王海珠

(民樂縣初級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué),甘肅 張掖 734500)

猜想歸納法是在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的方法,它可以幫助學(xué)生從單個(gè)例子中得出普遍規(guī)律[1].通過猜想歸納法,學(xué)生可以從具體的實(shí)例中獲取信息,并推斷出潛在的數(shù)學(xué)規(guī)律,這樣,他們就能夠逐步地建立數(shù)學(xué)概念和知識(shí).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,掌握猜想歸納法是非常重要的,因?yàn)樗梢耘囵B(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和分析能力,幫助他們更好地理解數(shù)學(xué)概念,提高解決問題的能力.本文旨在介紹如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效地應(yīng)用猜想歸納法,以便幫助學(xué)生掌握這一重要的數(shù)學(xué)思維工具.

1 數(shù)式規(guī)律中的猜想與歸納

數(shù)式規(guī)律的猜想歸納方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要思維方式.一般來講,數(shù)式規(guī)律的猜想和歸納分為3個(gè)步驟:觀察給定數(shù)字或運(yùn)算式子的特點(diǎn)與規(guī)律;做出猜想,并通過若干個(gè)例子進(jìn)行驗(yàn)證;通過對(duì)現(xiàn)象的歸納總結(jié),描述規(guī)律的特征或者寫出表達(dá)式.

通過觀察和猜想,學(xué)生可以主動(dòng)探索數(shù)學(xué)規(guī)律,培養(yǎng)他們的邏輯思維和問題解決能力.通過多個(gè)例子進(jìn)行驗(yàn)證,并通過歸納總結(jié),學(xué)生可以形成準(zhǔn)確的規(guī)律描述,提高他們對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和運(yùn)用能力.這種積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)方式,有助于學(xué)生自信地面對(duì)數(shù)學(xué)問題,并培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)興趣.

例1 觀察下面各式:

(x-1)(x+1)=x2-1;

(x-1)(x2+x+1)=x3-1;

(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;

(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=x5-1,…;

據(jù)此規(guī)律, 求 22 023+22 022+22021+…22+2+1 的個(gè)位數(shù)字是 ( ).

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

解析首先,觀察題目中的規(guī)律可知: (2-1)(22 023+22 022+22 021+…22+2+1)=22 024-1,接著,進(jìn)行猜想,2n是由n個(gè)2相乘得到,因此,其個(gè)位數(shù)字可能有一定的規(guī)律,然后進(jìn)行舉例驗(yàn)證,得到:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,…,因此驗(yàn)證得到其個(gè)位數(shù)字按照每4個(gè)進(jìn)行1次循環(huán).因?yàn)? 024÷4=506,所以22 024的個(gè)位數(shù)字是6,22 024-1的個(gè)位數(shù)字是5.

點(diǎn)評(píng)本題中,根據(jù)題目的設(shè)問,進(jìn)行大膽猜想是解題的關(guān)鍵.按照3個(gè)步驟嚴(yán)格執(zhí)行,可以大大提升解題正確率.由于22 024是一個(gè)極大的數(shù)字,因此一定有規(guī)律可循,所以在第2步的猜想中,常規(guī)步驟為先猜想后驗(yàn)證,但若無思路,可先舉例再總結(jié),也不失為一種巧妙的方式.可見在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,不能“眼高手低”,多動(dòng)筆多嘗試才是正確的解題方式.

2 圖形變換中的猜想與歸納

圖形變換規(guī)律可以幫助學(xué)生培養(yǎng)觀察、思考和解決問題的能力.在圖形規(guī)律的學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生需要通過觀察給定的圖形,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和特點(diǎn);嘗試自己添加輔助線,通過不斷嘗試探索出規(guī)律;最終,學(xué)生需要用數(shù)學(xué)符號(hào)和語言來準(zhǔn)確地闡述圖形規(guī)律,并通過實(shí)例來驗(yàn)證.

圖形變換規(guī)律的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和問題解決能力.通過觀察和猜想,學(xué)生可以自主探索圖形規(guī)律,并提出自己的策略和想法,進(jìn)一步提高他們的抽象思維能力.此外,圖形規(guī)律的學(xué)習(xí)也有利于學(xué)生了解和掌握各種數(shù)學(xué)概念和方法,為他們?nèi)蘸蟮膶W(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

例2 如圖1所示,矩形ABCD的面積為20 cm2,對(duì)角線交于點(diǎn)O,以AB、AO為鄰邊作平行四邊形AOC1B,對(duì)角線交于點(diǎn)O1,以AB,AO1為鄰邊作平行四邊形AO1C2B……依此類推,則平行四邊形AO2 022C2 023B的面積為( ).

圖1 圖形變換規(guī)律

解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,所以AO=CO,BO=DO,DC∥AB,DC=AB,所以:

…………

點(diǎn)評(píng)本題的解題關(guān)鍵在于找到圖形每次“變換”后的規(guī)律.這道題的規(guī)律和特點(diǎn)較為明顯,即每次得到的平行四邊形,都是從上一個(gè)平行四邊形的“中心”引平行線,因此,在底邊長(zhǎng)度不變的情況下,每次得到的平行四邊形面積都為上一個(gè)平行四邊形面積的一半.如直接觀察不易察覺,則可自行添加一個(gè)平行四邊形的輔助線進(jìn)行規(guī)律的“體驗(yàn)”.

3 周長(zhǎng)面積中的猜想與歸納

在學(xué)習(xí)周長(zhǎng)面積規(guī)律時(shí),學(xué)生需要關(guān)注圖形的數(shù)量、形狀和組合方式等特征,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)并做出周長(zhǎng)或面積相關(guān)規(guī)律的猜想.最終,通過歸納和總結(jié),學(xué)生能夠得到周長(zhǎng)或面積之間的關(guān)系,并編寫公式以便計(jì)算.周長(zhǎng)面積規(guī)律的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生理解圖形的屬性,通過觀察和實(shí)踐,學(xué)生能夠深入理解圖形周長(zhǎng)或面積的規(guī)律,同時(shí)也能夠應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行問題解決和計(jì)算.

例3 如圖2所示,在△ABC中,點(diǎn)E是AB邊上的點(diǎn),且AE:EB=2:3,點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn),且BD:DC=1:2,AD與CE相交于點(diǎn)F,若四邊形BDFE的面積是16,則△ABC的面積為( ).

圖2 三角形內(nèi)部分割

圖3 添加輔助線

解析連接FB, 如圖3所示:

點(diǎn)評(píng)本題以面積的規(guī)律為例,通過三角形“等高”時(shí),面積比等于底邊長(zhǎng)度比,得到面積的一般規(guī)律,進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)式進(jìn)行求解.該類猜想歸納與前述找規(guī)律類的猜想歸納有些差異,該類猜想歸納是圍繞“特定條件或者性質(zhì)”進(jìn)行的推理,并將推理所得的表達(dá)式進(jìn)行求和或者變形.其中,推理是猜想,求和或變形是歸納,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,該類猜想歸納的技巧需要掌握.

4 點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律中的猜想與歸納

在學(xué)習(xí)點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律時(shí),學(xué)生需要觀察圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律,特別是注意橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,進(jìn)而做出猜想并通過實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證.比如,移動(dòng)圖形、增加點(diǎn)數(shù)量、改變圖形形狀等.最終,通過歸納和總結(jié),學(xué)生能夠得到點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律,并編寫公式以便進(jìn)行計(jì)算.點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的觀察力.通過觀察和實(shí)踐,學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)和理解點(diǎn)在平面上的位置變化規(guī)律,并通過歸納總結(jié)建立起數(shù)學(xué)模型.掌握點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律,不僅對(duì)于幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有重要作用[2],還可以應(yīng)用于實(shí)際問題的解決,如地理測(cè)量、航空航天等領(lǐng)域.

例4 如圖4所示,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是平行四邊形,A(-1,3)、B(1,1)、C(5,1).規(guī)定“把平行四邊形ABCD先沿x軸翻折,再向左平移1個(gè)單位”為一次變換.如此這樣,連續(xù)經(jīng)過2 023次變換后,平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D2 023的坐標(biāo)變?yōu)? ).

A.(-2 019,-3) B.(-2 019,3)

C.(-2 020,3) D.(-2 020,-3).

解析由于四邊形ABCD是平行四邊形,A(-1,3)、B(1,1)、C(5,1),所以D(3,3),把平行四邊形ABCD先沿x軸翻折,再向左平移1個(gè)單位后,得到D1(2,-3),觀察,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:D0(3,3),D1(2,-3),D2(1,3),D3(0,-3),D4(-1,3),所以對(duì)于橫坐標(biāo),每次變換減1,對(duì)于縱坐標(biāo),奇數(shù)次變換為-3,偶數(shù)次變換為3,經(jīng)過2 023次變換后,D2 023(-2 020,-3).

圖4 平行四邊形

點(diǎn)評(píng)本題考查翻折變換、點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律性.先利用平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo),再將前幾次變換后Di(i=1,2,3,…)點(diǎn)的坐標(biāo)求出來,觀察規(guī)律即可求解.解題的關(guān)鍵是先求出D的坐標(biāo),再利用變換的規(guī)律求解,在求解的過程中,列舉實(shí)例依然是最佳的找規(guī)律的手段,由此可見,數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程并不是僅靠天賦,更多還是要依靠勤于動(dòng)筆.