陳志鵬,張會(huì)林,張建平,程文彬

(上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,上海 200093)

0 引言

當(dāng)前永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motor,PMSM)由于其優(yōu)越的控制性能被越來(lái)越多的應(yīng)用在數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)中,PMSM的性能很大程度影響著機(jī)床的控制精度。高精度的PMSM控制系統(tǒng)需要實(shí)時(shí)準(zhǔn)確地提取轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的信息,但機(jī)械傳感器的安裝不僅增加了電機(jī)的成本和體積,而且在惡劣的環(huán)境下運(yùn)行不穩(wěn)定,大大降低了系統(tǒng)的可靠性。因此,永磁同步電機(jī)的無(wú)位置傳感器控制成為研究的熱點(diǎn)[1]。

其中,滑模變結(jié)構(gòu)控制技術(shù)因具有良好的魯棒性和抗干擾性被廣泛應(yīng)用于中高速的PMSM無(wú)感控制系統(tǒng)[2]。傳統(tǒng)的滑?？刂埔蚱鋵⒉贿B續(xù)的開(kāi)關(guān)函數(shù)引入了控制律中,加上電機(jī)引入額外的電壓和電流噪聲信號(hào),引起抖振現(xiàn)象[3]。此外,傳統(tǒng)的線性滑模面不能實(shí)現(xiàn)狀態(tài)變量在有限時(shí)間內(nèi)收斂。固有的抖振和非有限時(shí)間收斂是限制滑?？刂萍夹g(shù)進(jìn)一步發(fā)展的兩個(gè)重要的問(wèn)題。

首先,為了有效抑制抖振,通常利用飽和函數(shù)、分段指數(shù)型函數(shù)和雙曲正切函數(shù)來(lái)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的符號(hào)函數(shù),但這都是以犧牲系統(tǒng)魯棒性為代價(jià)。低通濾波器(LPF)能在一定程度上平滑不連續(xù)的趨近律,YE[4]使用多次迭代滑模觀測(cè)器(SMO),但多個(gè)LPF進(jìn)一步增加了相位的滯后和時(shí)間延遲。鄧豪、YIN等[5-6]提出了分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗圆?yīng)用到永磁同步電機(jī)的速度控制,利用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)隨時(shí)間緩慢衰減的特性削減抖振。PAI、閔磊等[7-8],提出一種基于超螺旋算法的滑模觀測(cè)器,能有效抑制抖振,但僅適用于一階模型中的線性滑模面,不適用于高階模型。其次,針對(duì)非有限時(shí)間收斂的問(wèn)題,張祺琛等[9]引入積分滑模面,但積分有對(duì)誤差累加的作用,如果初始誤差大或參考信號(hào)變化大會(huì)使執(zhí)行器飽和而產(chǎn)生積分飽和效應(yīng),從而導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)超調(diào)增大、調(diào)節(jié)時(shí)間變長(zhǎng),惡化系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。史宏宇等[10]結(jié)合線性滑模與非奇異終端滑模的控制策略,實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)變量的全局快速收斂,但該方法觀測(cè)得到的定子磁鏈估計(jì)值不能直接用于電機(jī)模型的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換,還需進(jìn)行定子磁鏈和轉(zhuǎn)子磁鏈之間的變換,使得過(guò)程繁瑣且會(huì)使誤差放大。

綜上所述,本文針對(duì)傳統(tǒng)一階線性磁鏈滑模觀測(cè)器存在固有的抖振和收斂速度緩慢的問(wèn)題,首先將終端滑模因子引入滑模面,并用電流誤差的導(dǎo)數(shù)取代了傳統(tǒng)的線性部分,實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)變量誤差在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂;其次設(shè)計(jì)了新型高階滑?？刂坡?從根源上抑制滑模抖振。仿真結(jié)果表明,在不同的運(yùn)行工況下,本文提出的HOT-FSMO不僅能有效減少滑模抖振,提高了永磁同步電機(jī)無(wú)感控制系統(tǒng)的觀測(cè)精度,還能縮短狀態(tài)變量誤差的收斂時(shí)間,提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

1 PMSM擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)模型

本文以表貼式永磁同步電機(jī)為例,假定電機(jī)為理想電機(jī)且在理想條件下運(yùn)行,不計(jì)永磁體磁滯和渦流損耗,不考慮鐵心磁飽和程度,勵(lì)磁磁場(chǎng)和電樞反應(yīng)磁場(chǎng)在氣隙中均呈正弦分布,可得兩相靜止坐標(biāo)系下PMSM的定子電壓方程:

(1)

式中:uαβ和iαβ分別表示αβ軸定子電壓和電流,p表示微分算子,Rs和Ls分別表示定子電阻和電感,εα和εβ則表示拓展反電動(dòng)勢(shì),可由下式求出:

(2)

式中:λm為永磁體的磁鏈,ωe和θe分別表示轉(zhuǎn)子的電角速度和位置角。

由式(1)可得到定子電流的狀態(tài)方程為:

(3)

在兩相靜止坐標(biāo)系下的永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)子磁鏈方程為:

(4)

式中:λα和λβ分別表示αβ軸的轉(zhuǎn)子磁鏈。

結(jié)合式(3)和式(4),可得到以定子電流和轉(zhuǎn)子磁鏈為狀態(tài)變量的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)方程表達(dá)式:

(5)

2 傳統(tǒng)磁鏈滑模觀測(cè)器

基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)方程式(5),傳統(tǒng)的磁鏈滑模觀測(cè)器可以構(gòu)造為:

(6)

利用電流的估算誤差構(gòu)建的滑模面如式(7)所示:

(7)

由式(6)減去式(5)可得估計(jì)誤差方程:

(8)

為了分析傳統(tǒng)磁鏈滑模觀測(cè)器的收斂性能,將式(8)進(jìn)行變形可得:

(9)

(10)

3 高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

HOT-FSMO的設(shè)計(jì)需要考慮3個(gè)方面:①滑模面(切換函數(shù)s)的設(shè)計(jì),用來(lái)保證滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)的品質(zhì),由它確定的滑動(dòng)模態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定并保證系統(tǒng)期望的動(dòng)態(tài)性能;②滑動(dòng)模態(tài)控制律的設(shè)計(jì),用來(lái)保證趨近運(yùn)動(dòng)的品質(zhì),由它確保系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面并實(shí)現(xiàn)滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng);③在此基礎(chǔ)上,根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理,證明所設(shè)計(jì)高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器的穩(wěn)定性。圖1為高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)框圖,具體的設(shè)計(jì)過(guò)程在下文展開(kāi)。

圖1 高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器結(jié)構(gòu)框圖

3.1 終端滑模面的設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)滑模面是由系統(tǒng)誤差或誤差的導(dǎo)數(shù)構(gòu)成[12],但是,在感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)速控制中,轉(zhuǎn)速和定子電流信號(hào)一般是通過(guò)傳感器檢測(cè)所得,容易引進(jìn)干擾噪聲,若對(duì)它們直接求導(dǎo)則使系統(tǒng)對(duì)干擾噪聲更加敏感。文獻(xiàn)[13]中指出,在傳統(tǒng)的線性滑模面的基礎(chǔ)上加入終端滑模因子,能實(shí)現(xiàn)狀態(tài)誤差在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂;文獻(xiàn)[14]將此方法用于基于反電動(dòng)勢(shì)的滑模觀測(cè)器中并得到理想的控制性能。因此,本文將終端滑模面設(shè)計(jì)為:

(11)

式中:γ,m為常數(shù)且γ>0,0

3.2 高階滑模控制律的設(shè)計(jì)

高階滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)為:

(12)

式中:Zi=[ZiαZiβ]T為新型高階等效控制律,un=[unαunβ]T,初始狀態(tài)un(0)=0;ωf和k為增益參數(shù)。

根據(jù)式(6)、式(11)和式(12),高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器可設(shè)計(jì)為:

(13)

3.3 高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器的穩(wěn)定性證明

為了證明所設(shè)計(jì)HOT-FSMO的穩(wěn)定性,首先做以下合理假設(shè):

假設(shè)3:存在正實(shí)數(shù)ε,滿足ε>D(x)。

選取李雅普諾夫函數(shù):

(14)

對(duì)式(14)進(jìn)行微分可得:

(15)

由式(13)減去式(5)得到定子電流誤差和磁鏈誤差的微分表達(dá)式:

(16)

將式(16)中的定子電流誤差微分表達(dá)式代入式(11)中,可得滑模面的表達(dá)式:

(17)

將式(17)進(jìn)行微分,并將式(12)與式(16)中的磁鏈誤差微分表達(dá)式代入得:

(18)

再將式(18)代入(15)中有:

(19)

(20)

(21)

式(20)可化簡(jiǎn)為:

(22)

根據(jù)假設(shè)1和假設(shè)3,考慮電流誤差微分的上界為ε,即:

(23)

求得增益k的取值范圍為:

k>max(|A11ε|+|ωfunα|,|A11ε|+|ωfunβ|)

(24)

4 高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器的性能分析

本節(jié)從抑制抖振和有限時(shí)間內(nèi)收斂?jī)蓚€(gè)方面對(duì)所設(shè)計(jì)的高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器進(jìn)行分析。

4.1 抖振抑制分析

對(duì)于估計(jì)磁鏈,將式(13)積分:

(25)

由式(25)可知,通過(guò)對(duì)不連續(xù)的符號(hào)函數(shù)進(jìn)行積分,所設(shè)計(jì)的高階磁鏈滑模觀測(cè)器能夠?qū)崿F(xiàn)估計(jì)磁鏈的抖振抑制。

對(duì)于高階滑?？刂坡?根據(jù)式(12),可以得到un相對(duì)于sgn的傳遞函數(shù)為:

(26)

與一階低通濾波器類(lèi)似,這里ωf可視為等效低通濾波器的截止頻率。從這個(gè)角度分析,本文所設(shè)計(jì)的高階滑?？刂坡蓪?duì)不連續(xù)的sgn(s)信號(hào)進(jìn)行了一次濾波,從而平滑了un,一定程度上減小了控制律的抖振。

通過(guò)減小ωf,控制律中un的抖振也會(huì)隨之減弱。然而過(guò)低的截止頻率會(huì)使控制律的帶寬減小,進(jìn)而導(dǎo)致滑模系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變差。因此,參數(shù)ωf的選擇必須同時(shí)考慮抖振和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能兩個(gè)問(wèn)題。

以上分析表明,通過(guò)積分和濾波兩種形式,所設(shè)計(jì)的高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器對(duì)估計(jì)磁鏈和控制律都有抑制抖振的作用。

4.2 有限時(shí)間收斂分析

(27)

(28)

與傳統(tǒng)的一階磁鏈滑模觀測(cè)器相比,高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器不僅能實(shí)現(xiàn)定子電流誤差為零,還能保證電流誤差的導(dǎo)數(shù)為零。結(jié)合以上分析可知定子電流誤差能在有限時(shí)間內(nèi)收斂且收斂時(shí)間為ts。

為了分析磁鏈誤差的收斂性,將式(16)變形為:

(29)

5 仿真分析

為了驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器在PMSM無(wú)感控制中的優(yōu)越性和動(dòng)態(tài)性能,與文獻(xiàn)[11]中所提出的一階磁鏈滑模觀測(cè)器進(jìn)行對(duì)比仿真。具體仿真包括:空載啟動(dòng)運(yùn)行、變速(負(fù)載突變)運(yùn)行、魯棒性能測(cè)試。根據(jù)圖2系統(tǒng)整體框圖在MATLAB/Simulink仿真平臺(tái)搭建模型,采用轉(zhuǎn)速、電流雙閉環(huán)控制的調(diào)速系統(tǒng),id=0的矢量控制策略;PMSM的參數(shù)如表1所示。

表1 PMSM參數(shù)表

圖2 基于HOT-FSMO的PMSM系統(tǒng)框圖

5.1 空載啟動(dòng)運(yùn)行

當(dāng)給定轉(zhuǎn)速n=800 r/min時(shí)電機(jī)啟動(dòng),仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 定子電流誤差對(duì)比圖

從圖3可以看出,傳統(tǒng)的一階磁鏈滑模觀測(cè)器定子電流誤差在電機(jī)空載啟動(dòng)階段有著明顯的波動(dòng),且當(dāng)電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)抖振較大,定子電流誤差的最大值為±0.016 A,這是傳統(tǒng)一階磁鏈滑模觀測(cè)器線性滑模面固有的缺陷;相對(duì)于傳統(tǒng)的一階磁鏈滑模觀測(cè)器,設(shè)計(jì)的高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器顯著減小了定子電流誤差,電流誤差最大值只有±0.009 6 A,有效削弱了抖振。

圖4中估計(jì)磁鏈仿真波形圖表明,相比于傳統(tǒng)的一階FSMO,HOT-FSMO能有效抑制高頻信號(hào),估計(jì)的磁鏈曲線更加平滑,仿真結(jié)果與第4.1節(jié)中抖振抑制分析吻合。

(a) 傳統(tǒng)一階FSMO (b) HOT-FSMO圖4 估計(jì)磁鏈仿真波形圖

從圖5a和圖5b可以看出,傳統(tǒng)的一階FSMO轉(zhuǎn)子位置角的最大估計(jì)誤差為0.29 rad,而HOT-FSMO的轉(zhuǎn)子位置角最大的估計(jì)誤差只有0.057 rad,表明HOT-FSMO估計(jì)的轉(zhuǎn)子位置能很好地跟蹤實(shí)際轉(zhuǎn)子位置,明顯提高了估計(jì)精度。

(a) 傳統(tǒng)一階FSMO轉(zhuǎn)子位置曲線及位置誤差曲線

5.2 變速(突加負(fù)載)運(yùn)行

為了驗(yàn)證系統(tǒng)在負(fù)載恒定、速度突變時(shí)的運(yùn)行性能,在仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)給定轉(zhuǎn)速為:0～0.3 s運(yùn)行在200 r/min,0.3 s～0.6 s運(yùn)行在1200 r/min,前0.6 s的負(fù)載轉(zhuǎn)矩設(shè)定為2 N·m。為了驗(yàn)證在負(fù)載突變時(shí)的控制性能,0.6 s時(shí)在原來(lái)2 N·m的基礎(chǔ)上突加5 N·m的負(fù)載擾動(dòng),仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 傳統(tǒng)一階磁鏈滑模觀測(cè)器變速(突加負(fù)載)運(yùn)行仿真圖

從圖6可知,傳統(tǒng)的一階磁鏈滑模觀測(cè)器在電機(jī)帶載且處于低速運(yùn)行階段時(shí),估計(jì)轉(zhuǎn)速誤差為±10 r/min,轉(zhuǎn)子位置角誤差為0.002 rad;在0.3 s給定轉(zhuǎn)速突變后,估計(jì)轉(zhuǎn)速誤差為±15 r/min,轉(zhuǎn)子位置角誤差為0.002 5 rad;在0.6 s負(fù)載突變后,轉(zhuǎn)子位置角誤差變化不大,但估計(jì)轉(zhuǎn)速誤差出現(xiàn)較大抖振,達(dá)到了±60 r/min,說(shuō)明傳統(tǒng)的一階磁鏈滑模觀測(cè)器抗負(fù)載干擾能力較弱。

圖7中的高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器仿真結(jié)果可以看出不管電機(jī)運(yùn)行在低速階段還是中高速階段,估計(jì)轉(zhuǎn)速誤差都要明顯小于傳統(tǒng)的一階滑模觀測(cè)器。面對(duì)負(fù)載突變時(shí),估計(jì)轉(zhuǎn)速誤差只有±6 r/min,極大的削弱了抖振,且轉(zhuǎn)速恢復(fù)的響應(yīng)時(shí)間只有0.015 s,小于圖5中的0.03 s,說(shuō)明高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器不僅抗負(fù)載干擾能力更強(qiáng),還具有提高系統(tǒng)響應(yīng)速度的優(yōu)點(diǎn)。

圖7 HOT-FSMO變速(突加負(fù)載)運(yùn)行仿真圖

5.3 魯棒性測(cè)試

在實(shí)際數(shù)控機(jī)床應(yīng)用中,周?chē)h(huán)境變化以及磁飽和等諸多不確定因素會(huì)導(dǎo)致PMSM內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)如電感和電阻的變化,失配會(huì)直接影響到轉(zhuǎn)子位置估計(jì)精度下降,進(jìn)而導(dǎo)致整個(gè)控制系統(tǒng)性能惡化。

而根據(jù)式(13),本文設(shè)計(jì)的高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器依賴(lài)于電機(jī)定子的電阻Rs和電感Ls,因此魯棒性測(cè)試是非常有必要的。以電阻為例,選取20%的參數(shù)攝動(dòng)量,仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 HOT-FSMO電阻值變化20%的仿真圖

圖8表示定子電阻R依次變?yōu)?.8R、1.2R再回到R時(shí)的仿真結(jié)果,可以看出不管是估計(jì)磁鏈、轉(zhuǎn)速誤差還是轉(zhuǎn)子位置角誤差都只有輕微的脈動(dòng),說(shuō)明本文提出的高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器受參數(shù)變化的影響較小,具有較好的魯棒性。

6 結(jié)論

本文在傳統(tǒng)一階磁鏈滑模觀測(cè)器的基礎(chǔ)上,提出了一種高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器。該觀測(cè)器在滑模面中引入了終端滑模因子,并且使用電流誤差的導(dǎo)數(shù)替代了傳統(tǒng)的線性部分,這樣的改進(jìn)使得狀態(tài)變量誤差能夠在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂。接下來(lái),本文設(shè)計(jì)了新型的高階滑?？刂坡?。該控制律利用傳遞函數(shù)與一階低通濾波器相似的性質(zhì)對(duì)不連續(xù)的開(kāi)關(guān)信號(hào)進(jìn)行濾波,并將不連續(xù)控制律轉(zhuǎn)化為高階控制律的導(dǎo)數(shù),從根源上抑制了滑模抖振現(xiàn)象。通過(guò)不同運(yùn)行情況下的仿真實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了高階終端磁鏈滑模觀測(cè)器的有效性。該觀測(cè)器能夠抑制系統(tǒng)抖振,提高轉(zhuǎn)子位置估算的精確度和轉(zhuǎn)速跟蹤能力,加快響應(yīng)速度,并且能夠克服系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)問(wèn)題,表現(xiàn)出良好的魯棒性。