朱潤(rùn)玉，劉 磊

（河海大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 213022）

隨著信息科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，多智能體系統(tǒng)已經(jīng)獲得了廣泛的關(guān)注，其被用于各種領(lǐng)域，包括群集[1]、編隊(duì)[2]和優(yōu)化[3]。多智能體系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究被眾多科研工作者所青睞[4-8]。

大多數(shù)多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定性研究關(guān)注的是漸近穩(wěn)定性。注意到漸近穩(wěn)定性是在無(wú)窮時(shí)間區(qū)間上的穩(wěn)定性，但在很多實(shí)際系統(tǒng)中，有限時(shí)間穩(wěn)定性比漸近穩(wěn)定性更實(shí)用。文獻(xiàn)[9]首次提出了有限時(shí)間穩(wěn)定性，隨后，文獻(xiàn)[10]擴(kuò)展到了有限時(shí)間有界性。對(duì)于帶有外部擾動(dòng)的系統(tǒng)，當(dāng)初始狀態(tài)被限制在一個(gè)有界范圍內(nèi)，系統(tǒng)狀態(tài)在固定時(shí)間區(qū)間上不超過(guò)某個(gè)閾值，則稱該系統(tǒng)是有限時(shí)間有界的。在過(guò)去的十年里，有限時(shí)間有界性被應(yīng)用于各類系統(tǒng)，包括網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)[11]、時(shí)滯系統(tǒng)[12]和多智能體系統(tǒng)[6]。

在實(shí)際系統(tǒng)中，由于一些限制，例如網(wǎng)絡(luò)攻擊和傳感器故障，智能體之間也許會(huì)通信失敗。相應(yīng)地，學(xué)者們提出了間歇控制。間歇控制將時(shí)間分割為工作和休息周期，其中休息周期用于故障恢復(fù)。間歇控制避免了控制器的連續(xù)運(yùn)行，延長(zhǎng)了控制器的使用壽命。最近，曹進(jìn)德院士及其合作者深入地研究了間歇控制[4，7，13-14]。注意到智能體的數(shù)量也許是龐大的，在這種情況下，控制每個(gè)智能體是很困難的，自然地，學(xué)者們使用了牽制控制[15-20]，使得僅對(duì)一部分智能體施加控制。

隨著數(shù)字控制技術(shù)的快速發(fā)展，事件觸發(fā)控制被廣泛應(yīng)用于各類系統(tǒng)，包括復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[16-17]和多智能體系統(tǒng)[5，21-22]。在事件觸發(fā)機(jī)制中，預(yù)先給定的觸發(fā)條件決定了控制器的更新時(shí)刻，這就減少了控制器的更新次數(shù)。

在過(guò)去的幾十年里，學(xué)者們將事件觸發(fā)控制與其他控制策略整合到一起，形成了一些新穎的混雜控制策略。部分學(xué)者研究了基于間歇控制、事件觸發(fā)控制和牽制控制的混雜控制[16-18]，其中，文獻(xiàn)[16]中的牽制集合避免了快速切換，文獻(xiàn)[17－18]研究了間歇事件觸發(fā)控制。然而，這3 條文獻(xiàn)僅考慮了無(wú)窮時(shí)間穩(wěn)定性或者漸近穩(wěn)定性，并且沒(méi)有考慮系統(tǒng)受到外部擾動(dòng)的情況。

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文將利用間歇事件觸發(fā)牽制控制，研究多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間有界性。本文將主要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：1）設(shè)計(jì)合適的間歇事件觸發(fā)牽制控制機(jī)制；2）建立多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間有界性判據(jù)。

1 預(yù)備知識(shí)和問(wèn)題描述

在本文中，使用了無(wú)向連通通信拓?fù)銰=（V，E）。E={1，2，…，N}表示節(jié)點(diǎn)集合；E ?V × V 表示邊集合。鄰接矩陣為A=（aij）N×N，其中aii=0。如果（j，i）∈E，那么aij=aji=1，否則aij=0。拉普拉斯矩陣為L(zhǎng)=（lij）N×N。如果i≠j，那么lij=-aij，否則lii=∑jaij。

定義1[20]設(shè)條件：1）對(duì)于Dt中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)i，對(duì)i 施加控制；2）對(duì)于任意一個(gè)不在Dt中的節(jié)點(diǎn)j，對(duì)j 未施加控制。若上述兩條件成立，則稱集合Dt為在t 時(shí)刻的牽制節(jié)點(diǎn)集合。

考慮如下的多智能體系統(tǒng)，i=1，…，N，

其中：f：R+× Rn→Rn；xi（t）∈Rn和wi（t）∈Rn分別是節(jié)點(diǎn)i 的狀態(tài)矢量和外部擾動(dòng)。設(shè)計(jì)間歇事件觸發(fā)牽制控制

其中：k1>0 是控制增益；對(duì)任意的i=1，2，…，bi>0；對(duì)任意的k=0，1，…，[kT，kT+ρ）是滿足ρ≤T的工作區(qū)間，[kT+ρ，（k+1）T）是休息區(qū)間。系統(tǒng)（1）可被寫為

假設(shè)1對(duì)任意的xi∈Rn，i=1，2，存在一個(gè)常數(shù)α >0 使得

此外，假設(shè)f（t，0）=0。

2 有限時(shí)間有界性分析

這就表明對(duì)于任意的t∈[kT，kT+ρ），有

對(duì)于任意的t∈[kT，kT+ρ），令Lyapunov 函數(shù)為

對(duì)于t∈[kT+ρ，（k+1）T），令Lyapunov 函數(shù)為

接下來(lái)需證明對(duì)任意的t，

事實(shí)上，當(dāng)t∈[kT，kT+ρ）時(shí)，

利用基本不等式和F 的定義，計(jì)算可得

利用式（14）和（15）可得

注意到

利用事件觸發(fā)條件（4）可得

將式（17）和（18）代入式（16）可得

利用條件（6）可得

對(duì)于任意的t∈[kT+ρ，（k+1）T），利用條件（7）可得

根據(jù)式（20）和（19），式（13）成立。

根據(jù)條件（9）和（10）有V1（kT）≤μ2V2（（kT）-）和V2（（k -1）T+ρ）≤μ1V1（（（k -1）T+ρ）-）。當(dāng)t∈[kT，kT+ρ）時(shí)，

多次迭代后可得

當(dāng)t∈[kT+ρ，（k+1）T）時(shí)，

注意到

證明完畢。

注1考慮如下的事件觸發(fā)機(jī)制：

其中φi∈（0，1]，信號(hào)ζi（t）滿足ζi（t）=ζi（0）exp{-γit}，ζi（0）>0，γi>0。

由于ζi（t）>0，則相比于事件觸發(fā)機(jī)制（4），事件觸發(fā)機(jī)制（26）減少了觸發(fā)次數(shù)。令則有如下定理。

定理2在條件（6）—（11）和

證明：當(dāng)t∈[kT，kT+ρ），令Lyapunov 函數(shù)為

當(dāng)t∈[kT+ρ，（k+1）T）時(shí)，令Lyapunov 函數(shù)為W（t）=W2（t）=V2（t）。

當(dāng)t∈[kT，kT+ρ）時(shí)，類似于定理1，可推導(dǎo)得

其中

由事件觸發(fā)條件（26）可得

將式（30）和（29）代入式（28）再利用式（27）可得

類似于定理1，可證得系統(tǒng)（3）是關(guān)于（c1，c2，，Tf，d）有限時(shí)間有界的。證明完畢。

3 數(shù)值仿真

下面通過(guò)一個(gè)數(shù)值例子說(shuō)明本文方法的有效性?？紤]一個(gè)帶有6 個(gè)節(jié)點(diǎn)的多智能體系統(tǒng)，其通信拓?fù)錆M足

其余連接權(quán)重都為0。對(duì)任意的i，假設(shè)bi=1，f（xi（t），t）=0.2xi（t）-0.1sin（xi（t）），擾動(dòng)滿足wi（t）=0.2cos（xi（t）），初始條件滿足（x1（0），x2（0），…，x6（0））T=（-2，4，6，-1，1，2）T，Tf=5，T=1。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得α=0.3，d=0.2，c1=62。令R=P1=P2=I。的軌跡和狀態(tài)變化分別如圖1 和圖2所示。顯然，狀態(tài)軌跡是發(fā)散的。為了使條件（6）—（10）成立，選擇參數(shù)c2=75。經(jīng)過(guò)計(jì)算可得k1≥3.069 8，選擇k1=4。牽制節(jié)點(diǎn)的變化為{3，2，1}→{3，2，6}→{3，2，1}→…。圖3 展示了受控系統(tǒng)在觸發(fā)機(jī)制（4）下的狀態(tài)變化。選擇固定節(jié)點(diǎn)集合{1，2，3}和控制增益k1=4，圖4展示了受控系統(tǒng)的狀態(tài)變化。對(duì)i=1，…，6，選取γi=3，ζi（0）=1，φi=2，圖5 展示了受控系統(tǒng)在觸發(fā)機(jī)制（26）下的狀態(tài)變化。

圖1 未受控系統(tǒng)的xTx 軌跡Fig.1 The trajectory of xTx for uncontrolled system

圖2 未受控系統(tǒng)的狀態(tài)變化Fig.2 The state of uncontrolled system

圖3 事件觸發(fā)機(jī)制（4）下受控系統(tǒng)的狀態(tài)變化Fig.3 The state of controlled system under event-triggered mechanism（4）

圖4 帶有固定牽制節(jié)點(diǎn)集的受控系統(tǒng)的狀態(tài)變化Fig.4 The state of controlled system with fixed pinning nodes net

圖5 事件觸發(fā)機(jī)制（26）下受控系統(tǒng)的狀態(tài)變化Fig.5 The state of controlled system under event-triggered mechanism（26）

比較圖3 和圖4，表明了間歇事件觸發(fā)牽制控制策略比單一的間歇牽制控制策略更有效。比較圖3 和圖5，表明了事件觸發(fā)牽制機(jī)制（4）和（26）都可以達(dá)到一致性效果。然而，事件觸發(fā)機(jī)制（4）下的觸發(fā)次數(shù)為401，事件觸發(fā)機(jī)制（26）下的觸發(fā)次數(shù)為201，這就說(shuō)明事件觸發(fā)機(jī)制（26）有效減少了觸發(fā)次數(shù)。

4 結(jié)論

本文通過(guò)間歇事件觸發(fā)牽制控制，解決了受擾動(dòng)的多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間有界性問(wèn)題。首先，設(shè)計(jì)了兩個(gè)間歇事件觸發(fā)牽制控制機(jī)制；隨后，建立了有限時(shí)間有界性判據(jù)；最后，通過(guò)一個(gè)數(shù)值例子驗(yàn)證了所提方法的有效性。