且僅當(dāng)(a)=OUT,且存在一個(gè)a的攻擊者標(biāo)記為IN;a指派的標(biāo)記是UNDEC是合法的,當(dāng)且僅當(dāng)(a)=UNDEC,且不存在一個(gè)a的攻擊者標(biāo)記為IN,且并非所有a的攻擊者都標(biāo)記為OUT。

定義5(基于標(biāo)記的語(yǔ)義)給定一個(gè)論辯框架AF=(,att)以及AF的一個(gè)標(biāo)記:

2.2 雙極論辯框架

雙極論辯框架在抽象論辯框架的基礎(chǔ)上加入了支持關(guān)系,定義如下[9]。

定義6(雙極論辯框架)BAF=(,att,sup)是一個(gè)雙極論辯框架,其中是一組有窮且非空的論證集合,att?×是上的攻擊關(guān)系,sup?×是上的支持關(guān)系,sup∩att=?。

演繹支持可以理解為充分條件,必要支持可以理解為必要條件。給定一個(gè)BAF和asupb,在sup被解釋為演繹支持的條件下,如果a是可接受的,b必然是可接受的;在sup被解釋為必要支持的條件下,如果a是不可接受的,b必然是不可接受的。在一個(gè)BAF中,如果支持被解釋為演繹支持,受支持攻擊(Supported Attack)和調(diào)停攻擊(Mediated Attack)有如下定義[9]:

定義7(受支持攻擊和調(diào)停攻擊)給定一個(gè)雙極論辯框架BAF=(,att,sup)和a,b∈。存在從a到b的受支持攻擊,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)序列a11…n-1an,n≥3,其中,a1=a,an=b,并且?i=1…n-2,i=sup,n-1=att。存在從a到b的調(diào)停攻擊,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)序列a1Rsup…Rsupan-1,并且anRattan-1,n≥3,其中,a1=a,an=b。

在一個(gè)BAF中,如果支持被解釋為必要支持,間接攻擊(Secondary Attack)和擴(kuò)展攻擊(Extended Attack) 有如下定義[9]:

定義8(間接攻擊和擴(kuò)展攻擊)給定一個(gè)雙極論辯框架BAF=(,att,sup)和a,b∈。存在從a到b的間接攻擊,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)序列a1atta2sup…supan,n≥3,其中,a1=a,an=b。存在從a到b的擴(kuò)展攻擊,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)序列a1sup…supan,并且a1attap,n≥2,其中,an=a,ap=b。

3 包含演繹支持關(guān)系和必要支持關(guān)系的論辯框架

本文將演繹支持關(guān)系引入抽象論辯框架,更直接地、更自然地表示相關(guān)實(shí)例中的演繹支持和必要支持。

3.1 包含演繹支持關(guān)系和必要支持關(guān)系的論辯框架

定義9(包含演繹支持關(guān)系和必要支持關(guān)系的論辯框架)AFDN=(,att,duc,nec)是一個(gè)包含演繹支持關(guān)系和必要支持關(guān)系的論辯框架。其中是一個(gè)有限非空的論證集合,att是上的攻擊關(guān)系,duc是演繹支持關(guān)系,nec是必要支持關(guān)系,att∩duc=?,att∩nec=?,duc∩nec=?。

例3.1.1(“周末安排”案例)

圖1中的雙箭頭表示演繹支持,單箭頭表示必要支持,劃線箭頭表示攻擊。演繹支持和必要支持可以與攻擊組合成更復(fù)雜的攻擊,如a3atta5neca6,根據(jù)日常直覺(jué),一個(gè)在爬山的人不會(huì)在公司工作,存在從a3到a6的攻擊。我們把這種組合成的攻擊稱為復(fù)雜攻擊。

圖1 表示“周末安排”的AFDN

定義10(復(fù)雜攻擊)給定一個(gè)AFDN=(,att,duc,nec)和一個(gè)從a1到an的序列:a11a2…akkak+1…an-1n-1an。這個(gè)序列指示了一個(gè)從a1到an的復(fù)雜攻擊,當(dāng)且僅當(dāng)?!i∈{1,…,n-1}使得i=att,并且?j∈{1,…,n-1},如果j≠i那么其中是duc的逆轉(zhuǎn),即表示同理。

在一個(gè)AF中,論證間的攻擊是定義各種語(yǔ)義概念的基礎(chǔ)。然而,在一些雙極論辯框架中,并非所有的由支持和攻擊組合成的攻擊都會(huì)被用于定義語(yǔ)義概念[9]。同樣的,在一個(gè)AFDN中,并非所有復(fù)雜攻擊都會(huì)被用于定義語(yǔ)義概念。以圖1中的論證序列a4neca3atta5為例,因?yàn)闈M足復(fù)雜攻擊的定義,所以存在從a4到a5的復(fù)雜攻擊。根據(jù)日常直覺(jué),存在戶外的工作,a4表示的“在戶外”和a5表示的“工作”是可以同時(shí)接受的,a4和a5之間也不存在沖突。因此有的復(fù)雜攻擊不應(yīng)被用于定義語(yǔ)義概念。本文把那些會(huì)被用于定義語(yǔ)義概念的復(fù)雜攻擊稱為強(qiáng)攻擊。

定義11(強(qiáng)攻擊)給定一個(gè)a11a2…aiattai+1…an-1n-1an,如果這個(gè)序列滿足以下兩個(gè)條件,則其指示的復(fù)雜攻擊(a1,an)是一個(gè)強(qiáng)攻擊:

例3.1.2根據(jù)例3.1.1中定義的AFDN,有如下強(qiáng)攻擊關(guān)系:

3.2 AFDN的基于外延的語(yǔ)義

前文定義的強(qiáng)攻擊和抽象論辯框架中的攻擊有相同性質(zhì),因此在定義AFDN的語(yǔ)義時(shí),可以直接采用AF的語(yǔ)義概念的形式[4]。

定義12(無(wú)沖突、可接受和可相容)給定一個(gè)AFDN=(,att,duc,nec),它的強(qiáng)攻擊關(guān)系str和一組論證集合?:

(2) 一個(gè)論證a∈對(duì)于是可接受的,當(dāng)且僅當(dāng)?(b,a)∈str,?c∈使得(c,b)∈str;

定義13(基于外延的語(yǔ)義)給定一個(gè)AFDN=(,att,duc,nec)和一組論證集合?:

與已有研究相比,本文的框架采取的攻擊定義得到的語(yǔ)義結(jié)果更簡(jiǎn)潔,它不需要像額外定義像封閉性這樣的約束[12]。

定義14(封閉性)給定一個(gè)AFDN=(,att,duc,nec)和一個(gè)它的完全外延。滿足封閉性當(dāng)且僅當(dāng): 給定(b,a)∈nec,如果a∈,則b∈;給定(a,b)∈duc,如果a∈,則b∈。

AFDN得到的完全外延滿足封閉性。

命題1給定一個(gè)AFDN=(,att,duc,nec)和一組它的完全外延,則滿足封閉性。

證明:給定a∈,假設(shè)命題不成立,則?b∈使得(b,a)∈nec或者(a,b)∈duc,且b對(duì)于不可接受。?c∈使得 (c,b)∈str,可得(c,a)∈str。因?yàn)槭且粋€(gè)完全外延,c對(duì)于是可接受的,因此b對(duì)于是可接受的,這和假設(shè)矛盾。

根據(jù)3.1.2中的強(qiáng)攻擊關(guān)系,例3.1.1中定義的AFDN計(jì)算結(jié)果如下例子:

例3.2例3.1.1中定義的AFDN,有如下外延:

? 完全外延: {a5,a6,a7,a8},{a1,a2,a3,a4,a7},{a7};

? 基外延: {a7};

? 優(yōu)先外延: {a5,a6,a7,a8},{a1,a2,a3,a4,a7};

? 穩(wěn)定外延: {a5,a6,a7,a8},{a1,a2,a3,a4,a7}。

3.3 基于等式的方法

根據(jù)基于外延的語(yǔ)義,在論證評(píng)估之前,需要計(jì)算強(qiáng)攻擊的集合。這一過(guò)程是比較煩瑣的,需要進(jìn)行全局計(jì)算。相對(duì)于基于外延的語(yǔ)義,基于標(biāo)記的語(yǔ)義更易于計(jì)算[7,17],因此本文提出一種用于AFDN的基于標(biāo)記的語(yǔ)義。本文先根據(jù)給定的AFDN生成一個(gè)伴隨圖,再采用基于等式的方法為伴隨圖和AFDN中的論證賦值。

3.3.1 AFDN的伴隨圖

一個(gè)論證的否定被定義為這個(gè)論證表示的命題的否定。

定義15(伴隨論證)給定一個(gè)AFDN和a∈,a的伴隨論證是a的否定,用a表示。p是中的論證及其伴隨論證組成的集合,即p=∪{a|a∈}。

利用伴隨論證,AFDN中的攻擊關(guān)系、必要支持關(guān)系和演繹支持關(guān)系能夠轉(zhuǎn)化成蘊(yùn)涵關(guān)系。

定義16(蘊(yùn)涵關(guān)系)給定一個(gè)AFDN=(,att,duc,nec)和p。蘊(yùn)涵關(guān)系p是p上的二元關(guān)系,即p?p×p。?a,b∈p,(a,b)∈p當(dāng)且僅當(dāng):

(1) (ai,aj)∈duc且a=ai,b=aj;

(2) (ai,aj)∈duc且a=aj,b=ai;

(3) (ai,aj)∈nec且a=ai,b=aj;

(4) (ai,aj)∈nec且a=aj,b=ai;

(5) (ai,aj)∈att且a=ai,b=aj。

在一些流行的BAF中,攻擊關(guān)系的優(yōu)先級(jí)比支持關(guān)系更高: 給定a攻擊b,c演繹支持b,因?yàn)閮?yōu)先考慮攻擊關(guān)系,b是不可接受的,c受到反向的影響也是不可接受的。因此a到b的攻擊關(guān)系轉(zhuǎn)換成a到b的蘊(yùn)涵關(guān)系,而a到b演繹支持除了轉(zhuǎn)換成a到b的蘊(yùn)涵關(guān)系,還要轉(zhuǎn)化成b到a的蘊(yùn)涵關(guān)系,以表達(dá)a受到的反向影響。

定義17(伴隨圖)給定一個(gè)AFDN=(,att,duc,nec),這個(gè)AFDN的伴隨圖為CG= (p,p),其中,p是伴隨論證集,p是p上的蘊(yùn)涵關(guān)系。

例3.3.1給定圖3.3.1(1)中AFDN,其中nec=(a2,a1),sup=(a2,a3),att=(a4,a3),其伴隨圖CG如3.3.1(2)所示,其中p={(a1,a2),(a2,a1),(a2,a3),(a3,a2),(a4,a3)},如圖2所示。

圖2 伴隨圖案例

3.3.2 基于等式的方法

基于等式的方法通過(guò)函數(shù)給論證賦值,一個(gè)論證的合法賦值由其父論證的值和賦值函數(shù)得到。一個(gè)論證的父論證定義如下:

定義18(父論證函數(shù))給定一個(gè)CG=(p,p),父論證函數(shù)是一個(gè)從論證到論證集合的函數(shù)p:p→2。給定a∈p,則p(a)=且?b∈,(b,a)∈p。

用p(a)表示a的父論證集合,則CG的賦值函數(shù)定義如下:

定義19(CG的賦值函數(shù))給定一個(gè)AFDN的伴隨圖CG=(p,p),CG的賦值函數(shù)fC定義為fC:p→{0,0.5,1}。fC是一個(gè)合法的賦值函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)?ai,ai∈p,以下條件成立:

(1) 如果p(ai)=?,則fC(ai)=1,fC(ai)=0;

(2) 如果p(ai)≠?,fC(ai)=maxn∈p(ai)fC(n),fC(ai)=1-fC(ai)。

本文用1(fC)指代{a|fC(a)=1 且a∈p},0(fC)指代{a|fC(a)=0且a∈p},0.5(fC)指代{a|fC(a)=0.5且a∈p}。

定義20(AFDN的賦值函數(shù))給定一個(gè)AFDN=(,att,duc,nec),AFDN的賦值函數(shù)fA定義為fA:→{0,0.5,1}。fA是一個(gè)合法的賦值函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)fA=fCA且fC是一個(gè)合法的賦值函數(shù)。fCA是一個(gè)函數(shù),由fC的定義域被限定到得到。

例3.3.2給定例3.3.1中的AFDN及其CG,其合法賦值如圖3所示。

圖3 合法賦值案例

4 性質(zhì)與結(jié)果

基于外延的語(yǔ)義和基于標(biāo)語(yǔ)的語(yǔ)義有各自的優(yōu)點(diǎn)。這一節(jié)研究?jī)烧咧g的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在研究這些性質(zhì)時(shí),本文不考慮存在由同一種支持關(guān)系組成有向環(huán)的情況,因?yàn)檫@種情況會(huì)導(dǎo)致循環(huán)支持[12]。

4.1 合法賦值與強(qiáng)攻擊之間的關(guān)系

在一個(gè)AFDN中,給一個(gè)論證的賦值會(huì)沿著攻擊關(guān)系和兩種支持關(guān)系傳播到其他論證。關(guān)于強(qiáng)攻擊和合法賦值之間的關(guān)系,有以下結(jié)果:

一個(gè)沒(méi)有受到強(qiáng)攻擊的論證被賦值為1是合法的。

命題2給定一個(gè)AFDN=(,att,duc,nec)和一個(gè)合法的賦值fA。給定a∈,如果b∈使得(b,a)∈str,則fA(a)=1。

情況2: 如果?c∈使得cneca,則p(a)≠?,fC(a)=maxn∈p(a)fC(n);

子情況2: 如果?c∈使得cnecn,則p(n)≠?,fC(n)=maxm∈p(n)fC(m);

給定一個(gè)從b到a的強(qiáng)攻擊,相應(yīng)的序列在一個(gè)CG中如圖4所示,其中,b=a1且a=an。

圖4 AFDN中的強(qiáng)攻擊在CG中對(duì)應(yīng)的序列

?j≠i,則p(aj)≠?,所以有如下等式:

fC(aj)=maxn∈p(aj)fC(n),?j≠i

(1)

一個(gè)論證被賦值為1是合法的,則強(qiáng)攻擊它的論證合法賦值為0。

命題3給定一個(gè)AFDN=(,att,duc,nec)和一個(gè)合法的賦值fA。如果fA(a)=1,則?b∈使得(b,a)∈str,fA(b)=0。

證明：給定一個(gè)如圖4所示的強(qiáng)攻擊(b,a),其中b=a1,a=an。根據(jù)等式(1),給定fC(an)=fA(an)=1,(an)=0,如果j∈{i+1,…,n},則fC(aj)=0;如果j=i,fC(aj)=0,fC(aj)=1-fC(aj)=1;如果j∈{1,…,i-1},則fC(aj)=1。所以有fC(b)=fC(a1)=0且fA(b)=0。

給定一個(gè)論證,如果所有強(qiáng)攻擊它的論證的合法賦值都為0,則這一個(gè)論證被賦值為1是合法的。

命題4給定一個(gè)AFDN=(,att,duc,nec)和一個(gè)合法的賦值fB。如果?b∈使得(b,a)∈str且fA(b)=0,則fA(a)=1。

證明：給定一個(gè)如圖4所示的強(qiáng)攻擊(b,a),其中b=a1,a=an。因?yàn)?b∈str,fA(b)=0,且根據(jù)定義10,(aj,an)∈str,其中,j∈{1,…,i},所以fC(ai)=0。同理,?n∈p(ai+1),(n,an)∈str,所以fC(n)=0 且fC(ai+1)=0。類似地,當(dāng)j∈{i+1,…,n},?n∈p(aj),fC(n)=0。所以,fA(a)=fC(an)=1。

一個(gè)論證被賦值為0是合法的,則存在一個(gè)強(qiáng)攻擊它的論證合法賦值為1。

命題5給定一個(gè)AFDN=(,att,duc,nec)和一個(gè)合法的賦值fA,如果fA(a)=0,則?b∈使得(b,a)∈str且fA(b)=1。

證明：假設(shè)命題不成立,即?b∈滿足(b,a)∈str,fA(b)=0或者0.5。給定一個(gè)如圖4所示的強(qiáng)攻擊(b,a),其中,b=a1,a=an。根據(jù)等式(1),如果j∈{1,…,i},fC(aj)=1 或者0.5;如果j=i,fC(aj)=0 或者 0.5;如果j∈{i+1,…,n},fC(an)=0或者0.5。所以fA(a)=fC(a)=1-fC(an)=1或者0.5,這和假設(shè)相矛盾。

給定一個(gè)論證,如果存在一個(gè)強(qiáng)攻擊它的論證的合法賦值為1,則這一個(gè)論證被賦值為0是合法的。

命題6給定一個(gè)AFDN=(,att,duc,nec)和一個(gè)合法的賦值fB。如果?b∈使得(b,a)∈str且fA(b)=1,則fA(a)=0。

證明：給定一個(gè)如圖4所示的強(qiáng)攻擊(b,a),其中b=a1,a=an。根據(jù)等式(1),如果j∈{1,…,i},fC(aj)=0;如果j=i,fC(aj)=1;如果j∈{i+1,…,n},fC(an)=1。所以fA(a)=fC(a)=1-fC(an)=0。

根據(jù)以上命題,有如下定理:

定理1給定一個(gè)AFDN=(,att,duc,nec)和一個(gè)合法的賦值fA。

(1)fA(a)=1當(dāng)且僅當(dāng)?b∈滿足(b,a)∈str,fA(b)=0;

(2)fA(a)=0當(dāng)且僅當(dāng)?b∈使得(b,a)∈str且fA(b)=1;

(3)fA(a)=0.5當(dāng)且僅當(dāng)?b∈滿足(b,a)∈str,fA(b)≠0; 且對(duì)于每個(gè)∈滿足(b,a)∈str,fA(b)≠1。

證明：根據(jù)命題3和命題4,定理1.1得證;根據(jù)命題5和命題6,定理1.2得證;根據(jù)定理1.1和1.2,定理1.3得證。

4.2 合法賦值與強(qiáng)攻擊之間的關(guān)系

根據(jù)論證的賦值與強(qiáng)攻擊關(guān)系的對(duì)應(yīng),基于外延的語(yǔ)義和基于標(biāo)記的語(yǔ)義也可以對(duì)應(yīng)起來(lái)。

命題7給定一個(gè)AFDN和它的一個(gè)fA。如果fA合法,則1(fA)是一個(gè)完全外延。

證明：(1)無(wú)沖突: 假設(shè)命題不成立,即存在a,b∈1(fA)使得(a,b)∈str。根據(jù)1(fA)的定義,fA(a)=1且fA(b)=1,這和命題3相矛盾。

(2)可相容: 假設(shè)b∈1(fA)且a∈1(fA)滿足(b,a)∈str。因?yàn)閒A(a)=1且(b,a)∈str,根據(jù)命題3,fA(b)=0。因此?c∈1(fA)使得(c,b)∈str且fA(c)=1。因此c∈1(fA)滿足(c,b)∈str,且1(fA) 可相容。

(3)所有對(duì)于1(fA)可接受的論證都屬于1(fA): 假設(shè)命題不成立,即存在c∈1(fA)且c對(duì)于1(fA)來(lái)說(shuō)是可接受的。對(duì)于每個(gè)b∈A,如果(b,c)∈str,則存在a∈1(fA)使得(a,b)∈str。因?yàn)閏?1(fA),fA(c)≠1,根據(jù)定理1,存在b∈A使得(b,c)∈str且fA(b)≠0。因?yàn)?b,c)∈str,根據(jù)假設(shè)存在a∈1(fA)使得(a,b)∈str。所以fA(a)=1且(a,b)∈str,這與fA(b)≠0相矛盾,所以c不存在。

反過(guò)來(lái),可以通過(guò)完全外延得到合法的賦值函數(shù)。

命題8給定一個(gè)AFDN=(,att,duc,nec)和它的一個(gè)完全外延。定義一個(gè)賦值函數(shù)fA:→{0,0.5,1}如下: 對(duì)每個(gè)a∈,

則fA是這個(gè)AFDN的一個(gè)合法的賦值函數(shù)(+表示受到攻擊的論證集合)。

證明：給定任意的a∈,根據(jù)定義我們考慮如下兩種情況:

(2) ?b∈,滿足(b,a)∈str。

(2.1) ?b∈使得fA(b)=1。b∈,因此a∈+且fA(a)=0。根據(jù)命題6,fA(a)是合法的賦值。

(2.2) ?b∈使得fA(b)=0。因此b∈+,a∈且fA(a)=1。需要注意?c∈使得(c,b)∈str且fA(c)=1。根據(jù)命題4和命題5,fA(a)是合法的賦值。

(2.3) ?b∈,fA(b)≤0.5;且?b∈,fA(b)=0.5,b?。需要注意a?+;否則b∈。同時(shí)a?: 假設(shè)命題不成立,a∈。是可相容的,因此?b∈,使得(b,a)∈str,b∈。這和?b?+矛盾。因此fA(a)=0.5。根據(jù)定理1,fA(a)是合法的賦值。

其他外延與賦值函數(shù)之間的關(guān)系,如表1所示。

表1 合法賦值函數(shù)與基于外延的語(yǔ)義的關(guān)系

5 總結(jié)與展望

本文致力于用演繹支持關(guān)系和必要支持關(guān)系對(duì)抽象論辯框架進(jìn)行擴(kuò)展,給出其基于外延的語(yǔ)義和基于標(biāo)記的語(yǔ)義,并證明兩者之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。

與現(xiàn)有的框架相比,本文提出的框架有以下優(yōu)點(diǎn):

(1) 在定義由攻擊和支持組合成的復(fù)雜攻擊時(shí),本文采用基于強(qiáng)度的方法。與BAF和EAS中的基于特定結(jié)構(gòu)來(lái)定義攻擊關(guān)系的方法相比,本文提出的方法更具一般性,且在此基礎(chǔ)上得到的基于外延的語(yǔ)義更簡(jiǎn)潔。

(2) BAF,ASPIC+框架中的支持關(guān)系類型單一,本文提出的框架能夠刻畫更復(fù)雜的實(shí)例。

(3) BAF在計(jì)算論證可接受性之前需要計(jì)算存在的復(fù)雜攻擊。本并采用的基于一種等式的方法為論證賦值,避免了復(fù)雜攻擊的計(jì)算,讓框架求解更簡(jiǎn)單。

(4) 本文為提出的框架給出了兩種語(yǔ)義,并給出了對(duì)應(yīng)關(guān)系的證明。因此和ADF框架及BAF框架相比,本文提出的框架同時(shí)具有可解釋和易于計(jì)算的特性。

雖然相比于已有框架,本文提出的AFDN能夠更方便直接地刻畫存在多種支持關(guān)系的實(shí)例,但現(xiàn)實(shí)中的論證往往帶有概率或強(qiáng)度。未來(lái)工作包括用概率或強(qiáng)度擴(kuò)展AFDN的表達(dá)能力等。