PISA（Programme for International Student Assessment）測試是國際經(jīng)濟合作與發(fā)展組織（OECD）組織的國際測評，主要是為了探究15歲學生使用閱讀、數(shù)學和科學知識應對現(xiàn)實世界挑戰(zhàn)問題解決的能力。自2000年開始，PISA測試每三年一輪。由于疫情的關(guān)系，原本于2021年開展的以數(shù)學為主測學科的PISA測試推遲到了2022年。2022年的PISA數(shù)學測試，關(guān)注不同經(jīng)濟發(fā)展地區(qū)的學生數(shù)學素養(yǎng)的現(xiàn)狀，尤其是素養(yǎng)較低的學生的發(fā)展現(xiàn)狀，向所有的參與國提供并描述學生素養(yǎng)發(fā)展的情況。

2022年，PISA測試對數(shù)學素養(yǎng)的界定是，15歲學生在不同的情境下建立數(shù)學模型、運用數(shù)學知識和解釋數(shù)學現(xiàn)象的素養(yǎng)，尤其是能用數(shù)學來描述、預測和解釋現(xiàn)象，并能意識到數(shù)學在世界中的作用等[1]。

一、PISA數(shù)學測試框架概述

2022年的PISA數(shù)學測試框架指向青少年未來生活所必需的技能。2022年的PISA數(shù)學測試在分值比例方面做了如下的規(guī)定：數(shù)學推理和數(shù)學問題解決分別占據(jù)了25%和75%（如表1）。在數(shù)學內(nèi)容方面，“改變和關(guān)系”“空間和形狀”“數(shù)與量”“不確定性和數(shù)據(jù)”的占比平均，各占25%。

該測試框架具有如下特點：

（一）創(chuàng)設特定情境，構(gòu)建數(shù)學問題。

PISA測試的框架主要針對四類情境：個體情境、社會情境、職業(yè)情境和科學情境[3]。

個體情境聚焦于個體在家庭、同伴或個人實踐活動中所遇到的問題或挑戰(zhàn)場景。比如，烹調(diào)食物的準備階段，購物，游戲，有關(guān)個體健康、旅行、運動，個體的計劃和財經(jīng)事宜等。

社會情境聚焦于個體生活的地區(qū)、國家或者全球的社區(qū)場景。比如，測量、消費、建筑材料的準備、公共交通、質(zhì)量監(jiān)控、計劃、調(diào)查、建筑設計、和職業(yè)有關(guān)的決策等。

職業(yè)情境聚焦于工作的場景。如跟職業(yè)有關(guān)的所有工作，包括非技能的工作、高水平的職業(yè)工作等。

科學情境聚焦于自然或技術(shù)世界中的數(shù)學使用場景。如天氣或氣候、生態(tài)、醫(yī)療、空間科學、基因科學等。

（二）聚焦基于推理的認知要素。

模型建構(gòu)的三個循環(huán)是數(shù)學素養(yǎng)的核心，圍繞數(shù)學推理而展開[4]，包括三個重要的概念：建模、運用、解釋與評估。這三個概念指向數(shù)學建模周期中積極解決問題的三個認知要素。當然，這三個要素并不是僅有數(shù)學推理的認知要素。

數(shù)學建模素養(yǎng)是指個體認識到了使用數(shù)學的時機，并為特定情境下的問題提供數(shù)學模型［5］。在形成數(shù)學情境的過程中，個體要決定他們從哪里如何抽取出數(shù)學要素來進行分析、建構(gòu)和解決問題。學生建立起從現(xiàn)實世界到數(shù)學世界的聯(lián)系，建立數(shù)學結(jié)構(gòu)、數(shù)學表征和數(shù)學特定化處理。他們需要推理出問題情境的前提、假設和限制。比如，從列表中選擇合適的數(shù)學模型，意識到現(xiàn)實世界中問題的數(shù)學要素，并提取出重要的要素等。

數(shù)學運用素養(yǎng)是指個體使用數(shù)學概念、事實、程序和推理等來解決數(shù)學問題，獲取數(shù)學結(jié)論[6]。在運用數(shù)學概念、事實、程序和推理來解決問題的過程中，個體要使用數(shù)學的步驟和程序來解決問題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學的解決方法、找到問題解決的結(jié)果。學生要嘗試重構(gòu)問題情境、建立規(guī)則、找尋數(shù)學之間的關(guān)聯(lián)、創(chuàng)造圍繞數(shù)學的討論。比如，使用數(shù)學工具、數(shù)學公式來解決問題；反思數(shù)學爭論，解釋和確認數(shù)學結(jié)果；評價所觀察到的、所建構(gòu)的模式的重要性。

數(shù)學解釋與評估是指個體反思數(shù)學問題解決的過程、結(jié)果或結(jié)論，在真實情境的問題解決過程中進行解釋的能力[7]。這包括了把數(shù)學的解決方式或推理過程返回到問題的情境當中，判斷這些結(jié)果是否合理，并在真實問題情境中進行解釋。比如，解釋為什么數(shù)學結(jié)果或結(jié)論對于解決真實情境中的問題有作用；對數(shù)學概念和數(shù)學問題解決路徑中的限制條件有所理解；使用數(shù)學思維和計算思維進行預測，并為探究提供證據(jù)、監(jiān)測和對比可能的解決路徑。

（三）體現(xiàn)重要數(shù)學內(nèi)容和數(shù)學主題。

數(shù)學內(nèi)容和數(shù)學能力是用來解決現(xiàn)實環(huán)境中的有意義問題的關(guān)鍵。為此，自2012年開始，在PISA數(shù)學測試中的內(nèi)容指代的是廣義范圍內(nèi)的問題、數(shù)學結(jié)構(gòu)和學校典型數(shù)學課程中所包含的數(shù)學現(xiàn)象。數(shù)學內(nèi)容包括改變和關(guān)系、空間和形狀、數(shù)與量、不確定性和數(shù)據(jù)等四個方面[8]。2022年的測試為數(shù)學內(nèi)容擬定了四個主題，這些主題是對數(shù)學具體內(nèi)容的強調(diào)。它們包括：增長的現(xiàn)象（改變和關(guān)系）、幾何的估算（空間和形狀）、計算機模擬（數(shù)與量）、有條件的決策（不確定性和數(shù)據(jù)）［3］。（如圖1）

數(shù)與量，是數(shù)學中的重要內(nèi)容。它包括事物屬性的量、關(guān)系、情境和事務，理解這些數(shù)量關(guān)系的各種表征，基于數(shù)和量開展決策、闡釋和探究。世界的數(shù)量關(guān)系包括理解測量、計算、大數(shù)、指標、大小以及數(shù)的趨勢和范式。數(shù)量化是描述世界多方面特征的方法。它有利于把情境轉(zhuǎn)化成模型，對變化和關(guān)系進行檢驗，描述和表征空間和形狀，組織和解釋數(shù)據(jù)，對于不確定性進行測量。其中，計算機模擬是重要主題。在數(shù)學和統(tǒng)計以及相似的系統(tǒng)中都包括一些不能被簡單確認的復雜問題，數(shù)學和統(tǒng)計學都會涉及一些不容易解決的復雜問題，其間涉及大量因素，而所有這些因素都會在同一系統(tǒng)中并行。在當今世界，越來越多的人使用算法數(shù)學驅(qū)動的計算機模擬來解決這些問題。

不確定性和數(shù)據(jù)，常見于科學、技術(shù)和生活情境。不確定性是許多問題情境中的常見現(xiàn)象，人們常常會使用概率和統(tǒng)計等方法來處理這種不確定性。它包括：識別物體運動過程中的變化位置，對這種變化有量化的感受；承認測量中的不確定性和誤差，了解概率情況；針對不確定性為中心的情境，建模、解釋和評價并得出結(jié)論。其中，有條件的決策是重要主題，它表明了學生在建模時所做出的假設或關(guān)系會影響到后續(xù)的結(jié)論。

改變和關(guān)系，存在于世界萬物中。在多數(shù)情況下，變化會隨著時間推移而發(fā)生；在少數(shù)情況下，一個事物的變化會跟另外一個事物的變化相關(guān)。這些情況包括了躍遷式的變化、持續(xù)的變化。一些關(guān)系是持久存在的或者是恒定的。了解變化和關(guān)系，就要做到理解變化的基本類型，意識到變化的發(fā)生，使用合適的數(shù)學模型來描述和預測變化。這意味著，用適當?shù)墓絹砟M改變和關(guān)系，以及創(chuàng)造、解釋和闡述表征關(guān)系的圖表。其中，增長的現(xiàn)象是重要主題。比如了解氣候變化的威脅、細菌爆發(fā)的危險，意識到線性和非線性的模式關(guān)系。

空間和形狀，存在于視覺和物理世界的現(xiàn)象當中。比如圖案、對象的屬性、位置和方向、對象的表示、視覺信息的解碼和編碼、導航和與真實形狀及其表示的動態(tài)交互等。這些內(nèi)容超越了傳統(tǒng)幾何，包含數(shù)學領(lǐng)域中的各種元素，如空間可視化、測量等。其中，幾何的估算是重要主題。學生要處理不規(guī)則的形狀或者對稱的形狀，估計它們的面積和體積。

二、PISA數(shù)學測試樣題分析

（一）圍繞內(nèi)容創(chuàng)設完整情境中的系列問題。

情境是PISA數(shù)學測試的主場景，PISA測試為學生構(gòu)建了一個個真實的情境，并在每個真實的情境下提供了若干個圍繞這個情境所發(fā)生的數(shù)學問題。在此基礎(chǔ)上，搭建起一個問題庫。

比如在“購物決定”樣題中，首頁為這個問題提供了一個真實的場景——購物[8]。在正式的數(shù)學測試之前，PISA試題提供了兩頁的介紹，對于在現(xiàn)實生活中常見的行為進行了完全真實的復述——安迪購物的時候?qū)τ谠u分的回顧、總結(jié)和歸納，這些信息的收集和整理有助于后續(xù)安迪的判斷。

購物決定

請閱讀簡介。

安迪在線上購買耳機，她看中了一對喜歡的耳機。不過，她發(fā)現(xiàn)，雖然瀏覽的人很少，但產(chǎn)品獲得了很多糟糕的評論。大概有25%的人給了1～2顆星（如圖2）。

為了幫她自己判斷到底買不買這款耳機，安迪研究了1～2顆星的評論者，發(fā)現(xiàn)一些評論者并沒有針對產(chǎn)品的質(zhì)量或者功能進行評論。她把1～2顆星的評論者的評論進行了分組，并把它們總結(jié)成表格（如表2）。

在完成了情境設置之后，有關(guān)比例的計算問題（見下頁）才開始出現(xiàn)。第一問要求根據(jù)統(tǒng)計出來的人數(shù)進行百分比的計算。由于列表本身歸納比較細致，為了解決問題，學生還需要針對列表中的類型進行進一步的規(guī)整再進行計算。第二問要求學生結(jié)合圖2和表2進行概率的推斷。此時，學生在計算的時候，就要考慮總結(jié)表格中所描述的所有情況均是來自1～2顆星的評論者，而這些評論者也只占25%的比率。如果要購買的話，就要考慮這個晚到與沒到的比例問題。當然，其間信息很多，學生也可以利用參與點評的總?cè)藬?shù)163來進行計算，推斷出有10%左右的可能性。

購物決定（續(xù)）

安迪看了所有評論者的評語，意識到給1～2顆星的評論者大多在抱怨糟糕的質(zhì)量或者晚到、沒到等事情?；谠诰€評論圖和總結(jié)表，回答下面的問題。

問題1-1：大概有百分之幾的評論者認為產(chǎn)品質(zhì)量不好？

問題1-2：在給1～2顆星的評論者當中，有多少評論者是在抱怨產(chǎn)品晚到或沒到？

問題2：安迪在考慮耳機晚到或不到的問題。根據(jù)在線評論圖和總結(jié)表，耳機晚到或沒到的可能性有多大？請用分數(shù)或百分比來回答。

（二）聚焦學生的數(shù)學推理能力設置試題。

數(shù)學推理能力是本次測試的重點。PISA試題樣例“次方之美”正好體現(xiàn)了對數(shù)學推理能力的關(guān)注[8]，這套題聚焦于數(shù)學情境中從簡單到復雜的推理過程，讓學生通過找尋變化現(xiàn)象中的線索來進行推理與發(fā)現(xiàn)。

“次方之美”的第一道題向?qū)W生描述了次方的基本含義，并希望學生利用對于次方的含義的理解，結(jié)合自己所學的數(shù)學知識，將這個次方的新規(guī)則運用到新的問題情境當中去，解決一個新的問題。學生需要在掌握次方的含義基礎(chǔ)上來推斷[816]與[815]之間、810與8之間的關(guān)系。

次方之美

當你把相同的數(shù)進行重復相乘，你就會使用到次方來進行描述。

比如：8×8×8×8=[84]（4個8相乘）。

以及：7×7×7×7×7×7=[76]（6個7相乘）。

參考“次方之美”，判斷對錯。

“次方之美”的第二道題進一步闡述了次方的其他規(guī)則，闡述了7的1次方、2次方到9次方的各種神奇的變化，并展示了個位上數(shù)字的變化規(guī)律，比如7、9、3、1、7、9、3、1、7等。學生首先需要發(fā)現(xiàn)個位上的數(shù)字依次是7、9、3、1等，推理出每4個數(shù)字就會出現(xiàn)一次循環(huán)的規(guī)律，而后找尋出在[7190]中循環(huán)幾次，從而推理出結(jié)果是9。

次方之美（續(xù)）

下面是7的1～9次方。要留心數(shù)增加的規(guī)律！這些數(shù)的最后一個數(shù)字遵循了一個規(guī)律。研究該規(guī)律并回答如下的問題。

[71]= 7

[72]= 49

[73]= 343

[74]= 2 401

[75]= 16 807

[76]= 117 649

[77]= 823 543

[78]= 5 764 801

[79]= 40 353 607

關(guān)于“次方之美”的問題，請選擇一個正確的選項。

[7190]的最后一個數(shù)字是（ ）。

A.1 B.3 C.7 D.9

又如樣題“總是、有時、從不”[8]，首頁是描述有關(guān)陳述的三種類型，并闡述其中的概念界定。隨后給出了若干的陳述，讓學生去推斷這些陳述在該規(guī)則范疇內(nèi)的準確度。

總是、有時、從不

陳述一般會分成三類：

①總是正確的陳述。

②有時正確的陳述。

③從不正確的陳述。

陳述“能被4整除的數(shù)可以被2整除”總是正確的，因為2是4的因數(shù)。

陳述“能被9整除的數(shù)可以被6整除”有時是正確的。比如36可以被9和6整除，但27只能被9整除，但不能被6整除。

陳述“兩個奇數(shù)之和是奇數(shù)”從不正確，因為兩個奇數(shù)之和總是偶數(shù)。

判斷表3中的陳述是總是正確、有時正確還是從不正確。

下面的樣題給出了“有時正確”的陳述，并讓你列出證據(jù)來支持這種觀點。這也是在本邏輯框架下對于觀點的證據(jù)的選擇和支持。

總是、有時、從不（續(xù)）

為表4陳述的各個情況提供一個例子。

（三）關(guān)注到計算思維在數(shù)學課程和教學中的作用。

計算思維在數(shù)學課程和教學中具有重要作用。學生要在實踐活動中利用計算思維。計算思維包括模式的認知、對結(jié)構(gòu)的解構(gòu)和判斷哪一個計算工具可以用來分析或解決問題，并將算法定義為解決路徑中的重要組成部分。

PISA測試的試題考慮在實際生活中的數(shù)據(jù)的動態(tài)使用，并在例題中融入了相關(guān)的思考。比如“儲蓄模擬”的試題[8]。該試題利用計算機測試的優(yōu)勢，提供了動態(tài)的計算模擬的過程，當然這項測試也是在計算機測試的情境下開展的。

儲蓄模擬

請閱讀簡介。

西捷和她的父母正在討論如何存錢，來確保她在大學期間的花銷。他們發(fā)現(xiàn)有一個在線的儲蓄模擬的應用程序——儲蓄模擬器，可以幫助分析他們希望的結(jié)果。

模擬會考慮如下四個要素。

①每月存款：家庭每月存入儲蓄賬戶的金額。

②儲蓄期：家庭每月存入儲蓄賬戶的存儲月數(shù)。

③年利率：存儲賬戶的收益率。

④儲蓄總額：儲蓄期結(jié)束時儲蓄的總額。

該應用程序允許用戶做如下三個模擬。

①總儲蓄：知道每月存款、年利率和儲蓄期后可算出儲蓄的總額。

②每月存款：在給定時間段和利率后達到預期儲蓄總額所需的每月存款。

③儲蓄期：在給定每月存款和利率后達到預期儲蓄總額所需的總期限（月數(shù)）。

儲蓄模擬（續(xù)1）

使用儲蓄模擬器包括如下兩個步驟：第一，選擇你想要模擬的；第二，輸入有關(guān)的變量數(shù)據(jù)。

這個模擬器允許你一次存儲五個模擬結(jié)果。你可以試著點擊一下進行模擬（如圖3）。

假設這些是你模擬出來的數(shù)據(jù)結(jié)果。

直到這里，問題才緩緩出來。在此，問題是基于西捷的模擬數(shù)據(jù)及其得到的結(jié)論進行判斷。首先，基于西捷自己的模擬數(shù)據(jù)結(jié)果，西捷得出了自己的判斷。學生要針對西捷的判斷進行判斷，看看這種模擬的結(jié)果及其推論的準確性如何。其次，學生還需要自行開展模擬，超越西捷的模擬數(shù)據(jù)，做出另外的可能判斷，并提供證據(jù)來反駁或者論證西捷的想法是否正確。從測試試題可見，這種新型的基于計算機測試的數(shù)據(jù)模擬，為學生提供了重要的參考，計算思維蘊含在試題當中，卻又超出了試題，重點在于真實世界的問題解決，而計算與數(shù)據(jù)模擬則蘊含其中。

儲蓄模擬（續(xù)2）

西捷做了一些模擬，她說：“我發(fā)現(xiàn)，當我沒有利息且每月存款翻倍時，儲蓄期的長度減半。但當我獲得利息且每月存款翻倍時，儲蓄期不會減半。”

基于西捷的模擬來選擇正確的選項，開展你自己的模擬來回答下列問題。

1.完成如下的陳述：

西捷的觀察（ ）。

A.總是正確的

B.有時候正確，依賴于利率

2.完成如下的陳述：

對于一個給定總額的儲蓄需求和定期存款，利率的增加會縮短儲蓄期，此時（ ）。

A.每個月的支出會變小

B.每個月的支出會變大

3.在問題2中，為你的陳述提供證據(jù)。

三、PISA數(shù)學測試的啟示

2022年的PISA數(shù)學測試結(jié)合21世紀素養(yǎng)，在原有數(shù)學測試的基礎(chǔ)上做了變革，為各國和不同地區(qū)的教育者提供了重要的啟示，為改進數(shù)學教育教學和評價提供了重要參考。

（一）以素養(yǎng)為導向開展數(shù)學教育教學。

2022年P(guān)ISA數(shù)學測試框架將未來生活技能視為終極的目標，這個理念將會作為后續(xù)多年測試的重要旨歸。

2022年，我國2022年版課標頒布，其間建立了以核心素養(yǎng)為導向的數(shù)學課程。正如世界各國所注重的未來生活技能，核心素養(yǎng)也是結(jié)合我國發(fā)展特點而定下的最終目標，具有跨學科、跨學段的重要意義和作用。在數(shù)學教育教學過程中，要以數(shù)學學科的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)作為導向，定位于我國學生的核心素養(yǎng)的終極目標，時刻謹記有關(guān)培養(yǎng)人的終極目標，才能把每一個數(shù)學教育和教學的要點落到實處。

（二）重視創(chuàng)設真實情境中的數(shù)學問題。

2022年P(guān)ISA測試重視真實情境中數(shù)學問題的創(chuàng)設，在給定的測試中，有多個樣題均關(guān)注到了真實情境中的問題，例如儲蓄、網(wǎng)上購物等問題均是個體在日常生活場景中經(jīng)常會遇到的問題。

2022年版課標的頒布為我國數(shù)學教育還原真實的情境提供了重要契機。我國的數(shù)學課程標準要求落實“綜合與實踐”的內(nèi)容，要求教師以問題為載體，開展學生自主實踐活動，實現(xiàn)跨學科之間的關(guān)聯(lián)，落實和提升學生解決真實問題的能力。

（三）在問題解決中聚焦學生數(shù)學建模思維。

2022年P(guān)ISA的數(shù)學測試基于計算機環(huán)境開展，開啟了有關(guān)未來自主、互動的計算機測試的新紀元。計算機的測試設置了場景，允許學生模擬數(shù)據(jù)，并據(jù)此得出相應的結(jié)論。學生在問題解決的過程中，運用了數(shù)學思維來針對真實世界中的變量和要素進行重組，建立數(shù)學模型。這種數(shù)學建模思維能力是公民在未來生存的過程中亟須的一種能力。

我國課程標準也同樣重視對學生數(shù)學思維的整體落實。當然，教師要充分利用教科書來研發(fā)適合本班學生的數(shù)學問題，教科書中的大多數(shù)問題都是經(jīng)過加工刪減了變量，結(jié)構(gòu)相對良好的問題，對于這些問題，學生只需要直接利用現(xiàn)成的數(shù)學公式或者數(shù)學模型即可。為此，教師要不斷開拓問題情境的廣度、深度和難度，通過變換變量、增加生活中常見的被刪減掉的變量等方式，回歸到真實世界中的場景，把問題解決的步驟延長化，并開展具體的思考和研究，從而進一步運用數(shù)學建模思想。

總之，2022年的PISA數(shù)學測試打開了一個新視野，突破了原有的數(shù)學內(nèi)容領(lǐng)域，基于情境拓展了已有的數(shù)學領(lǐng)域范疇，并為數(shù)學測試提供了以推理為核心的三大問題解決認知要素，其樣例還原了真實問題場景，為我國未來義務教育階段的數(shù)學教育提供了重要的啟示。

參考文獻：

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[4] OECD. PISA 2022 Mathematics Frame-work [P/OL]. [2022-11-08].https：//pisa2022-maths.oecd.org/index.html#Formulate.

[5] OECD. PISA 2022 Mathematics Frame-work [P/OL]. [2022-11-08].https：//pisa2022-maths.oecd.org/index.html#Employ.

[6] OECD. PISA 2022 Mathematics Frame-work [P/OL]. [2022-11-08].https：//pisa2022-maths.oecd.org/index.html#Interpret.

[7] OECD. PISA 2022 Mathematics Frame-work [P/OL]. [2022-11-08].https：//pisa2022-maths.oecd.org/index.html#Contexts.

[8] OECD. PISA 2022 Mathematics Frame-work [P/OL]. [2022-11-08].https：//pisa2022-maths.oecd.org/index.html#Examples.

（作者單位：徐欣、周欣，北京師范大學實驗小學；林之立，北京師范大學中國基礎(chǔ)教育協(xié)同創(chuàng)新中心；趙寧寧，北京師范大學文學院。趙寧寧是本文的通訊作者） J