史潤佳,黃一飛,蔣忠進

(東南大學 毫米波國家重點實驗室, 江蘇 南京 210096)

0 引 言

逆合成孔徑雷達(ISAR)成像能提供目標的高分辨圖像,在軍事領域具有廣泛的應用前景。非合作目標的ISAR圖像是重要情報信息,快速成像甚至實時成像具有非同尋常的意義,因此,ISAR成像快速算法一直是研究熱點[1-3]。ISAR成像中的一個關鍵步驟就是目標強散射點參數估計。用于實現參數估計的算法有很多,而壓縮感知類算法是其中非常重要的一類[4]。

平滑l0范數(SL0)算法是壓縮感知類參數重構算法的一種,由Hosein Mohimani等人于2009年提出[5]。此算法利用單峰函數組合來近似參數集的l0范數,比如高斯函數組合、三角函數組合和雙曲線函數組合等,然后通過逐步優(yōu)化來尋求參數重構的最優(yōu)解。平滑l0范數算法解決了最小l0范數算法面臨的多項式復雜程度非確定性(NP)問題,相比于基追蹤(BP)算法[6]、梯度投影稀疏重構(GPSR)算法[7]和貪婪算法[8],平滑l0范數算法具有更快的運算速度。

為了改進平滑l0范數算法性能,文獻[9]選取雙曲正切函數組合來近似l0范數,并且采用修正牛頓法來代替最速下降法,很好地解決了迭代方向上目標函數值出現“鋸齒”現象的問題,在擬合精度上得到了提升。但修正牛頓法對迭代初始值的選取比較敏感,為解決這一問題,文獻[10]提出先使用最陡下降法計算出一個合適的初始值,再利用修正牛頓法獲得最優(yōu)解。除此之外,文獻[11]提出了一種閾值SL0算法,該算法將每次迭代的效率指標與設定閾值相比較,以剔除某些低效的迭代,從而提高了參數重構效率。文獻[12]選用了雙曲正切函數與高斯函數的組合來代替單一的高斯函數組合,此函數“陡峭性”更強,提高了對離散l0范數的擬合程度。

近年來,平滑l0范數算法在雷達成像領域也得到很多研究和嘗試。Armin Eftekhari等人于2011年提出了用于二維信號的2D-SL0算法[13],此算法可以直接應用于ISAR成像。文獻[14]針對觀測模型二維可分離的特點,提出了一種修正SL0算法,將ISAR回波信號二維解耦,從而對距離向和方位向分開進行重構。文獻[15]將2D-SL0算法用于基于2D信號的 3D ISAR成像中,提高了3D圖像的分辨率。文獻[16]利用拉格朗日數乘法對ISAR回波信號進行了降噪預處理,然后采用2D-SL0算法進行ISAR成像,改善了成像效果。

本文采用平滑l0范數算法進行ISAR成像研究,并提出一種二維閾值平滑l0范數快速算法,此處簡稱2D T-SL0算法。該算法采用一種迭代效率指標來評定內循環(huán)迭代的有效性,并剔除迭代效率指標偏低的內循環(huán)。該快速算法在不影響ISAR成像效果的前提下,能減少大量的無效內循環(huán)迭代次數,以縮短ISAR成像時間。

1 ISAR成像模型

在很短的相干累積時間內,ISAR成像基本原理可等效為圖1所示的二維轉臺模型。由于目標尺寸遠遠小于目標到雷達的距離,所以在對回波數據完成運動補償及相位校正以后,目標上任意一個散射點σ(u,v)到雷達的距離可近似為

圖1 ISAR成像二維轉臺模型

R(t)≈R0+usinθ+vcosθ

(1)

式中:u和v是散射點的坐標;R0是雷達到目標中心的距離;θ是目標轉動的角度。

使用理想點散射中心模型,目標的譜域后向散射場可表示為

(2)

式中:f是入射頻率;σd是散射點散射系數;D是散射點數目。

式(2)中,exp(-j4πfR0/c)為常數項,不影響各個散射中心之間的相位差,可將其省略。將雷達向目標發(fā)射信號的方位角離散為M個角點,第m個角點為θm,m=1,2,…,M。每個角點發(fā)射N個頻率步進的脈沖,第n個頻點為fn,n=1,2,…,N。由此,經推導可得第m個方位角的第n個頻點的散射場

(3)

將二維成像場景離散成P行Q列。為使散射中心不發(fā)生越距離單元徙動,目標與雷達之間的相對轉動角度一般很小,因此可以認為sinθm≈θm,cosθm≈1。由于在ISAR成像中,雷達脈沖帶寬相對于中心頻率很小,則可認為在頻率變化時,波長近似不變。經過推導可得散射場表達式

(4)

將式(4)表示為矩陣形式,可得

Y=AXBT

(5)

式中:Y∈M×N,為回波信號的觀測矩陣;X∈P×Q,為散射系數矩陣;A∈M×P,B∈N×Q,分別為方位向和距離向的感知矩陣,將其展開,則

(6)

(7)

2 壓縮感知參數重構算法

2.1 常規(guī)2D-SL0算法

二維離散場景的網格點數P×Q遠大于散射中心個數D,因此散射中心具有明顯的稀疏性,可以利用壓縮感知的參數重構算法,從觀測信號中重構出各個散射中心的幅度參數,從而構建ISAR圖像。

常規(guī)2D-SL0算法是一種壓縮感知類參數重構算法,該算法用高斯函數組合來近似散射系數矩陣X的l0范數,得到連續(xù)可微的目標函數,避免了非連續(xù)函數最小化的NP難問題。該算法要解決的是一個優(yōu)化問題,其優(yōu)化目標為

(8)

式中:L(X)被用于近似散射系數矩陣X的l0范數,可表示為

L(X)=PQ-Fσ(X)=

(9)

常規(guī)2D-SL0算法需要內外兩層循環(huán)。外循環(huán)里,預設K個σ值,并逐步減小σ值,使函數Fσ(X)的波形由光滑趨向于起伏;內循環(huán)里,使用最陡下降法求當前σ值下能使Fσ(X)增大的X值,但一共只迭代L次,以免陷入局部最優(yōu)。當σ值趨于最小的時候,X收斂到全局最優(yōu)值。

因此,常規(guī)2D-SL0算法需要預先設置外循環(huán)次數K和內循環(huán)次數L。在任一輪內循環(huán)里,不論參數優(yōu)化的收斂效果如何,內循環(huán)次數都是設定的L次,這樣僵化的迭代策略會導致效率低下。仿真結果表明,在某些輪內循環(huán)里,參數估計值只在前面若干次內循環(huán)里得到持續(xù)優(yōu)化,在后續(xù)內循環(huán)里變化極其緩慢,甚至不變,此時的內循環(huán)屬于無效迭代。因此,并不是每一輪內循環(huán)(即每一次外循環(huán))都有運行L次迭代的必要。

2.2 2D T-SL0快速算法

在本文提出的2D T-SL0算法里,針對某個既定的σ值,或者某次既定的外循環(huán),存在函數gσ(xp,q)為

(10)

將式(10)求導可得

(11)

在該次外循環(huán)里,設定L次內循環(huán),且根據拉格朗日中值定理,得到

(12)

(13)

(14)

將式(14)寫成矩陣形式,有

(15)

式中:“·”為點乘,即兩個矩陣元素對應相乘,矩陣D(l-1)可表示為

(16)

對式(15)兩邊取l2范數,可得

(17)

然后有

(18)

(19)

此處定義誤差統計量為

(20)

然后有

(21)

以及

(22)

E(l-1)=‖ΔX(l)‖2/c(l)

(23)

為了描述迭代效率,此處定義誤差統計量E的相對變化率為

(24)

(25)

式中:I為從第一輪內循環(huán)開始,有效進行過的總迭代次數,即實際迭代次數,所以I會隨著迭代的增加而變化。

2.3 ISAR成像步驟

2D T-SL0算法的具體實現步驟如下:

圖2 2D T-SL0算法流程

3 實驗結果及分析

本文對2D T-SL0算法進行了軟件編程和ISAR成像測試,使用了仿真數據和實測數據,與常規(guī)2D-SL0算法、距離-多普勒(R-D)算法、旋轉不變參數估計(ESPRIT)算法在計算時間與成像效果方面進行了比較。

仿真實驗使用的目標模型為P-51飛機,其CAD模型如圖3所示。電磁仿真的基本參數如下:發(fā)射信號中心頻率為10 GHz,帶寬為0.5 GHz,步進頻采樣,采樣頻點為64;俯仰角固定為75°;方位角范圍為[-1.432 4°,1.432 4°],采樣64個角點。仿真得到的回波二維譜矩陣的尺寸為64×64,對應的徑向和橫向分辨率均為0.3 m。實驗使用主頻3.20 Hz的中央處理器、64位Windows10操作系統。

圖3 P-51飛機模型

為了驗證2D T-SL0算法在剔除無效內循環(huán)迭代方面的效果,本實驗首先統計并給出了2D T-SL0算法與常規(guī)2D-SL0算法的參數更新步長收斂對比結果,如圖4所示,其橫軸是實際迭代次數。由于在梯度下降法中,梯度趨于0即步長趨于0時達到收斂,故可用步長值隨實際迭代次數的變化模擬算法的收斂效果。從圖4可以看出,2D T-SL0算法中步長值下降更快,達到收斂前所使用的迭代次數明顯少于常規(guī)2D-SL0算法。

圖4 參數更新步長變化曲線

在內外循環(huán)次數K和L設置相同的情況下,由于2D T-SL0算法的實際迭代次數要遠小于常規(guī)2D-SL0算法,所以2D T-SL0算法的ISAR成像速度也快于常規(guī)2D-SL0算法。表1和表2對比了兩種算法在外循環(huán)分別設定為30次和50次時,ISAR成像的計算時間。從中可見,常規(guī)2D-SL0算法里,隨著設定內外循環(huán)次數的增加,計算時間也相應增加。而在2D T-SL0算法里,由于剔除了無效迭代,隨著設定內外循環(huán)次數的增加,計算時間變化很小,且在設定內循環(huán)次數較大時,計算時間明顯低于常規(guī)2D-SL0算法。

表1 外循環(huán)30次的仿真時間對比

表2 外循環(huán)50次的仿真時間對比

在仿真數據的ISAR成像效果方面,實驗比較了四種算法在信噪比分別為0 dB、5 dB、10 dB條件下的成像效果,其結果如圖5所示。

圖5 基于仿真數據的ISAR成像結果

從圖5可以看出,R-D算法和ESPRIT算法成像的尺寸與回波二維譜矩陣的尺寸相同,都為64×64;而常規(guī)2D-SL0算法與2D T-SL0算法屬于壓縮感知類算法,散射系數矩陣的尺寸可以大于回波二維譜矩陣,本實驗設定的散射系數矩陣X的尺寸為128×128。從ISAR成像效果來看,2D T-SL0算法要好于R-D算法和ESPRIT算法,與常規(guī)2D-SL0算法相當。

上述四種算法的成像時間比較如表3所示。2D T-SL0算法和常規(guī)2D-SL0算法均設定K=30,L=40。由表3可見,2DT-SL0算法快于常規(guī)2D-SL0算法;R-D算法基于快速傅里葉變換實現,成像時間最短;ESPRIT算法的成像時間最長。

表3 仿真數據成像時間對比

此外,本實驗還采用實測數據進行了ISAR成像,實測數據來自于Yak-42飛機。發(fā)射信號的中心頻率為5.52 GHz,帶寬為0.4 GHz,脈沖重復頻率為400 Hz,徑向分辨率為0.375 m。上述四種算法對于實測數據的ISAR成像結果如圖6所示。

圖6 基于實測數據的ISAR成像結果

由圖6可知,2D T-SL0算法的成像效果與常規(guī) 2D-SL0算法相當,但明顯好于傳統的R-D算法和ESPRIT算法。關于上述四種算法采用實測數據進行ISAR成像的計算時間,情況與仿真數據類似,此處不再列出。

4 結束語

本文提出的2D T-SL0算法是一種壓縮感知類參數重構快速算法,可用于ISAR成像。該算法采用迭代效率指標來評估內循環(huán)的有效性,以此剔除大量無效內循環(huán)迭代,在不影響ISAR成像效果的前提下,大幅減小運算量。本文采用仿真數據和實測數據,對比了2D T-SL0算法、常規(guī)2D-SL0算法、傳統的R-D算法和ESPRIT算法的計算時間和ISAR成像效果。相較于常規(guī)2D-SL0算法,2D T-SL0算法具有更短的ISAR成像計算時間。在ISAR成像效果方面,2D T-SL0算法和常規(guī)2D-SL0算法相當,但明顯優(yōu)于傳統的R-D算法和ESPRIT算法。