鄭鈺

【摘? 要】? 換元法又叫輔助元素法或者變量代換法，它在解方程中有著廣泛的應(yīng)用.利用換元法解方程，應(yīng)遵循整體性原則、簡(jiǎn)潔性原則、等價(jià)性原則和統(tǒng)一性原則，以簡(jiǎn)化問題，達(dá)到快速解題的目的.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；換元法；解方程

數(shù)學(xué)解題時(shí)，我們常常把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去替換它，從而簡(jiǎn)化問題，達(dá)到快速解題的目的，這種方法叫換元法.換元法又叫輔助元素法或者變量代換法，它在解方程中有著廣泛的應(yīng)用，它可以化高次方程為低次方程、化分式方程為整式方程、化無理方程為有理方程、化超越方程為一般方程.那么，利用換元法解方程，我們應(yīng)該遵循哪些基本原則呢？筆者以為，應(yīng)遵循整體性原則、簡(jiǎn)潔性原則、等價(jià)性原則和統(tǒng)一性原則，下文舉例說明.

1? 整體性原則

利用換元法解方程時(shí)，通常把方程中多處出現(xiàn)的相同式子當(dāng)作一個(gè)整體，設(shè)為一個(gè)新的未知數(shù)，讓問題中隱蔽的條件顯現(xiàn)出來，從而使復(fù)雜的關(guān)系變得簡(jiǎn)單.這就是整體性原則，也是換元法的本質(zhì)所在.

例1? 解下列方程：①；②.

解析? ①由原方程得，.

令，則原方程即為，

解得.

當(dāng)時(shí)，

；

當(dāng)時(shí)，，

.

故原方程的根式：，.

②原方程即為.

令，

則，

故原方程變?yōu)?

解之得，

當(dāng)時(shí)，，無解.

當(dāng)時(shí)，，兩邊平方并整理得，

解得.

經(jīng)檢驗(yàn)，都滿足原方程，所以原方程的根是.

點(diǎn)評(píng)? 本例兩個(gè)方程需適當(dāng)變形，才能找到換元的部分.方程①經(jīng)過換元，把高次方程化為二次方程；方程②換元后，把無理方程化為整式方程.

2? 簡(jiǎn)潔性原則

換元的目的，是為了解題的簡(jiǎn)潔.換元法解方程中的簡(jiǎn)潔性原則主要指選擇簡(jiǎn)潔代換，換元后方程顯得較為簡(jiǎn)潔，從而容易求解.這也是數(shù)學(xué)中簡(jiǎn)潔美的體現(xiàn).

例2? 解方程：（4x2－9）2＋（4x2－9）（9x2－4）＋（9x2－4）2＝（13x2－13）2．

解析? 注意到 （4x2－9）＋（9x2－4）＝13x2－13，

設(shè)m＝4x2－9，n＝9x2－4．

則原方程可化為m2＋mn＋n2＝（m＋n）2，即mn＝0，

則有（4x2－9）（9x2－4）＝0，

解得x＝±，±．

點(diǎn)評(píng)? 用換元法解方程，有時(shí)引入的新變量可以不止一個(gè)，如本題中引入了m，n．引進(jìn)新變量的目的是將原方程簡(jiǎn)化，而當(dāng)引進(jìn)兩個(gè)元時(shí)，還需揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.

3? 統(tǒng)一性原則

對(duì)于有些方程，往往不可直接換元，應(yīng)對(duì)其變形，通過變形，才能找到可以換元的部分，有時(shí)它們雖然不盡相同，但可以用新元加以“統(tǒng)一”，從而使原方程得以簡(jiǎn)化.

例3? 解方程：.

解析? 直接因式分解比較困難，容易發(fā)現(xiàn)該方程是倒數(shù)方程（與首尾等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等）．又因?yàn)閤＝0不是方程的根，所以兩邊同時(shí)除以x2，得2（x2+）+3（x+）－16=0.

解? 設(shè)x+=y，則x2+=y2－2.

原方程化為2y2+3y－20=0，

解得y=－4；或y=.

由y=－4得x=－2+；或x=－2－.

由y=2.5得x=2；或x=.

所以原方程的解為－2+，－2－，2，.

點(diǎn)評(píng)? 本題看似無法用換元法來解，經(jīng)過變形并配方后，用x+=y換元，使原方程的未知數(shù)統(tǒng)一成新元y的形式，從而使原問題順利獲解.

4? 等價(jià)性原則

換元法固然可以使方程變得簡(jiǎn)潔，但必須在等價(jià)變形的基礎(chǔ)上，不可因?yàn)閾Q元使原方程產(chǎn)生增根，或者失根.忽視等價(jià)性是換元法解題中易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，應(yīng)特別引起注意.

例4? 解方程.

解析? 若令，則，

則原方程可變?yōu)椋?/p>

即，

解得.

由，解得，

由，得.

點(diǎn)評(píng)? 上述解法正確嗎？不對(duì)！因?yàn)樗鲆暳诵略娜≈捣秶?，從而把原方程的解的范圍擴(kuò)大了，違反了等價(jià)性原則.其實(shí)需注意，就可得到解得才是解.

5? 結(jié)語

俗話說，沒有規(guī)矩不成方圓.由上看出，利用換元法解方程應(yīng)遵循以上四個(gè)原則，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化問題，達(dá)到快速解題的目的.

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