陳 琳,乜聘廣,蒙成琦,潘海鴻

(廣西大學機械工程學院,南寧 530004)

0 引言

工業(yè)機器人由于動作迅速、適應性強等特點已經(jīng)應用于工業(yè)生產(chǎn)的各個領域。由于受絕對定位精度低的影響,工業(yè)機器人主要應用于搬運、噴涂、點焊和裝配等只對重復定位精度有較高要求的領域[1-2]。為使其可以應用于更加廣泛的領域(精密加工、航空航天等),對機器人進行運動學標定來提高其絕對定位精度是非常必要的[3-5]。

機器人運動學標定一般分為運動學建模、誤差測量、參數(shù)辨識與誤差補償4個步驟[6]。運動學建模是描述機器人運動和進行運動學標定的根本,由于機器人幾何參數(shù)誤差對于機器人絕對定位精度的影響比例達到80%[7-8],因此機器人的運動學建模大部分都是針對于機器人關節(jié)連桿幾何參數(shù)誤差建立的[9-10]。

D-H(denavit-hartenberg)參數(shù)模型是目前應用最為廣泛機器人建模方法,但是D-H模型并不能完整的描述機器人的結構參數(shù)。比如當2個平行的旋轉軸軸線出現(xiàn)稍許變動,DH 參數(shù)就將產(chǎn)生巨大變化,影響建模。為了彌補D-H模型的缺點,一些學者引入了繞y軸旋轉量β建立MD-H模型;還有一些學者提出新的運動學模型。OKAMURA等[15]借助旋量理論與李代數(shù)提出了指數(shù)積模型;ZHUANG等[16]提出了滿足“完整性”和 “參數(shù)連續(xù)性”的CPC模型進行機器人運動學標定;白云飛等[17]基于6參數(shù)模型進行誤差建模并根據(jù)制造公差確定誤差參數(shù)范圍進行機器人運動學參數(shù)辨識,但是并未考慮工具坐標系對位置準確度的影響。

為完整的描述機器人的結構誤差參數(shù),提高機器人運動學標定后的位置準確度,提出一種融合多坐標系的誤差模型實現(xiàn)工業(yè)機器人運動學標定。在埃夫特ER6B-C10型6自由度工業(yè)機器人上搭建實驗平臺,驗證融合多坐標系誤差模型的有效性和準確性。

1 機器人誤差模型

1.1 機器人建模

圖1為建模得到的機器人坐標系模型。

圖1 機器人坐標系系統(tǒng)

根據(jù)D-H參數(shù)模型的描述,相鄰桿件坐標系之間的變換矩陣公式為:

(1)

(2)

式中:

n11=cBicCi-sAisBisCin12=-cAisCi
n13=cCisBi+cBisAisCin14=Xi
n21=cBisCi+cCisAisBin22=cAicCi
n23=sBisCi-cBicCisAin24=Yi
n31=-cAisBin32=sAi
n33=cAicBin34=Zi

式(1)與式(2)的參數(shù)對應關系:

(3)

1.2 基于6參數(shù)模型機器人幾何誤差模型

由機器人微分運動可知,機器人連桿上某一坐標系微分運動為D=[dTδT]T,其中d=[dxdydz],δ=[δxδyδz],寫成矩陣的形式為:

(4)

式中:I3為三階單位矩陣,[δ]是向量δ的反對稱矩陣,d為微分位移量,δ為微分旋轉量。

對于機器人同一桿件(視為剛體)的兩個坐標系{i-1}、{i},取坐標系{i-1}為參考坐標系,當坐標系{i-1}存在微分誤差i-1D時,假設坐標系{i-1}與坐標系{i}之間的齊次變換微分矩陣為dT,則坐標系{i-1}與坐標系{i}之間的變換矩陣T與齊次變換微分矩陣為dT的關系為:

dT=[D-I4]·T=Δ·T

(5)

式中:I4為4階單位矩陣,Δ為矩陣算子,即一個坐標系的微分變化量可由微分算子乘以該坐標系得到[18]。式中的微分算子Δ是相對于固定坐標系的,故將其記為Δ0,相對于當前坐標系的微分算子即為Δi,根據(jù)剛體的微分運動學式(5)可寫為:

dT=Δ0·T=T·Δi

(6)

故:

Δi=T-1·Δ0·T

(7)

由6參數(shù)模型變換矩陣與相應的運動學公式即可推得6參數(shù)模型下的坐標系{i}的微分誤差矩陣:

(8)

式中:

m21=-m12=sinAi·δBi+δCi
m13=-m31=-ZisinCiδAi+cosAicosCi·δBi
m23=-m32=cosCi·δAi-cosAi·cosCi·δCi
m14=δXi+Y·δCi-ZisinCi·δAi+
(YisinAi-Zi·cosAicosCi)·δBi
m2,4=δYi+ZicosCi·δAi+(-XisinAi-Zi·cosAisinCi)·δBi
m34=δZi+(Yi·cosAi·sinCi+Xi·cosAi·cosCi)·δBi+
(-YicosCi-XisinCi)·δAi

式中:δXi,δYi,δZi,δAi,δBi,δCi分別是6參數(shù)模型中參數(shù)Xi,Yi,Zi,Ai,Bi,Ci的誤差量。將式中的微分平移量di和微分旋轉量δi與6參數(shù)模型的幾何參數(shù)誤差量的映射關系寫為矩陣形式:

(9)

定義式(9)中的轉換矩陣為Hi,且ΔRi,6參數(shù)=[δXi,δYi,δZi,δAi,δBi,δCi]T,ei=[dxi,dyi,dzi,δxi,δyi,δzi]T,則式(8)寫為:

ei=HiΔRi,6參數(shù)

(10)

對于6自由度工業(yè)機器人來說,需要將6個關節(jié)的誤差傳遞到末端,因此引入關節(jié)i到機器人末端法蘭的齊次變換矩陣:

(11)

根據(jù)微分運動中兩坐標系的誤差矩陣建立機器人末端位姿的誤差模型:

(12)

式中:M1、M2、M3、M4、M5、M6、M7、M8、M9均為3×n矩陣,ΔX=[ΔX1…X6]T,ΔY,ΔZ,ΔA,ΔB,ΔC與ΔX的含義類似。

1.3 工具坐標系誤差模型

在對機器人進行幾何參數(shù)標定時,需要在機器人第6關節(jié)處安裝靶標(工具點)。由于安裝誤差,測量過程中會將此誤差引入到模型中,導致辨識精度降低。

圖2為工具坐標系誤差簡圖,其中{R6}為機器人第6關節(jié)坐標系,{TOOL}為工具點坐標系。P點為坐標系{TOOL}在坐標系{R6}的理論位置,P′點為實際位置。忽略工具點的姿態(tài)變化,P點與P′點之間的微分誤差矩陣為:

圖2 工具坐標系誤差簡圖

(13)

式中:[δXR6,δYR6,δZR6]T為工具坐標系位置誤差向量。

因為在串聯(lián)型6自由度機器人每個桿件的誤差是線性疊加的,不考慮機器人姿態(tài)的影響,融合多坐標系的誤差模型為:

(14)

式中:I3為三階單位矩陣。

式(14)可簡寫為:

e總=J·δ

(15)

2 運動學參數(shù)辨識方法與補償方法

運動學參數(shù)辨識是將測量的數(shù)據(jù)代入到誤差模型中求解誤差參數(shù)的過程。由式(15)建立的誤差模型可知,為獲得機器人幾何參數(shù)誤差必須對機器人末端進行多組采樣,將采樣數(shù)據(jù)帶入誤差模型中構造超定方程,通過線性最小二乘解作為幾何參數(shù)誤差的近似解。

由于機器人擴展雅可比矩陣不是方陣,因此無法直接求解機器人擴展雅可比矩陣的逆矩陣,這里采用矩陣奇異值分解(SVD)的方法分解機器人擴展雅可比矩陣,即:

(16)

式中:V和Q都是正交矩陣,D=diag(σ1,σ2,…,σr),σ1,σ2,…,σr是J的非零奇異值。相應的廣義逆矩為:

(17)

因此,將式(17)帶入式(15)中可得最小二乘解的表達式:

(18)

運動學補償是將辨識出的參數(shù)誤差值補償?shù)綑C器人結構參數(shù)中。因為對機器人進行全參數(shù)補償會改變機器人逆運動學求解算法,故采用參數(shù)降維補償法。對D-H模型中的參數(shù)進行運動學分析發(fā)現(xiàn)逆運動學求解算法使用的參數(shù)有10個,分別是[θ1～θ6,a1～a3,d4]。由式(3)可得,當θ發(fā)生微小變換時,參數(shù)a的誤差可近似等于參數(shù)X的誤差。由此參數(shù)[θ1～θ6,a1～a3,d4]對應式(14)中的誤差參數(shù)為[δC1～δC6,δX1～δX3,δZ4],再加上工具坐標系3個誤差參數(shù)[δXR6,δYR6,δZR6],所以式(14)化簡為:

(19)

采用最小二乘法對13個誤差參數(shù)辨識,將辨識出的參數(shù)誤差直接補償?shù)綑C器人的結構參數(shù)和工具坐標系中,完成機器人的誤差補償。如圖3所示。

圖3 辨識補償流程圖

3 機器人標定與補償實驗

采用美國API型激光跟蹤儀測量系統(tǒng)對埃夫特ER6B-C10型6自由度工業(yè)機器人進行標定和補償實驗。美國API激光跟蹤儀測量系統(tǒng)其測量精度為±10 μm,±3.5 μm/m,此精度遠小于未經(jīng)標定的機器人位置準確度,因此其測量誤差在標定過程中可以忽略不記。機器人標定與補償實驗平臺如圖4所示。機器人DH參數(shù)如表1所示。

表1 埃夫特ER6B-C10型6自由度工業(yè)機器人D-H參數(shù)

圖4 機器人標定與補償實驗平臺

3.1 機器人幾何參數(shù)標定與補償實驗

為了減少測量噪聲對標定誤差的影響,根據(jù)埃夫特ER6-C10機器人的實際臂展,在機器人常用的工作空間中選取邊長為800 mm的立方體,在立方體中隨機均勻的選取50個采樣點,分別使用MD-H誤差參數(shù)模型[19]和融合多坐標系的誤差模型進行參數(shù)辨識,辨識結果分別如表2和表3所示。

表2 MD-H模型辨識的誤差參數(shù)

表3 融合多坐標系的誤差模型辨識的誤差參數(shù)

根據(jù)辨識結果修正機器人結構參數(shù),并在上述立方體中在選取20個采樣點進行位置誤差測量。補償前的誤差如圖5所示,補償后誤差如圖6所示。

圖5 補償前各測試點各方向誤差圖

對比標定前的位置誤差,經(jīng)過MD-H辨識補償后的采樣點位置誤差均下降到0.8 mm以下,經(jīng)過融合多坐標系的誤差模型辨識補償后的采樣點位置誤差均下降到0.3 mm以下,如圖6d所示,證明融合多坐標系的誤差模型是有效的。

幾何參數(shù)誤差補償前后各個方向平均誤差對比如表4所示。

表4 幾何參數(shù)誤差補償前后各個方向平均誤差對比 (mm)

由表中數(shù)據(jù)可以看出MD-H法和融合多坐標系均減少了機器人位置誤差。MD-H法將平均位置誤差由5.047 3 mm下降到0.474 7 mm,精度提高90.59%;融合多坐標系將平均位置誤差由5.047 3 mm下降到0.210 7 mm,精度提高95.82%,證明融合多坐標系的誤差模型是準確的。

3.2 絕對定位精度檢測

根據(jù)國家標準《GB/T12642-2013工業(yè)機器人性能規(guī)范及其試驗方法》中對機器人位置準確度檢測方法的規(guī)定。位置準確度[20]表示指令位置和從同一方向接近該指令位置時的實到平均值之間的偏差。偏差值越小,機器人絕對定位精度越高。首先,在機器人工作空間正前方的一塊正方形區(qū)域內(nèi)選取5個測試點,控制機器人按一定順序循環(huán)運動。通過激光跟蹤儀測量每個點的實際位置,如此循環(huán)30次。幾何參數(shù)誤差補償前的位置準確度(AP)檢驗結果,如表5所示。

表5 幾何參數(shù)誤差補償前的位置準確度 (mm)

完成MD-H誤差模型辨識補償后的位置準確度檢驗結果,如表6所示。

表6 MD-H誤差模型辨識補償后的位置準確度 (mm)

完成融合多坐標系的誤差模型辨識補償后的位置準確度檢驗結果,如表7所示。

表7 融合多坐標系的誤差模型辨識補償后的位置準確度 (mm)

由表5～表7可知,機器人末端位置準確度經(jīng)過MD-H誤差參數(shù)模型辨識補償后由5.251 0 mm降低到0.306 9 mm,經(jīng)過融合多坐標系誤差模型辨識補償后由5.251 0 mm降低到0.157 7 mm,兩者比較,位置準確度提升了48.61%;由圖7可以看出融合多坐標系的誤差模型辨識補償后的位置準確度比MD-H法補償后的波動較小,說明融合多坐標系的誤差模型辨識補償后的效果更好。

圖7 補償前后各測試點位置準確度對比圖

4 結論

針對D-H模型不能完整的描述機器人結構誤差的問題,提出使用6參數(shù)模型進行機器人坐標系及誤差模型的建立?？紤]工具坐標系的誤差模型,融合到機器人誤差模型中,建立融合多坐標系的誤差模型。分別使用MD-H法和融合多坐標系的誤差模型對埃夫特ER6B-C10型6自由度工業(yè)機器人進行標定和補償實驗,并對補償后的機器人進行位置準確度檢測。實驗結果表明融合多坐標系的誤差模型辨識補償后的機器人位置準確度相比MD-H誤差模型辨識補償后提高了48.61%,證明了融合多坐標系的誤差模型的補償效果優(yōu)于MD-H誤差模型。