收稿日期：2024-01-09

基金項(xiàng)目：伊犁州科技計(jì)劃項(xiàng)目（YZ2022YD002）；伊犁師范大學(xué)校級(jí)科研項(xiàng)目（2021YSYB076）

作者簡(jiǎn)介：候佳琦（1999-），女，新疆塔城人，在讀碩士，研究方向?yàn)閿?shù)理金融.E-mail：17799378939@qq.com.

*通信作者：王婧（1989-），女，新疆伊寧人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)閿?shù)理金融.E-mail：wangjing@ylnu.edu.cn.

文章編號(hào)：2095-6991（2024）04-0020-09

摘要：建立了基于長(zhǎng)記憶性的資產(chǎn)定價(jià)模型，考慮做市商通過(guò)調(diào)節(jié)過(guò)去的過(guò)剩需求比例的決策來(lái)出清市場(chǎng)價(jià)格，利用離散動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分支理論，討論了不動(dòng)點(diǎn)的存在性以及參數(shù)對(duì)模型穩(wěn)定性的影響，重點(diǎn)討論了記憶參數(shù)的改變對(duì)模型穩(wěn)定區(qū)域的影響，并通過(guò)數(shù)值模擬得到：當(dāng)記憶參數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，穩(wěn)定區(qū)域會(huì)隨著記憶參數(shù)的增大而增大，記憶參數(shù)的增大會(huì)減小股票市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng).

關(guān)鍵詞：長(zhǎng)記憶；金融市場(chǎng)模型；穩(wěn)定區(qū)域；數(shù)值模擬

中圖分類(lèi)號(hào)：O211.9 """"文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Research on Asset Pricing Model Based on Long Memory

HOU Jia-qi1，YANG Zhi1，2，WANG Jing1，2

（1. School of Mathematics and Statistics， Yili Normal University， Yining 835000， Xinjiang， China;

2. Institute of Applied Mathematics， Yili Normal University， Yining 835000， Xinjiang， China）

Abstract：This paper establishes an asset pricing model based on long memory. Considering that the market maker clears the market price by adjusting the decision of the excess demand ratio in the past， the existence of a steady state and the influence of parameters on the stability of the model are discussed by using the stability and branch theory of discrete dynamic systems. The effect of changing the memory parameter on the stability region of the model is focused. Through numerical simulation， the following results are obtained： when the memory parameters change within a certain range， the stable region will increase with the increase of the memory parameters， and the increase of the memory parameters will reduce the price fluctuation of the stock market.

Key words：long memory; financial market model; stable region; numerical simulation

金融資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)力學(xué)是國(guó)內(nèi)外學(xué)者高度關(guān)注的課題，指金融市場(chǎng)中資產(chǎn)價(jià)格隨時(shí)間變化的規(guī)律和機(jī)制.資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)不僅受政策變化、市場(chǎng)情緒、投資者預(yù)期等多種因素的影響，而且對(duì)投資者財(cái)富具有重大影響.因此，對(duì)資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)的分析與預(yù)測(cè)對(duì)于投資者而言至關(guān)重要.

在資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)形成過(guò)程中，市場(chǎng)出清是一個(gè)關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，它指的是供求雙方通過(guò)交易達(dá)到價(jià)格平衡的過(guò)程.Brock H，Hommes［1-2］ 研究了一種簡(jiǎn)單的蛛網(wǎng)模型自適應(yīng)信念系統(tǒng)，利用局部分岔理論和數(shù)值分析的方法，得出異質(zhì)信念是導(dǎo)致市場(chǎng)不穩(wěn)定性和奇異吸引子出現(xiàn)的重要因素，并且異質(zhì)信念也是混沌吸引子的特征.隨后Chiarella和He［3］在此基礎(chǔ)上對(duì)模型進(jìn)行擴(kuò)展，建立了基于收益和財(cái)富比例的離散時(shí)間平穩(wěn)模型，得出資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)模型的本質(zhì)特征.Chiarella和He［4-5］將風(fēng)險(xiǎn)納入具有異質(zhì)信念的簡(jiǎn)單資產(chǎn)價(jià)格模型，得出不同類(lèi)型投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)會(huì)影響資產(chǎn)價(jià)格的動(dòng)態(tài).Hommes［6］研究了由三類(lèi)投資者組成的自適應(yīng)進(jìn)化資產(chǎn)定價(jià)動(dòng)態(tài)模型，得出投資者敏感性的提高會(huì)使得模型的基本穩(wěn)態(tài)變得不穩(wěn)定，并且還出現(xiàn)多重穩(wěn)態(tài).Anufriev M［7］提出了Hommes［6］的資產(chǎn)定價(jià)模型的替代版本，該模型具有異質(zhì)性代理和信念的異步更新，得出適應(yīng)度并沒(méi)有改變基本穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)定性的結(jié)論，但是，非基本穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)定性受到了影響.Zhu M［8］研究做市商對(duì)金融市場(chǎng)模型穩(wěn)定性的影響，表明當(dāng)做市商實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化時(shí)，并不一定能穩(wěn)定市場(chǎng)，相反，做市商會(huì)受到投機(jī)者行為的影響.Sotkiewicz［9］討論了市場(chǎng)出清價(jià)格的存在性和非凸性市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)分析中整數(shù)規(guī)劃的強(qiáng)對(duì)偶性.Bargigli［10］在Hommes［6］的基礎(chǔ)上引入優(yōu)化壟斷做市商，表明做市商對(duì)市場(chǎng)的穩(wěn)定性會(huì)產(chǎn)生影響.Jungeilges J ［11］將現(xiàn)有的資產(chǎn)異質(zhì)代理的市場(chǎng)模型進(jìn)行推廣，考慮了技術(shù)分析者和基本面分析者分別在無(wú)交易和低交易間隔不一致的情況，結(jié)果表明這兩種交易之間的差距程度影響均衡的存在，但不影響其穩(wěn)定性.

在建立資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)模型中，市場(chǎng)均衡價(jià)格的形成機(jī)制極為關(guān)鍵.做市商出清機(jī)制被廣泛應(yīng)用，如Chiarella和He［3-5］利用做市商價(jià)格調(diào)整規(guī)則pt+1=pt+μze，t來(lái)出清市場(chǎng)價(jià)格，認(rèn)為做市商為市場(chǎng)出清價(jià)格提供了一種程序化的行為規(guī)則.Hommes［6］和Anufriev M［7］采用了同樣的價(jià)格調(diào)整規(guī)則pt+1=pt+μze，t+εt+1，研究了動(dòng)力系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性.Day和Huang［14］，Lux［15］，Lux和Marchesi［16-17］以及Farmer和Joshi［18］在金融市場(chǎng)模型中使用了類(lèi)似的價(jià)格調(diào)整規(guī)則pt+1=pt+cE（pt），其中價(jià)格變化基于對(duì)過(guò)去價(jià)格的期望而變化.本文對(duì)價(jià)格調(diào)整規(guī)則進(jìn)行了一個(gè)擴(kuò)展，投資者根據(jù)其在前一時(shí)期的過(guò)剩需求來(lái)預(yù)測(cè)下一時(shí)期的價(jià)格，重點(diǎn)討論了記憶參數(shù)是否會(huì)影響原有模型的穩(wěn)定性，以及記憶參數(shù)是否會(huì)影響價(jià)格的波動(dòng).在本文的資產(chǎn)定價(jià)設(shè)置中，價(jià)格調(diào)整規(guī)則為pt+1=pt+μ［γ（zh，t－zs）+（1－γ）（zh，t－1－zs）］，其優(yōu)點(diǎn)是：該模型在分析上易于處理，可以通過(guò)數(shù)值分析得出過(guò)去的過(guò)剩需求會(huì)對(duì)未來(lái)的價(jià)格產(chǎn)生一定的影響.

長(zhǎng)記憶性對(duì)金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的研究至關(guān)重要，并且它與股票價(jià)格的跨時(shí)間相關(guān)性有關(guān).相比傳統(tǒng)定價(jià)模型CAPM，長(zhǎng)記憶特性能夠更好地捕捉市場(chǎng)的長(zhǎng)期依賴(lài)和復(fù)雜性，從而提高價(jià)格預(yù)測(cè)和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的準(zhǔn)確性.基于此，本文建立了基于長(zhǎng)記憶性的資產(chǎn)定價(jià)模型.

1" 模型建立

參考Anufriev M［7］給出的基礎(chǔ)模型，自適應(yīng)信念系統(tǒng)為

xt+1=1－μRaσ2+μg2aσ2（1－mt）xt+εt+1，

mt+1=αmt+（1－α）

tanhβ2gaσ2（Rxt2－xt+1xt）－gzsxt－C.（1）

本文考慮市場(chǎng)上兩種類(lèi)型的投資者：基本面分析者和趨勢(shì)追風(fēng)者.

基本面分析者認(rèn)為資產(chǎn)價(jià)格最終會(huì)回到基準(zhǔn)價(jià)值，這是基于投資者對(duì)市場(chǎng)供需關(guān)系的分析.盡管市場(chǎng)價(jià)格可能會(huì)受到各種因素的影響而波動(dòng)，但長(zhǎng)期來(lái)看，市場(chǎng)會(huì)反應(yīng)出資產(chǎn)的真實(shí)價(jià)值.當(dāng)價(jià)格偏離基準(zhǔn)價(jià)值時(shí)，基本面分析者認(rèn)為存在投資機(jī)會(huì)，預(yù)期價(jià)格將會(huì)回歸到基準(zhǔn)價(jià)值.基本面分析者對(duì)未來(lái)價(jià)格期望的預(yù)測(cè)規(guī)則為

E1，tpt+1=p*+vp*－pt，v∈［0，1］，（2）

其中：pt為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格；p*為基準(zhǔn)價(jià)值；v為基本面分析者的均值回饋速率.

趨勢(shì)追風(fēng)者與基本面分析者在對(duì)市場(chǎng)價(jià)格的理解上存在一定的差異.趨勢(shì)追風(fēng)者更側(cè)重于短期市場(chǎng)趨勢(shì)的捕捉與利用，認(rèn)為價(jià)格會(huì)按照當(dāng)前的趨勢(shì)繼續(xù)發(fā)展，并試圖通過(guò)買(mǎi)入漲勢(shì)或賣(mài)出跌勢(shì)來(lái)獲取利潤(rùn).與基本面分析者相比，趨勢(shì)追風(fēng)者更注重技術(shù)分析和市場(chǎng)走勢(shì)的判斷，而不是過(guò)多關(guān)注基本面因素.他們相信市場(chǎng)中存在著明顯的價(jià)格趨勢(shì)，如上升趨勢(shì)、下降趨勢(shì)或盤(pán)整趨勢(shì)，并試圖通過(guò)捕捉這些趨勢(shì)來(lái)進(jìn)行交易.趨勢(shì)追風(fēng)者對(duì)未來(lái)價(jià)格期望的預(yù)測(cè)規(guī)則為

E2，tpt+1=pt+gpt－pt－1，ggt;0，（3）

其中，g為趨勢(shì)參數(shù).

考慮市場(chǎng)價(jià)格由做市商出清，在做市商機(jī)制下，考慮過(guò)去的過(guò)剩需求會(huì)影響價(jià)格，如下：

pt+1=pt+μγze，t+（1－γ）ze，t－1，（4）

其中：μgt;0表示相應(yīng)的調(diào)整速度；γ∈（0，1）為記憶參數(shù)，表示過(guò)去需求對(duì)當(dāng)前價(jià)格的影響程度；ze，t為投資者在t期購(gòu)買(mǎi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的總過(guò)剩需求.

假設(shè)投資者均追求財(cái)富效用指數(shù)函數(shù)最大化，定義超額收益Rt+1=pt+1+yt+1－Rpt，其中R表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的總收益，yt+1表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t+1時(shí)刻支付的隨機(jī)紅利.第h類(lèi)投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的需求zh，t為

zh，t=Eh，tpt+1+yt+1－RptaVh，tpt+1+yt+1－Rpt=

Eh，tpt+1+yt+1－Rptaσ2，（5）

Eh，t，Vh，t分別代表第h類(lèi)投資者對(duì)于超額收益的條件期望和條件方差，a為風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，t時(shí)刻的總過(guò)剩需求為

ze，t=∑2h=1nh，tzh，t－zs，（6）

其中，zs為外部股票的正供給量.

假設(shè)策略異步更新，即在每一期有投資者更新或不更新策略所采用的預(yù)測(cè)規(guī)則.參考Hommes［6］的模型，比例的相應(yīng)動(dòng)態(tài)由多項(xiàng)式Logit離散選擇模型給出：

nh，t+1=αnh，t+（1－α）eβUh，t－ChZt，

Zt=∑2h=1eβUh，t－Ch，（7）

其中：Ch≥0表示h類(lèi)投資者每期的平均成本；α表示投資者堅(jiān)持采用現(xiàn)在策略的比例；Uh，t是適應(yīng)度函數(shù)，即利潤(rùn)實(shí)現(xiàn)值的加權(quán)平均值：

Uh，t=pt+1+yt+1－Rptzh，t.（8）

完整的自適應(yīng)信念系統(tǒng)為

pt+1=pt+μγ（n1，tz1，t+n2，tz2，t－zs）+

（1－γ）（n1，t－1z1，t－1+n2，t－1z2，t－1－zs），（9）

其中，

n1，t+1=αn1，t+（1－α）e［βpt+1+yt+1－Rptz1，t－C1］Zt，

n2，t+1=αn2，t+（1－α）e［βpt+1+yt+1－Rptz2，t－C2］Zt，

z1，t=p*+vp*－pt+y－Rptaσ2，

z2，t=pt+gpt－pt－1+y－Rptaσ2，

Zt=eβpt+1+yt+1－Rptz1，t－C1+

eβpt+1+yt+1－Rptz2，t－C2.

為了方便計(jì)算，假設(shè)噪聲項(xiàng)εt+1=yt+1－y是獨(dú)立同分布的，并且采用基本價(jià)格偏離值xt=pt－p*.通過(guò)計(jì)算，自適應(yīng)信念系統(tǒng)被更新為

xt+1=Axt+Bxt－1，mt+1=αmt+（1－α）tanhβ2（D－C），yt+1=xt，ht+1=mt.（10）

其中，

A=1+

μγ2（1－R+g）－（1+v+g）（1+mt）2aσ2，

B=

μ（1－γ）2（1－R+g）－（1+v+g）（1+mt－1）2aσ2，

D=

－xt（1+v+g）（xt+1－Rxt+yt+1－y+aσ2zs）aσ2.

本文考慮沒(méi)有噪聲項(xiàng)εt+1=yt+1－y的情況，即εt+1=0.C=C1－C2lt;0表示基本面分析者的每一期信息收集成本低于趨勢(shì)追風(fēng)者.下面通過(guò)考慮外部股票的正供給zs=0的情況來(lái)研究記憶參數(shù)γ對(duì)自適應(yīng)信念系統(tǒng)的影響.

2" 動(dòng)力系統(tǒng)的討論

在這一節(jié)中，研究0≤αlt;1時(shí)系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性和分支情況，排除了α=1的情況，若α=1，則表示投資者從來(lái)不更新他們的信念.

定理1" 動(dòng)力系統(tǒng)（10）存在不動(dòng)點(diǎn)E=0，tanh－βC2，0，tanh－βC2.

定理2" （1）若0lt;γ≤3/4，0lt;μlt;μ1，其中μ1=2aσ2/{（1－γ）［（1+m）（g+v+1）－2（1－R+g）］}，則不動(dòng)點(diǎn)E是局部漸近穩(wěn)定的.當(dāng)μ=μ1時(shí)，E會(huì)產(chǎn)生周期加倍分支；當(dāng)μgt;μ1，E為鞍點(diǎn).

（2）若3/4lt;γlt;1，0lt;μlt;μ2，其中μ2=4aσ2/{（2γ－1）［（1+m）（g+v+1）－2（1－R+g）］}，則不動(dòng)點(diǎn)E是局部漸近穩(wěn)定的.當(dāng)μ=μ2，E會(huì)產(chǎn)生周期加倍分支；當(dāng)μgt;μ2，E為鞍點(diǎn).

定理2說(shuō)明，不動(dòng)點(diǎn)E的穩(wěn)定性區(qū)域是基于做市商的調(diào)整速度以及基本面分析者的均值回饋速率.當(dāng)記憶強(qiáng)度較弱時(shí)，即0lt;γ≤3/4，μlt;μ1時(shí)，穩(wěn)定區(qū)域通常能夠保持穩(wěn)定，當(dāng)參數(shù)μ達(dá)到μ1的臨界值時(shí)，不動(dòng)點(diǎn)E會(huì)經(jīng)歷一個(gè)周期加倍的分支，標(biāo)志著系統(tǒng)的周期性行為發(fā)生變化.進(jìn)一步，當(dāng)μ超過(guò)μ1后，不動(dòng)點(diǎn)E轉(zhuǎn)變?yōu)榘包c(diǎn)，表明在這個(gè)參數(shù)值下，不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性喪失，系統(tǒng)朝更復(fù)雜或不規(guī)則的狀態(tài)發(fā)展.

定理3" 不動(dòng)點(diǎn)E的局部漸近穩(wěn)定區(qū)域?yàn)?/p>

D（γ，a，σ）=（γ，a，σ）：0lt;γ≤3/4，

agt;a1，或3/4lt;γlt;1，agt;a2.

其中：a1=μ（1－γ）（m+1）（v+g+1）－2（1－R+g）/（2σ2）;a2=

μ（2γ－1）（m+1）（v+g+1）－2（1－R+g）/（4σ2）.

定理3說(shuō)明，不動(dòng)點(diǎn)E的穩(wěn)定性受到風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)以及投資者對(duì)超額收益條件方差的預(yù)期影響.在記憶強(qiáng)度較低的情況下，即0lt;γ≤3/4，agt;a1時(shí)，不動(dòng)點(diǎn)E的穩(wěn)定性區(qū)域往往能夠維持其穩(wěn)定性.而在記憶強(qiáng)度較高的區(qū)間，即3/4lt;γlt;1，agt;a2時(shí)，穩(wěn)定區(qū)域通常能夠保持穩(wěn)定.

證明" 為了討論方便，假設(shè)yt+1=xt，ht+1=mt，構(gòu)造映射

F：（xt+1，mt+1，yt+1，ht+1）→（x1，m1，y1，h1）.

式（10）變?yōu)?/p>

x1=A1x+B1y，m1=αm+（1－α）tanhβ2（D1－C），y1=x，h1=m.（11）

其中

A1=1+μγ［2（1-R+g）-（1+v+g）（1+m）］/（2aσ2），

B1=μ（1－γ）［2（1－R+g）－（1+v+g）（1+m）］/（2aσ2），

D1=－xt（1+v+g）（1－R）x2aσ2.

模型（11）在不動(dòng)點(diǎn)E處的雅可比矩陣為

J=A10B10m1xαm1y010000100，

其對(duì)應(yīng)的特征方程（λ為特征根）：λ（λ－α）Γ（λ）=0，Γ（λ）=λ2－A1λ－B1.由于0≤αlt;1，所以只考慮Γ（λ）的兩個(gè)特征根是否在單位圓內(nèi)，參考周義倉(cāng)［19］所給出的Schur-Cohn判據(jù)可得

Γ（1）=1－A1－B1gt;0，（－1）2Γ（－1）=1+A1－B1gt;0，1+B1gt;0，1－B1gt;0.

通過(guò)求解定理2、定理3得證.

3" 數(shù)值分析

選取參數(shù)α=0.5，C=1，R=1.1，g=1.16，考慮記憶參數(shù)γ對(duì)模型（10）的影響.基于定理2，利用MATLAB軟件繪制出（v，μ）所確定的穩(wěn)定區(qū)域，以及隨著μ變化的價(jià)格波動(dòng)圖，如圖1，圖2所示.同樣，基于定理3，繪制出（σ2，α）所確定的穩(wěn)定區(qū)域，以及隨著α變化的價(jià)格波動(dòng)圖，如圖3，圖4所示.

圖1表明：當(dāng)γlt;0.75的情況下，隨著記憶參數(shù)γ的增大，不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定區(qū)域在不斷變大，這意味著市場(chǎng)的穩(wěn)定性有所提升.具體而言，當(dāng)γ=0.25時(shí)，μ大概在1.57處開(kāi)始出現(xiàn)波動(dòng)；當(dāng)γ=0.55時(shí)，μ大概在1.62處開(kāi)始出現(xiàn)波動(dòng).由此說(shuō)明，當(dāng)γlt;0.75的情況下，記憶參數(shù)γ的增大可以減小股票市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng).當(dāng)記憶參數(shù)γ較小，即1－γ較大時(shí)，根據(jù)公式（9）表明投資者對(duì)過(guò)去價(jià)格的變動(dòng)和趨勢(shì)的關(guān)注度增高，更傾向于根據(jù)過(guò)去信息和最新數(shù)據(jù)進(jìn)行決策，這有助于市場(chǎng)價(jià)格的穩(wěn)定.這意味著投資者能夠通過(guò)對(duì)過(guò)去需求變動(dòng)的分析來(lái)制定投資策略，而不是盲目追隨短期趨勢(shì).在這種情況下，市場(chǎng)參與者的決策可能更加穩(wěn)健和理性，從而降低市場(chǎng)波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn).

圖2表明：當(dāng)γgt;0.75的情況下，隨著γ的增大，不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定區(qū)域逐步收縮，這意味著市場(chǎng)的穩(wěn)定性也在減小.當(dāng)γ=0.85時(shí)，μ大概在1.74處開(kāi)始出現(xiàn)波動(dòng)；當(dāng)γ=0.95時(shí)，μ大概在1.63處開(kāi)始出現(xiàn)波動(dòng).由此說(shuō)明當(dāng)γgt;0.75的情況下，記憶參數(shù)γ的減小可以減小股票市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng).當(dāng)記憶參數(shù)γ較大，即1－γ較小時(shí)，根據(jù)公式（9）表明市場(chǎng)投資者對(duì)過(guò)去價(jià)格變動(dòng)和趨勢(shì)的重視程度下降，更傾向于根據(jù)現(xiàn)在信息和最新數(shù)據(jù)進(jìn)行決策.這種策略會(huì)導(dǎo)致投資者對(duì)短期市場(chǎng)變動(dòng)的響應(yīng)更加靈敏，而非過(guò)度依賴(lài)歷史數(shù)據(jù).因此，市場(chǎng)的價(jià)格決策可能表現(xiàn)出更高的即時(shí)性，與此同時(shí)，對(duì)長(zhǎng)期趨勢(shì)的忽視可能會(huì)增加市場(chǎng)的波動(dòng)性.

圖3表明：當(dāng)γlt;0.75的情況下，隨著記憶參數(shù)γ的增大，不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定區(qū)域在不斷變大，這意味著市場(chǎng)的穩(wěn)定性也在增加.當(dāng)γ=0.68時(shí)，a在1.05處開(kāi)始變得平穩(wěn)；當(dāng)γ=0.74時(shí)，a在1.03處開(kāi)始變得平穩(wěn)，說(shuō)明當(dāng)γlt;0.75的情況下，記憶參數(shù)γ的增大可以減小股票市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng).這說(shuō)明在較大的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)下，即投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度較高，投資者更傾向于選擇穩(wěn)定回報(bào)的投資，而不愿意承擔(dān)過(guò)大的風(fēng)險(xiǎn).當(dāng)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)增大時(shí)，投資者的這種行為傾向會(huì)更加突出，會(huì)更積極地尋求穩(wěn)定性和安全性，從而有助于市場(chǎng)的穩(wěn)定.因此，風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的大小在一定程度上影響了市場(chǎng)的穩(wěn)定性和波動(dòng)性.

圖4表明：當(dāng)γgt;0.75時(shí)，隨著記憶參數(shù)γ的增大，不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定區(qū)域在不斷變小，這意味著市場(chǎng)的穩(wěn)定性也在減小.當(dāng)γ=0.76時(shí)，a在1.03處開(kāi)始變得平穩(wěn)；當(dāng)γ=0.95時(shí)，a在1.01處開(kāi)始變得平穩(wěn)，說(shuō)明當(dāng)γgt;0.75的情況下，記憶參數(shù)γ的減小可以減小股票市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng).

為了更好地理解價(jià)格的波動(dòng)過(guò)程，并能清晰地觀察價(jià)格在不同時(shí)間點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性和演變趨勢(shì)，采用相圖的方式來(lái)呈現(xiàn)，如圖5所示.

通過(guò)對(duì)相圖的分析，可以得出以下結(jié)論：在參數(shù)值達(dá)到邊界點(diǎn)時(shí)，股票市場(chǎng)中出現(xiàn)了極限環(huán)現(xiàn)象，其中價(jià)格圍繞一定的范圍波動(dòng).當(dāng)參數(shù)接近邊界點(diǎn)時(shí)，不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定區(qū)域變得非常小，同時(shí)市場(chǎng)價(jià)格在一個(gè)有限的范圍內(nèi)反復(fù)波動(dòng)，形成了極限環(huán).極限環(huán)的存在表明股票市場(chǎng)在邊界點(diǎn)附近具有一定的自適應(yīng)性和非線性特征.市場(chǎng)價(jià)格在極限環(huán)內(nèi)波動(dòng)，是因?yàn)橥顿Y者對(duì)于價(jià)格的預(yù)期和行為會(huì)受到邊界條件的制約，導(dǎo)致價(jià)格在某個(gè)特定范圍內(nèi)波動(dòng).

根據(jù)定理2可以知道當(dāng)μ=μ1或者μ=μ2

時(shí)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)周期加倍分岔現(xiàn)象，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性發(fā)生變化.為了更好地觀察和分析這種現(xiàn)象，制作了周期加倍分岔圖，如圖6所示.

圖6表明：從周期加倍分岔圖中發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了周期加倍點(diǎn)，即當(dāng)參數(shù)變化到一定程度時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期被加倍，之后又進(jìn)一步分叉，形成更加復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)模式.分岔點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)周期成倍遞增.從

圖6（a）可以看出分岔點(diǎn)大概在μ=1.57以及μ=1.68處，從圖6（b）可以看出分岔點(diǎn)大概在μ=1.62以及μ=1.91處，說(shuō)明當(dāng)γlt;0.75的情況下，隨著記憶參數(shù)γ的增大，分岔點(diǎn)在不斷地變大，說(shuō)明穩(wěn)定區(qū)域也在不斷的變大；從圖6（c）可以看出分岔點(diǎn)在μ=1.74以及μ=2.1處，從圖6（d）可以看出分岔點(diǎn)在μ=1.63以及μ=1.93處，說(shuō)明當(dāng)γgt;0.75的情況下，隨著記憶參數(shù)γ的增大，分岔點(diǎn)在不斷的變小，說(shuō)明穩(wěn)定區(qū)域也在不斷的變小.

為了更好地理解系統(tǒng)的穩(wěn)定性和混沌性質(zhì)，根據(jù)系統(tǒng)（10）繪制出的李雅普諾夫指數(shù)圖，如圖7所示.這個(gè)圖可以用來(lái)測(cè)量系統(tǒng)狀態(tài)的敏感程度和預(yù)測(cè)其未來(lái)行為.

李雅普諾夫指數(shù)可以用來(lái)衡量系統(tǒng)的混沌程度.具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)李雅普諾夫指數(shù)都是負(fù)數(shù)時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)存在正的李雅普諾夫指數(shù)時(shí)，系統(tǒng)即呈現(xiàn)混沌.從圖7（a）可以看出μ=1.57

時(shí)系統(tǒng)開(kāi)始發(fā)生混沌，從圖7（b）可以看出μ=1.62時(shí)系統(tǒng)開(kāi)始發(fā)生混沌，這表明，當(dāng)γlt;0.75的情況下，伴隨著記憶參數(shù)γ的增大系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域在不斷增大；從圖7（c）可以看出μ=1.74時(shí)系統(tǒng)開(kāi)始發(fā)生混沌，圖7（d）可以看出μ

=1.63時(shí)系統(tǒng)開(kāi)始發(fā)生混沌，說(shuō)明當(dāng)γgt;0.75時(shí)，隨著記憶參數(shù)γ的增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域在不斷變小.

綜上，當(dāng)γlt;0.75時(shí)，通過(guò)穩(wěn)定區(qū)域圖分析可以看出，隨著記憶參數(shù)γ的增大，穩(wěn)定區(qū)域逐漸擴(kuò)大；進(jìn)一步的，股票市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)圖顯示：隨著記憶參數(shù)γ的增大，價(jià)格的波動(dòng)逐漸減弱.同時(shí)，對(duì)周期加倍分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)圖的聯(lián)合觀察表明，隨著記憶參數(shù)γ的增大導(dǎo)致分岔點(diǎn)在不斷變大，混沌現(xiàn)象出現(xiàn)的閾值也相應(yīng)提高，進(jìn)一步驗(yàn)證了穩(wěn)定區(qū)域隨記憶參數(shù)提升而擴(kuò)大的結(jié)論.相反，γgt;0.75的情況下，穩(wěn)定區(qū)域隨著記憶參數(shù)γ的增加而減少；股票市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)圖則顯示，價(jià)格波動(dòng)隨記憶參數(shù)γ的降低而減少；從周期加倍分岔和李雅普諾夫指數(shù)圖對(duì)比可以觀察

到，記憶參數(shù)γ的增大使得分岔點(diǎn)提前出現(xiàn)，李雅普諾夫指數(shù)表征的混沌開(kāi)始點(diǎn)也隨之前移，從而說(shuō)明穩(wěn)定區(qū)域隨記憶參數(shù)的降低而變大.

4" 結(jié)語(yǔ)

本文主要研究了一種具有長(zhǎng)記憶性的資產(chǎn)定價(jià)模型.考慮了投資者在決策過(guò)程中對(duì)過(guò)去需求波動(dòng)的認(rèn)知與反應(yīng)，從而揭示了市場(chǎng)價(jià)格變動(dòng)所表現(xiàn)出的一定程度的慣性或長(zhǎng)期相關(guān)性.這種現(xiàn)象在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域被稱(chēng)為“長(zhǎng)期記憶效應(yīng)”，對(duì)金融市場(chǎng)的穩(wěn)定性和預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性具有深遠(yuǎn)影響.通過(guò)運(yùn)用離散動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分支理論以及數(shù)值分析等方法，研究了長(zhǎng)記憶性資產(chǎn)定價(jià)模型的內(nèi)在機(jī)制，以及市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)與投資者行為之間的關(guān)系.在研究中得到結(jié)論：記憶參數(shù)在特定區(qū)間的增加會(huì)減小市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng).該結(jié)論表明，當(dāng)投資者的交易行為對(duì)過(guò)去需求波動(dòng)的記憶和反應(yīng)程度減弱時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)幅度會(huì)相應(yīng)降低，從而提高金融市場(chǎng)的穩(wěn)定性.

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［責(zé)任編輯：趙慧霞］