于數(shù)學(xué)圖象在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，因此圖象分析題成為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測的常見題型。其中，指向函數(shù)關(guān)系的折線圖象是圖象分析題的重要類型，也是小學(xué)畢業(yè)專題復(fù)習(xí)的難點內(nèi)容。

函數(shù)關(guān)系折線圖象分析題，是緊密聯(lián)系學(xué)生生活、知識整合度高、信息多元化的綜合性問題解決的一類題型。問題解決評價指標(biāo)主要指向信息獲取與梳理、關(guān)系分析與表征兩個維度，包括解讀圖象獲取數(shù)學(xué)信息、選擇有效信息，理解圖象中數(shù)學(xué)信息之間的聯(lián)系提出數(shù)學(xué)問題，能基于圖象將正比例關(guān)系加以分析和表達。問題情境一般有生活情境和數(shù)學(xué)情境兩類，生活情境主要包括行程問題、工程問題和容器注水問題等，數(shù)學(xué)情境主要包括平面圖形勻速運動涉及的面積問題等。盡管函數(shù)關(guān)系折線圖象問題的素材不一，表現(xiàn)形式也多變，但都以正比例函數(shù)關(guān)系為基礎(chǔ)。

實際教學(xué)顯示，學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)關(guān)系折線圖象時主要存在三方面的困難：一是對正比例函數(shù)圖象的傾斜度含義不清晰，影響對線和點的認識；二是無法分析具體情境中特殊點的位置變化和數(shù)量關(guān)系；三是在多個圖象之間的內(nèi)部聯(lián)系和不同類別的圖象表征轉(zhuǎn)換方面存在困難。相應(yīng)地，專項復(fù)習(xí)進階可以劃分為三階：讀懂圖象中的基本信息和問題，梳理相關(guān)問題的核心元素，明確圖象中線和點的實際含義，能關(guān)注線的傾斜程度以及數(shù)量關(guān)系；能尋找圖象中的特殊點，如起點、交點、轉(zhuǎn)折點、終點、對應(yīng)點，根據(jù)點的運動路線和位置變化分析相關(guān)數(shù)量關(guān)系；能讀懂各種圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)合各類實際情境，綜合運用各種數(shù)量關(guān)系解決問題。根據(jù)學(xué)情，這類內(nèi)容的專項復(fù)習(xí)建議用2～3課時完成。

一、傾斜度：感悟正比例函數(shù)圖象中“k”的定性與定量

函數(shù)關(guān)系折線圖象研究的是兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。其表現(xiàn)形式類似于折線統(tǒng)計圖，但其本質(zhì)是一段一段正比例函數(shù)圖象的組合體。圖象中的每一段都對應(yīng)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，具體到圖象就是每一段圖象的傾斜度。因此，理解正比例函數(shù)圖象的傾斜度是學(xué)生理解圖象分析題目的關(guān)鍵之一。

（一）單幅正比例函數(shù)圖象的傾斜度。

1.解讀信息：一輛汽車在公路上行駛，行駛時間和路程如表1所示。

2.猜想：觀察表1，如果用手勢表示這幾組數(shù)據(jù)的變化趨勢，會是怎樣的圖象？

3.畫圖：在給出的方格練習(xí)紙（圖略）上描出表格里各組數(shù)據(jù)對應(yīng)的點，并連點成線。

4.討論：每個點對應(yīng)哪兩個量？這樣的點有多少個？這些點所表示的路程和時間是怎樣變化的？什么是不變的？你是怎么看出來的？

5.小結(jié)：直線上每個點所對應(yīng)的路程和時間的比值是一定的，都是80，所以這條直線的傾斜度就表示速度，速度是一定的。

6.鞏固練習(xí)。

（1）判斷圖1中的圖象是否表示路程和時間成正比例關(guān)系；圖1右圖中，表示路程和時間成正比例關(guān)系的線段，每一段的速度是多少？

（2）判斷圖2中A車和B車的速度哪個快，你是怎么看出來的？C車的速度比A車快、比B車慢，圖象可能是什么樣的？

（二）多幅正比例函數(shù)圖象的傾斜度。

提出要求：先填表（如圖3），然后在同一張方格練習(xí)紙上分別畫出對應(yīng)的圖象。畫完之后，觀察這些圖象，你有什么發(fā)現(xiàn)？

組織觀察：這些直線有什么變化？你覺得與什么有關(guān)？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線的傾斜程度與比值有關(guān)。教師引導(dǎo)學(xué)生聚焦直線的傾斜程度：傾斜程度是從哪里看出來的？比值與直線和橫軸的夾角有什么樣的關(guān)系呢？

在上述教學(xué)中，一方面，幫助學(xué)生進一步理解正比例函數(shù)的圖象是一條直線，數(shù)量關(guān)系中有一個量是保持不變的，如速度不變；另一方面，幫助學(xué)生體驗正比例函數(shù)圖象中直線的傾斜程度代表不變量的快慢或者多少，如速度越快，直線越陡；速度越慢，直線越緩。同時，通過單幅正比例函數(shù)圖象的“折線”圖，認識了分段路程和不同時段速度變化的表征形式；并通過單幅正比例函數(shù)圖象中A、B、C車速的比較，對直線的傾斜度決定速度快慢有了定性認識，而在多幅正比例函數(shù)圖象中，通過對傾斜度和比值的比較，幫助學(xué)生對“k”產(chǎn)生了定量意識。

二、關(guān)鍵點：把握圖象讀取中五種特殊點的信息

由于函數(shù)關(guān)系折線圖象包含了分段函數(shù)圖像，所以需要幫助學(xué)生從線走向點。圖象中的五種特殊點分別是圖象的起點、交點、轉(zhuǎn)折點、終點、對應(yīng)點，這些點對應(yīng)著相關(guān)運動的變化、位置變化等。通過對關(guān)鍵點的分析，可以進一步理解運動的全過程，進一步梳理數(shù)量關(guān)系，嘗試解決問題。

（一）在對比讀圖中明確關(guān)注要素。

1.如圖4，根據(jù)信息描述選擇圖象。

2.討論：在閱讀圖象時，要關(guān)注什么？

3.小結(jié)：（1）關(guān)注兩軸——橫軸（自變量）、縱軸（因變量），明晰變量之間的關(guān)系；（2）關(guān)注起點、交點、終點、轉(zhuǎn)折點、對應(yīng)點；（3）關(guān)注分段圖象的變化，了解每段圖象中蘊含的信息。

（二）動態(tài)圖象中感悟點、線、面之間的關(guān)系。

如圖5，在長方形ABCD中，點E從點A開始，以每秒3厘米的速度沿長方形的邊AB、BC、CD勻速移動。隨著點E的移動，三角形ADE的面積會不斷發(fā)生變化。它的面積變化情況如圖6所示。

1.點E從點A開始移動，（ ）秒后到達點B。

2.圖6中3秒到8秒表示點E在長方形的邊（ ）上移動。

3.長方形ABCD的面積是多少？

在讀圖時，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)以下三個關(guān)注點分析圖象。

1.關(guān)注兩軸（橫軸、縱軸），判斷數(shù)量關(guān)系：面積和時間。

2.關(guān)注起點、兩個轉(zhuǎn)折點、終點的含義：起點對應(yīng)點A、第一個轉(zhuǎn)折點對應(yīng)點B、第二個轉(zhuǎn)折點對應(yīng)點C、終點對應(yīng)點D。

3.關(guān)注分段變化的信息含義：第一段表示點E在線段AB上，三角形ADE的面積越來越大；第二段表示點E在線段BC上，三角形ADE的面積不變；第三段表示點E在線段CD上，三角形ADE的面積越來越小。

在上述情境中，學(xué)生經(jīng)歷閱讀圖象的全過程，明確關(guān)鍵點的作用，掌握閱讀函數(shù)圖象的一般方法。這樣，可以幫助學(xué)生把分段函數(shù)圖象與實際情境對應(yīng)起來，重點關(guān)注分段后各關(guān)鍵點表示的含義；在數(shù)學(xué)情境中兼顧了動態(tài)圖的變化，幫助學(xué)生感悟點、線、面之間的關(guān)系。

三、聯(lián)系圖：調(diào)用生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)經(jīng)驗

教學(xué)中，要善于把生活情境、科學(xué)情境和數(shù)學(xué)情境結(jié)合起來，綜合調(diào)用分析。通過生活情境激活經(jīng)驗常識，通過科學(xué)情境調(diào)取科學(xué)原理，通過數(shù)學(xué)情境表征綜合圖象，加強各類圖象的交互聯(lián)結(jié)，尋找解決問題的突破口。

有兩個相同的長方體鐵塊，它們有兩個面為正方形。把鐵塊分別放入與它們等高的兩個相同的空圓柱體容器內(nèi)。如圖7所示，鐵塊分別按照兩種方向放置?，F(xiàn)在以v立方厘米/秒的速度向容器中勻速注水，直至容器剛好注滿水。容器中水深h（厘米）與注水的時間t（秒）的變化記錄如圖8所示。

1.圖7中的兩種放置方式分別對應(yīng)圖8中的哪幅折線關(guān)系圖？請選擇，并解釋你的想法。

2.請根據(jù)相關(guān)信息計算出鐵塊的體積。

學(xué)生通過對圖7①的解讀，不僅要得出“長方體與圓柱體等高”的信息，而且要聯(lián)系科學(xué)常識、生活經(jīng)驗，知道等高條件下所注水的體積是勻速變化的，這樣就能和圖8中的B建立聯(lián)系，得出長方體的高為10厘米。同理，通過對圖7②的解讀，可以與圖8中的A建立聯(lián)系，得出長方體底面（如圖7①所示放置時）的長和寬為6厘米，再用長方體體積計算公式解決鐵塊體積的問題。其間，需要學(xué)生調(diào)動空間想象、推理論證、數(shù)據(jù)處理等綜合分析能力。

（作者單位：浙江寧波市奉化區(qū)教師進修學(xué)校，寧波市奉化區(qū)莼湖街道爾儀小學(xué)）