朱佳慶，姚 宇，張國(guó)東

（中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074）

近20 年來(lái)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逐漸成為熱門(mén)話(huà)題，被學(xué)者們廣泛研究，并運(yùn)用于諸多不同的領(lǐng)域，例如：圖像處理、模式識(shí)別、自動(dòng)控制和聯(lián)想記憶[1-4]等。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用依賴(lài)于它們的動(dòng)力學(xué)行為，其中，“同步”作為一類(lèi)十分重要的動(dòng)力學(xué)行為，已被學(xué)者們深入研究。根據(jù)不同的同步時(shí)間，同步可以被分為無(wú)窮時(shí)間同步和有限時(shí)間同步。實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)總是被期望在一個(gè)有限的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)同步。因此，有限時(shí)間同步憑借良好的性能成為了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的重要研究課題[5-6]。

分?jǐn)?shù)階微分不僅有整數(shù)階的性質(zhì)，還具有優(yōu)秀的建模能力和廣泛的適用性，可應(yīng)用于工程控制、生物數(shù)學(xué)和信號(hào)加工等[7-9]。分?jǐn)?shù)階微分可以更精確地描述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為。目前人們研究得到很多分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)秀成果，例如：分?jǐn)?shù)階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定[10]、分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局同步[11]和帶憶阻的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步[12]等。

1971 年Chua[13]首次提出憶阻，2008 年，惠普實(shí)驗(yàn)室研究出實(shí)際的憶阻器[14]。近年來(lái)，憶阻研究成為熱門(mén)話(huà)題，其杰出的非線(xiàn)性特性令它成為模仿人腦突觸的最好選擇。因此，學(xué)者將憶阻融入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，得到了一類(lèi)依賴(lài)狀態(tài)切換的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[15]。

由于缺少相關(guān)理論支持，復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題很少被人們研究。其實(shí)，復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算能力和性能均優(yōu)于實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在對(duì)稱(chēng)性檢測(cè)[16]和二進(jìn)制運(yùn)算問(wèn)題[17]等方面實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的表現(xiàn)均不如復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。近年來(lái)，通過(guò)將復(fù)值系統(tǒng)分離為實(shí)部和虛部系統(tǒng)，復(fù)值系統(tǒng)的漸近同步[18]、指數(shù)同步[19]和有限時(shí)間同步[20]被深入研究。盡管分離法是可行的，但將復(fù)值系統(tǒng)分成兩個(gè)實(shí)值系統(tǒng)會(huì)大幅增加理論分析復(fù)雜性。由于模型的復(fù)雜度較高，分離法也很難被實(shí)際應(yīng)用。Feng 等[21]和Zheng等[22]通過(guò)引入一種復(fù)值符號(hào)函數(shù)解決了這個(gè)問(wèn)題，即采用非分離的方法就可以研究復(fù)值系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

被上述分析所激勵(lì)，本文的目標(biāo)是通過(guò)非分離的方法研究一類(lèi)狀態(tài)依賴(lài)切換的分?jǐn)?shù)階復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步。本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下：

1）研究的系統(tǒng)帶有分?jǐn)?shù)階、復(fù)值、狀態(tài)依賴(lài)切換項(xiàng)，涵蓋僅研究整數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[5-6]、分?jǐn)?shù)階實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[8，10-11，15，23]、非依狀態(tài)切換的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[21-22]，所得結(jié)果更具一般性；

2）不同于以往研究[18-20]，本文采用非分離的方法直接研究此類(lèi)復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步，所得結(jié)果更符合復(fù)值系統(tǒng)的實(shí)際意義。

3）構(gòu)建了復(fù)值雜合控制器，完全消除了文獻(xiàn)[8]中的條件限制fl（±Tl）＝0，l=1，2，…，n。

1 預(yù)備工作

本節(jié)將引入一些有限時(shí)間同步和分?jǐn)?shù)階微積分的一些基礎(chǔ)知識(shí)。另外，本節(jié)還闡述了一些文章需要的引理和定義。

定義1f（t）的分?jǐn)?shù)階積分定義為

可以由引理1 證明而來(lái)，證明過(guò)程略。

引理3[22]對(duì)任意g（t）∈C，以下式子成立：

2 模型描述

本節(jié)給出一類(lèi)分?jǐn)?shù)階復(fù)值憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

其中：0 <α <1；l=1，2，…，n；ξl（t）∈C 代表第l 個(gè)神經(jīng)元在時(shí)間t 的狀態(tài)；al（ξl（t））代表神經(jīng)元的自抑制率；blj（ξl（t））表示神經(jīng)元連接憶阻權(quán)值。fj：C→C 代表第j 個(gè)神經(jīng)元在時(shí)間t 的激活函數(shù)；Il∈C 表示外部輸入。al（ξl（t））和blj（ξl（t））滿(mǎn)足

為了研究系統(tǒng)的同步行為，相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)定義為

其中：zl（t）=ηl（t）-ξl（t）；dl∈C 是線(xiàn)性反饋增益，ω >0，并且滿(mǎn)足Re（dl）>0；λ 是冪律反饋增益并且滿(mǎn)足λ >0。ρl（t）設(shè)計(jì)如下：

從而，我們可以得到誤差系統(tǒng)為

在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上，上述誤差系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為

3 主要結(jié)果

本節(jié)設(shè)計(jì)一些控制方法實(shí)現(xiàn)依狀態(tài)切換的分?jǐn)?shù)階復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步。

定理1基于假設(shè)1 和雜合復(fù)值控制器（3），在φl(shuí)≥0 和0 <β <α 條件下，依狀態(tài)切換的分?jǐn)?shù)階復(fù)值憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間同步。其停滯時(shí)間為

證明：構(gòu)造一個(gè)Lyapunov 函數(shù)

基于引理2，有

由假設(shè)1、引理5 和引理6，可以得到

基于引理3 和引理4，可得到

將式（8）和式（9）帶入式（7）中，可以得到

因?yàn)棣誰(shuí)≥0，可以得到對(duì)于t≥0，有

因?yàn)? <β <α，根據(jù)式（11）和引理7，對(duì)于t≥T，V1（t）=0，其中

因此驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步，定理1 得證。

下面，本文基于復(fù)值的1-范數(shù)給出定理2。

定理2設(shè)計(jì)一個(gè)新的雜合控制器（12）如下：

參數(shù)條件與控制器（3）一樣。

若滿(mǎn)足γl≥0 和0 <ω <α，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)可以達(dá)到同步，則停滯時(shí)間為

4 數(shù)值仿真

本節(jié)給出一個(gè)具體例子來(lái)驗(yàn)證理論結(jié)果的有效性。

例1 考慮一個(gè)二維的分?jǐn)?shù)階復(fù)值憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

另外，fj（ξj（t））（j=1，2）滿(mǎn)足假設(shè)1，其Lipschitz 常數(shù)F21=F22=1，該驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的圖分為實(shí)部和虛部，初值分別為ξ1（0）=0.6-1.5i，ξ2（0）=-0.9+1.25i。

相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

其中：系統(tǒng)（14）的初值為η1（0）=-1.25+0.45i；η2（0）=1.05 -0.7i，無(wú)控制器時(shí)的誤差系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間響應(yīng)如圖1 所示。

圖1 無(wú)控制器時(shí)的誤差系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間響應(yīng)圖Fig.1 Time behaviors of state variables for error systems without controller

取ω=0.1，θ=6，d1=1+i，d2=0.96+0.75i，λ=1，計(jì)算可得β=0.85，則0 <β <α，φ1=1.5，φ2=1.38，加控制器后的誤差系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間響應(yīng)如圖2 所示。由定理1 可以得到驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（13）和響應(yīng)系統(tǒng)（14）在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步，停息時(shí)間T=5.456 s，驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)的第一個(gè)狀態(tài)和第二個(gè)狀態(tài)達(dá)到同步時(shí)的響應(yīng)圖分別如圖3 和4 所示。

圖2 有控制器（3）時(shí)的誤差系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間響應(yīng)圖Fig.2 Time behaviors of the state variables for error systems with control（3）

圖3 有控制器（3）時(shí)的驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)第一個(gè)狀態(tài)同步Fig.3 The first state variable of the drive-response systems get synchronization with control（3）

圖4 有控制器（3）時(shí)的驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)第二個(gè)狀態(tài)同步Fig.4 The second state variable of the drive-response systems get synchronization with control（3）

5 結(jié)論

本文研究了一類(lèi)依狀態(tài)切換的分?jǐn)?shù)階復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)構(gòu)建復(fù)值雜合控制器和非分離的方法，得到了此類(lèi)復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步準(zhǔn)則和停制時(shí)間的估值。本文所得結(jié)果豐富和發(fā)展了現(xiàn)有的分?jǐn)?shù)階復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步控制結(jié)果。最后，本文通過(guò)數(shù)值仿真模擬，驗(yàn)證了所得理論結(jié)果的有效性。

在今后的研究工作中，我們將繼續(xù)考慮帶時(shí)滯的此類(lèi)系統(tǒng)，并通過(guò)設(shè)計(jì)相關(guān)的雜合控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)其固定時(shí)間和預(yù)設(shè)時(shí)間同步控制。