李貝貝, 崔靜靜, 黃政閣, 謝曉鳳

(廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院, 廣西 南寧 530006)

1 引言

考慮求解如下大型稀疏線性方程組

其中A∈Cn×n是一個(gè)復(fù)對(duì)稱的非Hermitian 正定矩陣, 其形式為

其中W,T∈Rn×n分別是對(duì)稱正定和對(duì)稱半正定矩陣. 這里是虛數(shù)單位, 假設(shè)T≠0, 則A是非Hermitian 正定矩陣.

在科學(xué)與工程計(jì)算的領(lǐng)域中, 如固體力學(xué)、科學(xué)計(jì)算、動(dòng)力學(xué)、工程計(jì)算、非線性規(guī)劃等[1-4]都需要求解復(fù)對(duì)稱線性系統(tǒng)(1). 目前, 求解復(fù)對(duì)稱線性系統(tǒng)(1) 常用的方法有直接法和迭代法兩大類. 當(dāng)系數(shù)矩陣階數(shù)較小時(shí)通?？刹捎弥苯臃ㄇ蠼? 但當(dāng)用直接法求解大型稀疏矩陣方程組時(shí)會(huì)破壞系數(shù)矩陣的稀疏性, 從而增加計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)量,降低計(jì)算效率. 而迭代法具有可充分利用和保持系數(shù)矩陣的稀疏性, 節(jié)省計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間等優(yōu)點(diǎn), 因此在求解大型稀疏線性系統(tǒng)時(shí), 更傾向于使用迭代法. 近年來, 數(shù)值迭代方法在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都有極為廣泛的應(yīng)用, 例如: 四元數(shù)方向[5], 微分方程方向[6-7]等. 鑒于復(fù)對(duì)稱線性系統(tǒng)來源的廣泛性, 本文針對(duì)此類問題構(gòu)造一種有效的迭代算法,促進(jìn)相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展. 在求解復(fù)對(duì)稱線性系統(tǒng)的已有迭代法中, 其中最著名的迭代法是基于Hermitian 和反Hermitian 方法的迭代法. 首先對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行Hermitian 和反Hermitian 分裂:

這里H和S分別是矩陣A的Hermitian 和反Hermitian 部分. 根據(jù)A的Hermitian 和反Hermitian 分裂,白中治、Colub 和Ng 提出了求解復(fù)對(duì)稱線性系統(tǒng)(1)的Hermitian和反Hermitian 分裂(HSS) 迭代法[8]; 基于HSS 迭代方法, 白中治、Benzi 和陳芳提出了改良的HSS(MHSS) 迭代方法[9]; 潘春平、王紅玉和曹文芳提出了外推的HSS(EHSS)迭代方法[10]. 此外, 基于HSS 迭代法, 許多改進(jìn)及推廣的相應(yīng)迭代法被提出. 例如, LHSS 迭代方法[11], PHSS 迭代方法[12], PMHSS 迭代方法[13], LPMHSS迭代方法[14], AHSS 迭代方法[15], APMHSS 迭代方法[16]和QHSS 迭代方法[17]等.

潘春平等對(duì)HSS 方法使用外推技術(shù)得到EHSS 方法. EHSS 方法在迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間方面都優(yōu)于HSS 迭代方法, 具體可參考文獻(xiàn)[10]. 下面簡(jiǎn)單介紹一下EHSS 迭代方法.

EHSS 迭代方法:設(shè)A∈Cn×n是正定矩陣, 給定一個(gè)初始向量x(0)∈Cn, 計(jì)算

直到迭代序列{x(k)} 收斂, 這里α是給定的正常數(shù),ω是非負(fù)常數(shù),I是單位矩陣.

EHSS 迭代法可等價(jià)地表示為

其中這里M(α,ω) 是EHSS 迭代方法的迭代矩陣. 實(shí)際上, 迭代格式(2) 可由系數(shù)矩陣A進(jìn)行如下分裂得到

其中

HSS 迭代方法在求解線性系統(tǒng)時(shí)每一步迭代都需要求解一個(gè)位移反Hermitian 線性系統(tǒng), 這無疑是困難和耗費(fèi)時(shí)間的. 為解決這個(gè)問題, 白中治、Benzi 和陳芳提出了改良的HSS(MHSS) 迭代方法, 文獻(xiàn)[14] 中的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明MHSS 迭代法無論是在迭代次數(shù)還是計(jì)算時(shí)間上都優(yōu)于HSS 迭代方法. 下面簡(jiǎn)單介紹一下MHSS 迭代方法.

MHSS 迭代方法:給定一個(gè)初始向量x(0)∈Cn, 計(jì)算

直到迭代序列{x(k)} 收斂, 這里α是給定的正常數(shù),I是單位矩陣.

迭代格式(3) 可以改寫為

其中

M(α) 是MHSS 迭代方法的迭代矩陣. MHSS 迭代方法也可以看做是由矩陣A進(jìn)行如下分裂所得到的

其中

然而, EHSS 迭代方法在求解線性系統(tǒng)時(shí)每一步迭代也都需要求解一個(gè)位移反Hermitian 線性系統(tǒng), 且MHSS 迭代法在求解某些復(fù)對(duì)稱線性系統(tǒng)時(shí)收斂速度比較慢, 為了克服這些缺點(diǎn), 受EHSS 迭代法思想的啟發(fā), 考慮對(duì)MHSS 迭代方法使用外推技術(shù), 期望能得到比EHSS 和MHSS 方法更好的結(jié)果.

本文的具體布局為: 在第二節(jié)中構(gòu)造了外推的MHSS(EMHSS) 迭代方法; 第三節(jié)研究了EMHSS 迭代方法的迭代矩陣與MHSS 迭代方法的迭代矩陣之間的關(guān)系, 并討論了EMHSS 迭代方法的收斂條件; 第四節(jié)給出的數(shù)值實(shí)驗(yàn)說明了本文方法的有效性。

2 EMHSS 迭代方法

受EHSS 迭代法思想的啟發(fā), 考慮對(duì)MHSS 迭代方法使用外推技術(shù), 構(gòu)造了外推的MHSS 迭代法, 簡(jiǎn)稱為EMHSS 迭代法.

根據(jù)EHSS 方法, 考慮迭代格式(3) 中的第一步迭代

在上述等式兩邊同時(shí)乘以i, 并移項(xiàng)可得

將上式帶入格式(3) 中的迭代格式

可得

再結(jié)合

可得如下迭代格式

聯(lián)立MHSS 迭代法中的第一步迭代, 有

在(5) 式中引入松弛參數(shù)ω, 可得

結(jié)合迭代格式(3) 中的第一步迭代和(7) 式可得到如下的外推MHSS(EMHSS) 迭代法.

外推的MHSS(EMHSS) 迭代法:任給一個(gè)初始向量x(0)∈Cn, 計(jì)算

直到迭代序列{x(k)} 收斂, 這里α是給定的正常數(shù),ω是非負(fù)常數(shù),I是單位矩陣.當(dāng)ω=1 時(shí), 該方法即為迭代格式(6).

經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算, 外推的MHSS(EMHSS) 迭代方法可表示為

其中

和

這里L(fēng)(α,ω) 是EMHSS 迭代法的迭代矩陣.

如果引入矩陣

和

則有下列等式成立

則EMHSS 迭代法(8) 可看作是對(duì)A進(jìn)行上述分裂(10) 所得到.

3 EMHSS 迭代方法的收斂性分析

定理3.1設(shè)A=W+iT∈Cn×n, 其中W∈Rn×n,T∈Rn×n分別是對(duì)稱正定矩陣和對(duì)稱半正定矩陣. 令α,ω分別是正實(shí)數(shù)和非負(fù)實(shí)數(shù),M(α) 和L(α,ω) 分別是MHSS迭代方法和EMHSS迭代方法的迭代矩陣, 則有

其中η=(1+i)ω-2i.

證明由(4) 式可得

則

因此, 根據(jù)上式和(9) 式可得

定理3.2設(shè)A=W+iT∈Cn×n, 這里W∈Rn×n,T∈Rn×n分別是對(duì)稱正定矩陣和對(duì)稱半正定矩陣. 假設(shè)A是正規(guī)矩陣, 則W和T滿足WT=TW. 設(shè)λj和μj(j=1,2,··· ,n) 分別是矩陣W和T的特征值. 設(shè)λmax和λmin分別為矩陣W的最大特征值和最小特征值,μmax為矩陣T的最大特征值. 如果0 ≤ω<2, 則有

(1) 若0<α≤1,μmax-λmin≤, 則ρ(L(α,ω))<1;

證明如果W∈Rn×n,T∈Rn×n滿足WT=TW, 則存在正交矩陣Q, 使得

其中

由(9) 式可知

ρ(L(α,ω))<1 成立需滿足不等式而

若2αλj(α+λj)(α+μj)>2α2(μ2j+λ2j) 成立, 即

則必有不等式(11) 成立.

(1) 當(dāng)0 <α≤1 時(shí), 如果μmax-λmin≤, 必然滿足μj-λj≤λ2j, 則有不等式2αλj(α+λj-αλj)+2μj(αλj+λ2j-αμj)>0, 即ρ(L(α,ω))<1.

(2) 當(dāng)α> 1, 如果, 必然滿足, 則2αλj(α+λj-αλj)+2μj(αλj+λ2j-αμj)>0, 即ρ(L(α,ω))<1.

4 數(shù)值例子

本節(jié)通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證EMHSS 迭代方法求解復(fù)對(duì)稱線性系統(tǒng)的有效性, 并在迭代次數(shù)(IT), 計(jì)算時(shí)間(CPU) 和相對(duì)殘差(RES) 方面將其結(jié)果與EHSS 和MHSS 方法進(jìn)行了比較. 所有數(shù)值實(shí)驗(yàn)均在Intel(R)Core(TM)i7-8700 CPU @3.20GHz 和RMA 16.0GB,Win7 系統(tǒng)的電腦上用MATLAB R2018b 進(jìn)行的.

在本次實(shí)驗(yàn)中，所有測(cè)試迭代法選取均以零向量x(0)=0作為初始迭代向量. 所有測(cè)試迭代法的終止準(zhǔn)則是當(dāng)k步的相對(duì)殘差滿足

時(shí), 計(jì)算停止.

例4.1[9]Ax=(W+iT)x=b滿足線性系統(tǒng)(1), 其中

e1和em分別是第一個(gè)元素和第m個(gè)元素為1 的單位向量. 選取右端向b=(1+i)A1,這里1是所有元素都為1 的向量.

表1 列出了在不同問題規(guī)模下MHSS 迭代方法和EMHSS 迭代方法求解例4.1 時(shí)的實(shí)驗(yàn)最優(yōu)參數(shù). 表2 給出了在表1 的參數(shù)下MHSS 迭代方法和EMHSS 迭代方法求解例4.1 時(shí)的迭代次數(shù)(IT), 計(jì)算時(shí)間(CPU) 和相對(duì)誤差(RES). 另外, 由于EHSS 迭代方法求解例4.1 時(shí)是不收斂的, 因此在表1 和表2 中未列出EHSS 迭代方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果. 觀察表2 可知, 當(dāng)矩陣規(guī)模相同時(shí), EMHSS 迭代方法的迭代次數(shù)(IT) 和計(jì)算時(shí)間(CPU) 都少于MHSS 迭代方法的計(jì)算時(shí)間和迭代次數(shù). 除了m= 64 外, EMHSS迭代方法的相對(duì)誤差(RES) 都要優(yōu)于MHSS 迭代方法. 因此, 從數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可知EMHSS 迭代法的計(jì)算效率要優(yōu)于MHSS 迭代法.

表1 EMHSS 和MHSS 迭代方法求解例4.1 時(shí)的最優(yōu)參數(shù)取值

表2 EMHSS 和MHSS 迭代方法求解例4.1 時(shí)的最優(yōu)參數(shù)取值

例4.2[11,18]考慮復(fù)Helmholtz 方程

其中σ1,σ2是實(shí)系數(shù)函數(shù),u在[0,1]×[0,1] 上滿足Dirichlet 邊界條件. 使用步長(zhǎng)為的五點(diǎn)差分格式去處理上述方程, 可得如下類似線性系統(tǒng)(1.1) 的方程

這里

H是一個(gè)階數(shù)為n的塊三對(duì)角矩陣, 且n=m2, 選取右端向量b= (i-1)A1, 這里1是所有元素都為1 的向量. 通常在上述等式的兩邊同時(shí)乘h2來正規(guī)化系數(shù)矩陣. 在實(shí)際計(jì)算中取σ1=σ2=10, 則矩陣H+σ1I和矩陣σ2I是對(duì)稱正定的.

表3 列出了在不同問題規(guī)模下MHSS, EHSS 和EMHSS 迭代方法求解例4.2 時(shí)當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到最少時(shí)參數(shù)α和ω的取值范圍. 在表4 中, 給出了MHSS 和EHSS迭代方法的迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間均最少的實(shí)驗(yàn)最優(yōu)參數(shù)取值, 及在最優(yōu)參數(shù)下的迭代次數(shù)(IT), 計(jì)算時(shí)間(CPU) 和相對(duì)誤差(RES). EMHSS 迭代方法中參數(shù)α,ω選取為α=10, 及在α=10 的情況下ω的最優(yōu)取值, 及在此情況下的迭代次數(shù)(IT), 計(jì)算時(shí)間(CPU) 和相對(duì)誤差(RES). 從表4 中可以看到當(dāng)問題規(guī)模相同時(shí), 雖然EMHSS迭代方法的相對(duì)誤差與MHSS 和EHSS 的相對(duì)誤差幾乎相同, 但EMHSS 迭代方法的迭代次數(shù)(IT) 和計(jì)算時(shí)間(CPU) 要少于MHSS 和EHSS 迭代方法迭代次數(shù)(IT) 和計(jì)算時(shí)間(CPU). 因此可知當(dāng)α= 10 時(shí), EMHSS 迭代方法已經(jīng)優(yōu)于MHSS 和EHSS迭代方法. 若α和ω都選取為最優(yōu)參數(shù)時(shí), EMHSS 迭代方法必然有更好的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果. 總之, EMHSS 迭代方法求解復(fù)對(duì)稱線性系統(tǒng)時(shí)的計(jì)算效率比MHSS 和EHSS 迭代方法的計(jì)算效率高.

表3 EMHSS, EHSS 和MHSS 迭代方法求解例4.2 時(shí)的最優(yōu)參數(shù)取值范圍

表4 求解例4.2 時(shí)EMHSS, EHSS 和MHSS 方法的迭代次數(shù), 計(jì)算時(shí)間和相對(duì)殘差

例4.3[9]考慮形為如下的方程

這里M和K是慣性矩陣和剛度矩陣,CV和CH是粘性矩陣和滯后衰減矩陣,?是驅(qū)動(dòng)循環(huán)頻率. 令CH=εK, 這里ε是一個(gè)衰減系數(shù),M=I,CV= 10I,K是在均勻網(wǎng)格[0,1]×[0,1] 且網(wǎng)格大小為上使用中心差分格式沿著負(fù)Laplacian 算符方向均勻的逼近Dirichlet 邊界條件形成的矩陣. 這里

另外, 選取右端向量b=(1+i)A1, 這里1是所有元素都為1 的向量. 通常在上述等式的兩邊同時(shí)乘h2來正規(guī)化系數(shù)矩陣. 在實(shí)際計(jì)算中分別取?=1 和ε=0.002.

表5 給出了MHSS 和EMHSS 迭代方法求解例4.3 時(shí)迭代次數(shù)達(dá)到最少的參數(shù)的取值范圍. 表6 在表5 給出的參數(shù)范圍的基礎(chǔ)上, 展示了迭代時(shí)間最少時(shí)的參數(shù)值, 迭代次數(shù), 迭代時(shí)間和相對(duì)殘差. 從表6 可知隨著問題規(guī)模的增大MHSS 和EMHSS 迭代方法的迭代次數(shù)逐漸增大, 且EMHSS 迭代方法的迭代次數(shù)遠(yuǎn)小于MHSS 迭代方法的迭代次數(shù). 同時(shí), EMHSS 迭代方法的迭代時(shí)間也少于MHSS 迭代方法的迭代時(shí)間.另外, EHSS 迭代方法求解例4.3 時(shí)的時(shí)間花費(fèi)非常大, 最優(yōu)參數(shù)的選擇是困難的, 因此在表5 和表6 中未列出EHSS 迭代方法的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

表5 EMHSS 和MHSS 迭代方法求解例4.3 時(shí)的最優(yōu)參數(shù)取值范圍

表6 求解例4.3 時(shí)EMHSS 和MHSS 方法的迭代次數(shù), 計(jì)算時(shí)間和相對(duì)殘差

此外, 為了更直觀地觀察EMHSS, MHSS 迭代方法對(duì)參數(shù)α的敏感性, 在圖1 中給出了當(dāng)m=64 時(shí)三個(gè)例子的迭代次數(shù)(IT) 隨參數(shù)α的變化曲線. 另外, 因?yàn)镋HSS迭代方法求解例4.2 時(shí)是收斂的, 因此中間圖還展示了EHSS 的迭代次數(shù)隨參數(shù)α的變化曲線. 從圖1 可以看到當(dāng)參數(shù)ω不變時(shí), MHSS 和EMHSS 迭代方法求解三個(gè)例子時(shí)迭代次數(shù)隨著參數(shù)α的增大均是先減小后增大. 且也可看出不管參數(shù)α如何選取,EMHSS 迭代法的迭代次數(shù)均小于MHSS 迭代法的迭代次數(shù), 且迭代次數(shù)最小值是遠(yuǎn)小于MHSS 迭代方法的最小值.

圖1 m=64 時(shí)EMHSS, MHSS 和EHSS 方法的迭代次數(shù)隨參數(shù)α 的變化圖

圖2 直觀地展示了EMHSS 迭代方法當(dāng)m=64 且參數(shù)α固定時(shí)(例4.1:α=0.49;例4.2:α= 10; 例4.3:α= 25) 單一變量ω對(duì)迭代次數(shù)的影響. 從圖2 可以觀察到三個(gè)例子的迭代次數(shù)均是在ω接近于0 時(shí)達(dá)到最少.

圖2 m=64 時(shí)EMHSS 方法的迭代次數(shù)隨參數(shù)ω 的變化圖

同時(shí), 圖3 畫出了當(dāng)m=64 時(shí), EMHSS 迭代方法求解這三個(gè)例子時(shí), 迭代次數(shù)隨參數(shù)α和ω變化的三維圖像. 從圖3 的左側(cè)圖可看到EMHSS 迭代方法求解例4.1 時(shí),當(dāng)α在0.5 附近時(shí)迭代次數(shù)達(dá)到最少. 從圖3 的中間圖可以看出EMHSS 迭代方法求解例4.2 時(shí), 當(dāng)α在0.2 附近,ω在10 附近時(shí)迭代次數(shù)達(dá)到最少. 且從圖1 - 圖3 可知,EMHSS 迭代法求解復(fù)對(duì)稱線性系統(tǒng)時(shí)具有較高的計(jì)算效率.

圖3 EMHSS 迭代方法的迭代次數(shù)隨參數(shù)α 和ω 變化的三維圖像

5 總結(jié)

本文基于EHSS 迭代法的思想對(duì)MHSS 迭代法采用外推技術(shù)提出了外推的MHSS(EMHSS) 迭代方法. 并給出了EMHSS 迭代法的迭代矩陣和MHSS 迭代法的迭代矩陣之間的關(guān)系, 且討論了EMHSS 迭代法收斂的條件. 最后通過數(shù)值例子, 從迭代次數(shù),計(jì)算時(shí)間和相對(duì)誤差方面說明了EMHSS 迭代法的有效性. 另外, 還給出了EMHSS 迭代方法的迭代次數(shù)隨著參數(shù)α變化曲線圖, 以及參數(shù)α和ω對(duì)EMHSS 方法的迭代次數(shù)影響的三維變化圖, 說明了求解復(fù)對(duì)稱線性系統(tǒng)時(shí)EMHSS 迭代方法優(yōu)于EHSS和MHSS 迭代法.