陳世元， 陳 棟

（1.華南理工大學 電力學院，廣東 廣州 510640；2.好未來教育集團廣州分校，廣東 廣州 510623）

感應電動機時常出現(xiàn)三相繞組不對稱的情況，如：大型電動機在運行中個別線圈出現(xiàn)短路故障，摘除故障線圈繼續(xù)運行，造成三相繞組不對稱［1-2］；中小型雙速電動機在變極后，繞組有時也會出現(xiàn)三相繞組不對稱情況［3］；為了通用定子沖片，減小齒槽轉矩，采用分母為3 的分數(shù)槽繞組而出現(xiàn)三相繞組不對稱情況［4-7］；永磁直線感應電動機的邊端效應引起定子三相繞組自感和互感系數(shù)的不對稱［8-9］。

針對三相不對稱繞組，許多學者進行了研究。李明陽等［6］、湯蘊璆等［10］、尹家驥等［11］、喬桂紅等［12］進行了三相不對稱繞組的諧波分析，發(fā)現(xiàn)其諧波含量要比對稱繞組的多。李建久等［13］、唐守杰等［14］建立了三相不對稱繞組的等效電路，由于計算復雜，因此采用計算機完成計算。吳新振等［15］采用矩陣方法分析三相不對稱繞組，雖然將電壓方程由三階降為二階，但是由于不能解耦，導致計算繁瑣。戈寶軍等［16-17］、陸海玲等［18］分析了電動機不對稱運行時的特性和瞬態(tài)。

對于電動機繞組對稱、電壓不對稱的運行情況，采用對稱分量法可以使電壓方程解耦，計算得到簡化［19-20］。然而，采用對稱分量法分析三相不對稱繞組時［21-23］，電壓方程不能解耦。陳世元［24］對文獻［21］中的電壓方程采用磁動勢分量變換分析，雖然變換后的電壓方程對角線元素明顯占優(yōu)，但是仍然不能解耦。本研究對文獻［21］中的電壓方程進行分析，建立新的電壓方程，并采用文獻［24］中的磁動勢分量變換使電壓方程解耦。

1 對稱繞組的電壓方程

眾所周知，對稱繞組外加不對稱電壓運行時，可采用對稱分量法分析，電壓方程為

還可以寫成［3］

式中：ZS為相繞組本身電阻和等效漏電抗構成的阻抗；ZAA、ZBB、ZCC為相繞組本身電阻和自漏電抗構成的阻抗，ZAB、ZBA、ZAC、ZCA、ZBC、ZCB為相繞組間互漏電抗構成的阻抗。式（5）中，等號右邊第一項為正、負序旋轉磁場引起的感應電動勢，零序電流不產(chǎn)生旋轉磁場，因此不在定子繞組中產(chǎn)生感應電動勢；等號右邊第二項為定子邊漏阻抗壓降。電動機的正、負序旋轉磁動勢分別與正、負序電流成正比，而電動機的正、負序旋轉磁通分別與(Z+-ZS)、(Z+-ZS)成正比。將? 按式（3）轉換成?，相加后得到

對比式（4）和式（6）可得出

雖然ZS和Z0都具有漏阻抗性質，但是又有所不同。ZS為每相的等效參數(shù)，與繞組坐標無關，只與繞組匝數(shù)和相對夾角有關；Z0為實際參數(shù)，除了與繞組匝數(shù)和相對夾角有關外，還與繞組的坐標有關。

2 不對稱繞組的電壓方程

定子繞組的不對稱形式是多種多樣的，但無論哪一種形式，都可以由三相槽矢量表示成一個統(tǒng)一的一般不對稱繞組表達式［24］，如下所示：

式中：TA、TB、TC為向量，其中TA為參考向量，幅值為1；k、h分別為TB、TC的幅值與參考向量TA幅值的比值，也是有效串聯(lián)匝數(shù)的比值；γ、β分別為TB、TC在其對稱位置上的偏移角。k、h、γ、β取不同值時，就表示各種特殊形式的一般不對稱繞組。一般不對稱繞組的三相槽矢量如圖1 所示，坐標原點選擇在A相繞組軸線上。

圖1 三相槽矢量圖Fig.1 Slot vector diagram of three phases

轉子是對稱的，正、反轉磁動勢各自在轉子繞組中感應出一組對稱的電勢，因此三相定子感應電勢加上定子漏阻抗壓降與電源電壓相平衡。參照式（5），一般不對稱繞組的電壓方程可寫成

式中：*表示共軛和為磁動勢分量電流［24］。磁動勢分量電流計算式為

對于一般不對稱繞組，式（7）中的Zs項應為［24］

式（7）的Z0項可根據(jù)文獻［25］中的定義來確定。對一般不對稱繞組，三相繞組的繞組函數(shù)［25］可以表示為

式中：Ns為每相繞組有效匝數(shù)；?為從相繞組軸線算起的空間角度。令?=0，則有

NA、NB、NC可看作為各項繞組相對于坐標原點的有效匝數(shù)。根據(jù)文獻［25］中的定義，自感漏抗的Z0項應與本相的有效匝數(shù)的平方成正比，互感漏抗的Z0項應與相關兩相的有效匝數(shù)乘積成正比，即：

將式（11）和式（15）相加，式（12）和式（16）相加，再利用三角函數(shù)的和差化積公式、歐拉公式，可得

由于繞組電阻相對于漏抗甚小，因此可以認為漏抗近似等于阻抗。將式（10）、式（17）和式（18）代入式（9），得到一般不對稱繞組的電壓方程，如下所示：

當三相繞組對稱時，即k=1，h=1，γ=0，β=0時，式（19）可轉變成式（4）。當三相繞組為鏡像不對稱時，即h=k，β=-γ時式（19）可轉變成下式：

3 磁動勢分量變換后的電壓方程

根據(jù)文獻［24］，磁動勢分量變換式為

當繞組對稱時，即k=1，h=1，γ=0，β=0 時，式（21）、式（22）、式（23）和式（10）變成對稱分量。

對于鏡像不對稱繞組，將H=K*，H*=K代入式（21）、式（22）、式（23）和式（10），可得

逆變換為

將式（21）和式（22）代入式（19），進行磁動勢分量變換，可得

由此可見，對于具有一般不對稱繞組的三相電動機，經(jīng)過磁動勢分量變換后，阻抗矩陣將轉化為對角線矩陣，而其中元素是對稱時的序阻抗，不必重新計算。正序、負序和零序3個電壓方程互相獨立（解耦），各序電壓僅產(chǎn)生該序電流，因此各序可以單獨求解，使求解過程簡化。于是

或

計算出?后，從式（22）即可求出各相的實際電流。

對于鏡像不對稱繞組，將式（24）和式（25）代入式（20），同樣可得式（28），再由式（25）求出各相的實際電流。

4 實驗驗證

為了進行不對稱繞組的電動機實驗，需要對電動機進行重繞。為了節(jié)省經(jīng)費，特選一臺報廢的JO2-41-4 型感應電動機作為被測電動機。重繞后的電動機數(shù)據(jù)如下：額定電壓為380 V，額定功率為3.3 kW，額定電流為6.9 A，額定頻率為50 Hz，額定轉速為1 430 r·min-1，額定轉差率為0.046 5，繞組節(jié)距取1～9。

實驗電路如圖2 所示，主要實驗設備如表1 所示，主要實驗儀表如表2所示。

表1 主要實驗設備Tab.1 Main experiment instruments

表2 主要實驗儀表Tab.2 Main experiment meter

圖2 實驗電路Fig.2 Experiment circuit

圖2 中，電動機D2—D6 構成穩(wěn)頻發(fā)電機組，作為實驗電源。通過變阻器R1、R2 和R3 調(diào)節(jié)直流電動機D5 的轉速來控制同步發(fā)電機D2 的頻率，其頻率為（50.0±0.1） Hz。變阻器R4 用來調(diào)節(jié)同步發(fā)電機D2的勵磁，控制同步發(fā)電機D2的端電壓，三相電壓不平衡度不超過±0.4%。JL、CG、SP 和WY構成轉差檢測系統(tǒng)，用來檢測被測感應電動機D1的轉差率。直流發(fā)電機D7 作為被測感應電動機的負載，通過變阻器R5 調(diào)節(jié)D7 的端電壓，通過變阻器R6 調(diào)節(jié)D7 的功率，即調(diào)節(jié)D1 的負載。電流表A1、A2和A3用來檢測D1的三相電流，電壓表V1、V2和V3用來檢測D1的三相電壓，電壓表V4、V5和V6用來檢測D1的三相線電壓。

將被測感應電動機D1 的繞組繞成三相對稱繞組，在室溫23 ℃時測得的定子三相電阻分別為1.794 、1.780、1.789 Ω。首先進行空載實驗，空載電流的不平衡度不超過±1.5%，三相電壓不平衡度不超過±0.4%，然后進行負載實驗。額定轉差率時測得的各序阻抗為

將B、C兩相拆去一部分線圈，構成不對稱繞組，不對稱參數(shù)為k=0.918 9，h=0.838 9，γ=-1.851 9°，β=-4.059 6°。

實驗時，首先合上開關K2 并觀察電流表A4 和電壓表V10，再調(diào)節(jié)調(diào)壓器TY并觀察電壓表V9，將電壓調(diào)節(jié)到電動機D3 的額定電壓。用滑線變阻器R1 將直流發(fā)電機D4 的端電壓調(diào)節(jié)到額定電壓，再通過變阻器R2 和R3 將直流電動機D5 的轉速調(diào)節(jié)到同步轉速1 500 r·min-1，使週率表HZ 的讀數(shù)為50 Hz。由變阻器R4 調(diào)節(jié)勵磁機D6 提供的勵磁電流，從而將同步發(fā)電機D2 的端電壓調(diào)節(jié)到額定電壓。合上開關K1，由單相調(diào)壓器TY1、TY2 和TY3將電壓調(diào)節(jié)為不對稱電壓。由滑線變阻器R1 將直流發(fā)電機D7 的端電壓調(diào)節(jié)到額定電壓。合上開關K3，通過變阻器R6，將被測感應電動機的負載調(diào)節(jié)到某個實驗點。合上開關K4，接通檢測電源。每個實驗點都要通過調(diào)節(jié)變阻器R1、R2 和R3 使得同步發(fā)電機D2的頻率為50 Hz，端電壓為額定電壓時，讀取各儀表的讀數(shù)并記錄。

不同負載時三相電流計算數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)的對比如表3所示。由表3可見，計算數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)的相對誤差不超過6%，從而驗證了該計算方法的可行性。

表3 各相電流的計算數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)Tab.3 Calculation data and experiment data of each phase current

5 結論

（1） 建立了采用對稱繞組序阻抗表達的三相不對稱繞組電壓方程。

（2） 對于三相不對稱繞組電壓方程，采用磁動勢分量進行坐標變換后方程解耦，阻抗矩陣簡化為對角線陣，方便計算。計算時采用對稱時的序阻抗。

（3） 計算數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)的相對誤差不超過6%，可見提出的計算方法是可行的。

作者貢獻聲明：

陳世元：理論分析和研究。

陳 棟：數(shù)學公式推導。