陳挺

［摘 要］高考對平面向量的考查一直以交匯性問題的形式出現(xiàn)，不僅考查向量知識與其他知識的綜合應用，而且考查平面向量的工具性。文章結(jié)合幾則典例，例析平面向量與三角、解析幾何、函數(shù)與不等式的交匯，以提高學生的解題能力，發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

［關鍵詞］平面向量；三角；解析幾何；函數(shù)；不等式

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻標識碼］? A ［文章編號］ 1674-6058（2023）26-0004-04

高考對平面向量的考查一直以交匯性問題的形式出現(xiàn)，既考查了考生對平面向量本身的認識，又考查了平面向量的工具性，因此在高考數(shù)學復習中，教師一定要引導學生關注平面向量交匯性問題。本文舉例說明，以供同仁們參考。

一、與三角的交匯

這類命題一般是以平面向量為載體，巧妙地把平面向量的數(shù)量積問題與三角函數(shù)相關知識糅合在一起，以此來考查考生對這兩部分知識的掌握情況和知識的遷移能力。

析，利用向量數(shù)量積這一工具，結(jié)合三角恒等變換求出三角函數(shù)值，再結(jié)合角的取值范圍得出答案。

點評：本題屬于解三角形問題。已知條件中雖然沒有出現(xiàn)平面向量，但解答時卻引進了平面向量，并應用平面向量的運算法則進行推理，體現(xiàn)了平面向量在解三角形問題中的“工具”作用。

復習建議：對于平面向量與三角函數(shù)的交匯創(chuàng)新試題，復習時應引導學生關注平面向量的運算法則、同角三角函數(shù)的關系、三角恒等變換、解三角形、基本不等式等知識，并強化引參、消元、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法的應用，幫助學生開闊視野，激發(fā)學生的創(chuàng)新意識。

二、與解析幾何的交匯

平面向量與解析幾何都涉及數(shù)和形，對于解析幾何中圖形的重要位置關系（如平行、相交、三點共線、三線共點等）和數(shù)量關系（如距離、面積、角度等）都可以通過向量的運算而得到解決。

點評：本題將三角形的面積公式，同角關系，向量夾角公式，數(shù)量積的坐標表示，向量的模的坐標表示，直線與橢圓的交點的求法，橢圓中的定值問題綜合在一起考查，綜合性極強，具有一定的計算難度。

（1）求[C]的方程；（2）過點[F]且斜率不為零的直線[m]與[C]交于[P、Q]兩點，設[A-1，0]，證明：[AP⊥AQ]。

點評：解析幾何中的兩直線平行、垂直或求夾角問題，一般可以轉(zhuǎn)化為平面向量的坐標運算問題，這體現(xiàn)了平面向量在解析幾何問題中的靈活應用。

復習建議：對于平面向量與圓錐曲線的交匯試題，教師應引導學生在對曲線的定義和性質(zhì)理解的基礎上解題，熟練掌握直線方程、圓錐曲線的概念和性質(zhì)等，深刻體會由向量關系式列出方程是后繼應用韋達定理、函數(shù)的增減性等簡化運算的關鍵。

三、與函數(shù)、不等式的交匯

平面向量與函數(shù)、不等式等知識的交匯試題，當平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于未知數(shù)的關系式。在此基礎上，可以設計出有關函數(shù)、不等式的綜合問題。

（1）求[y]關于[x]的函數(shù)解析式；

點評：本題以平面向量基本定理的應用為背景，通過平面向量運算構建函數(shù)，并在此基礎上考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，具有“向量搭臺，函數(shù)唱戲”的特點。

復習建議：平面向量與函數(shù)、不等式等知識交匯的試題大多考查了平面向量基本定理和向量的數(shù)量積的運算公式的應用，以及函數(shù)的恒成立問題的轉(zhuǎn)化求解。合理運算、化簡，轉(zhuǎn)化為與二次函數(shù)相關的圖象與性質(zhì)的應用是解答題目的關鍵。因此，復習此類問題，教師應引導學生培養(yǎng)轉(zhuǎn)化思想和換元思想，不斷提高分析問題和解決問題的能力。尤其要掌握兩種轉(zhuǎn)化途徑：一是利用向量平行或垂直的充要條件進行轉(zhuǎn)化；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化。

總之，通過以上交匯性問題的探索，應讓學生知道，平面向量交匯性問題不僅考查向量知識與其他知識的綜合應用，而且考查平面向量的工具性，是一類兼顧基礎性與綜合性考查的好題。因此，在復習平面向量時，教師既要注重學生基礎知識的鞏固和基本技能的提高，又要注意平面向量方法的滲透。