李弘博 陳俊智 陳明清 王子航 王 昊

(昆明理工大學(xué) 國土資源工程學(xué)院，昆明 650093)

采空區(qū)失穩(wěn)是一種典型的非線性變化過程，出現(xiàn)于20世紀(jì)七十年代的突變理論對于分析這種非線性問題具有較好的效果[1-2]。

在使用突變理論分析礦山采空區(qū)支撐系統(tǒng)穩(wěn)定性方面，國內(nèi)外學(xué)者已取得了一定的成果。QIN等[3]建立了煤礦的頂板—礦柱支撐系統(tǒng)力學(xué)突變失穩(wěn)模型，給出了煤礦采空區(qū)失穩(wěn)的判據(jù)及位移突變計(jì)算公式。趙延林等[4]建立了基于突變理論的采空區(qū)重疊頂板穩(wěn)定性強(qiáng)度折減法，提出了采空區(qū)重疊頂板安全系數(shù)的概念。徐曉鼎等[5]將礦柱破壞分為彈性核區(qū)與屈服區(qū)，構(gòu)建了石膏礦的頂板—礦柱支撐系統(tǒng)力學(xué)突變失穩(wěn)模型，給出了石膏礦采空區(qū)失穩(wěn)的判據(jù)。姜立春等[6]發(fā)現(xiàn)含結(jié)構(gòu)面礦柱會沿結(jié)構(gòu)面破壞，因此將礦柱劃分為結(jié)構(gòu)面上部彈性核區(qū)與結(jié)構(gòu)面下部屈服區(qū)，構(gòu)建了含結(jié)構(gòu)面的頂板—礦柱支撐系統(tǒng)力學(xué)突變失穩(wěn)模型，給出了含結(jié)構(gòu)面的礦柱失穩(wěn)判據(jù)。

對文獻(xiàn)進(jìn)行總結(jié)可發(fā)現(xiàn)目前使用較多的采空區(qū)頂板—支護(hù)系統(tǒng)力學(xué)模型分別為：將頂板視為固支梁，分析支撐系統(tǒng)或頂板本身破壞[7-9]；將系統(tǒng)視為安裝在柱上的三鉸拱，分析頂板破壞[10-11]；將礦柱視為彈簧，頂板視為梁，分析頂板破壞[12]。但目前對頂板完全破壞階段研究較多，對頂板處于拱冒型破壞階段的研究較少。

同時(shí)在使用突變理論建立包含多個(gè)影響因素的采空區(qū)穩(wěn)定性綜合評價(jià)與失穩(wěn)預(yù)測模型方面也取得了一定成果[13-14]，說明突變理論可以有效分析影響采空區(qū)穩(wěn)定性的多個(gè)因素。

云南某鉛鋅礦礦體絕大多數(shù)賦存于礦區(qū)內(nèi)F1斷裂與F2斷裂中間區(qū)域，該組斷裂在礦區(qū)內(nèi)控制長度為3 730 m，向礦區(qū)外南東-北西方向繼續(xù)延伸，延伸長度大于5 300 m。該組斷層垂直斷距高達(dá)600～900 m，破碎帶寬20～60 m。受該組特殊斷層影響，該礦山內(nèi)采場基本處于該組斷層中間區(qū)域。受特殊地質(zhì)情況影響，該礦山采場存在大量處于兩斷層中間區(qū)域的重疊頂?shù)装?。?jì)算重疊頂?shù)装搴侠砗穸葘ΦV山安全高效開采具有重大意義。因此，開展分布于兩斷層中間區(qū)域的采空區(qū)失穩(wěn)機(jī)理研究，具有重要的理論和工程意義。

1 系統(tǒng)力學(xué)模型

1.1 采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)破壞特征

對礦山采空區(qū)進(jìn)行調(diào)查后發(fā)現(xiàn)：采空區(qū)重疊頂?shù)装逯饕茐男问奖憩F(xiàn)為上部采空區(qū)底板先發(fā)生底鼓現(xiàn)象，隨后下部采空區(qū)頂板發(fā)生局部拱冒型破碎，在拉應(yīng)力作用下，重疊頂?shù)装骞懊靶推茐姆秶粩鄶U(kuò)大，最終重疊頂?shù)装灏l(fā)生整體冒落型破壞。

根據(jù)礦山實(shí)際地質(zhì)條件及其開采方式，繪制如圖1所示的礦山實(shí)際情況模型，考慮到實(shí)際情況模型較復(fù)雜，因此將采空區(qū)及其周圍區(qū)域簡化為如圖2所示的簡化模型。

圖1 原始礦山立體模型

1.2 采空區(qū)簡化模型數(shù)值模擬方案確定

建立與簡化模型對應(yīng)的數(shù)值模擬模型，分析有無斷層對采空區(qū)頂板應(yīng)力變化的影響。模型上部采空區(qū)頂板埋深為310 m，上下采空區(qū)參數(shù)一致，均為高25 m、長60 m、寬30 m，兩采空區(qū)重疊頂?shù)装搴穸?0 m。在兩采空區(qū)重疊頂?shù)装鍍蓚?cè)及中部按不同高度共設(shè)置27個(gè)應(yīng)力監(jiān)測點(diǎn)，分析開挖形成采空區(qū)后，有無斷層對頂板兩端承受壓應(yīng)力的影響。

計(jì)算模型如圖3所示：ZG_001與ZG_004為分布于礦體兩側(cè)的斷層，ZG_002、ZG_003與ZG_005為圍巖，ZG_006與ZG_007為礦體。計(jì)算方案1為該模型內(nèi)無斷層，即ZG-001與ZG-004采用下盤圍巖參數(shù)計(jì)算；計(jì)算方案2為模型內(nèi)存在兩條斷層，即ZG-001與ZG-004采用斷層參數(shù)。計(jì)算用參數(shù)如表1所示。

表1 巖體力學(xué)參數(shù)表

圖3 數(shù)值模型

將數(shù)值計(jì)算模型x方向與y方向位移與速度場均固定為0，將數(shù)值計(jì)算模型底面的位移與速度場固定為0，數(shù)值計(jì)算模型頂面不做約束，在模型頂面施加豎直向下大小為8.06 MPa的均布荷載代替計(jì)算模型上部覆巖產(chǎn)生的壓應(yīng)力。

1.3 數(shù)值模擬結(jié)果分析

1)應(yīng)力分析

對計(jì)算方案1的開采后采空區(qū)重疊頂?shù)装錤向應(yīng)力云圖(計(jì)算結(jié)果如圖4所示)與計(jì)算方案2的開采后采空區(qū)重疊頂?shù)装錤向應(yīng)力云圖(計(jì)算結(jié)果如圖5所示)進(jìn)行對比分析，可發(fā)現(xiàn)與礦體兩側(cè)不存在斷層的情況相比，礦體兩側(cè)存在斷層的情況下，采空區(qū)重疊頂?shù)装鍍?nèi)受到的拉應(yīng)力更大，且采空區(qū)重疊頂?shù)装鍍?nèi)受到拉應(yīng)力影響的范圍更大。

圖4 計(jì)算方案1采空區(qū)重疊頂?shù)装錤向應(yīng)力云圖

圖5 計(jì)算方案2采空區(qū)重疊頂?shù)装錤向應(yīng)力云圖

2)位移分析

對計(jì)算方案1的開采后采空區(qū)重疊頂?shù)装錢向位移云圖(計(jì)算結(jié)果如圖6所示)與計(jì)算方案2的開采后采空區(qū)重疊頂?shù)装錢向位移云圖(計(jì)算結(jié)果如圖7所示)進(jìn)行對比分析，可發(fā)現(xiàn)與礦體兩側(cè)不存在斷層的情況相比，礦體兩側(cè)存在斷層的情況下，采空區(qū)重疊頂?shù)装鍍?nèi)水平方向位移量相對更大，且采空區(qū)重疊頂?shù)装鍍?nèi)水平方向位移涉及范圍相對更大。

圖6 計(jì)算方案1采空區(qū)重疊頂?shù)装錢方向位移云圖

圖7 計(jì)算方案2采空區(qū)重疊頂?shù)装錢方向位移云圖

綜合以上分析結(jié)果可知：在斷層影響下，重疊頂?shù)装鍍?nèi)受到的拉應(yīng)力與水平方向位移均更大。

2 采空區(qū)頂板部分失穩(wěn)的非線性力學(xué)特征

2.1 采空區(qū)頂板系統(tǒng)力學(xué)模型構(gòu)建

本文主要分析重疊頂?shù)装灏l(fā)生拱冒性破壞階段穩(wěn)定性。因此，假設(shè)空區(qū)周圍巖體為剛性，將頂板巖層視為固支梁，頂板巖梁彎曲變形以彈性破壞為主[15]，破壞發(fā)生在一個(gè)平面內(nèi)，服從平截面假設(shè)。同時(shí)假設(shè)頂板未破壞時(shí)，發(fā)生彎曲伸長后，頂板厚度隨之減小。采空區(qū)頂板力學(xué)模型可簡化為如圖8所示的力學(xué)模型。圖中：L為采場跨度，m；h為采場頂板厚度，m；q為采場頂板所承受由自重及上部巖體壓力產(chǎn)生的垂直均布荷載，kPa；p為采場頂板巖梁受到的側(cè)向水平推力，kN；F為采場頂?shù)装鍘r梁受到的拉應(yīng)力(假設(shè)該拉應(yīng)力集中作用于巖梁兩側(cè)與巖壁的交點(diǎn)處)，MPa。

圖8 固支梁力學(xué)結(jié)構(gòu)模型

2.2 頂板系統(tǒng)總勢能函數(shù)

由力學(xué)模型可知[16]，系統(tǒng)總勢能由頂板巖梁的彎曲應(yīng)變能、側(cè)向水平荷載做功、垂直均布荷載產(chǎn)生的勢能、下部產(chǎn)生的垂直向上作用于巖梁與圍巖連接處的集中應(yīng)力做功組成。

設(shè)頂板巖梁在中部產(chǎn)生的最大撓度為u(單位：mm)。

根據(jù)邊界條件：

(1)

頂板巖梁的撓曲線方程可寫為：

(2)

式中：x為頂板巖梁端點(diǎn)到未變形軸線上任意點(diǎn)的長度，m；L為頂板巖梁長度，m；f(x)為頂板巖梁在x處對應(yīng)的撓曲線方程；u為頂板巖梁在中部產(chǎn)生的最大撓度，mm。

頂板巖梁的彎曲應(yīng)變能V1為：

(3)

(4)

(5)

式中：K(x)為巖梁彎曲后，以巖梁左側(cè)端點(diǎn)為原點(diǎn)的撓曲線在x點(diǎn)處的曲率；E為頂板巖梁的彈性模量，GPa；D為頂板巖梁抗彎剛度，GPa；μ為泊松比；h為頂板巖梁厚度，m。

頂部巖梁兩側(cè)水平荷載做功V2為：

(6)

式中：P為頂板巖梁受到的側(cè)向水平推力，kN。

頂部垂直均布荷載產(chǎn)生的勢能V3為：

(7)

式中：q為采場頂板所承受由自重及上部巖體壓力產(chǎn)生的垂直均布荷載，kPa。

下部產(chǎn)生的垂直向上作用于巖梁與圍巖連接處的集中應(yīng)力做功V4為：

V4=Fε

(8)

式中：F為采場頂?shù)装鍘r梁受到的拉應(yīng)力，MPa；ε為采場頂板巖梁厚度變化量，m。

頂板巖梁厚度變化ε為(頂板巖梁在應(yīng)力作用下會發(fā)生如圖9所示的微量形變)：

圖9 頂板巖梁長度變化示意圖

因頂板巖梁變化較小，因此撓曲線函數(shù)f(x)一半的長度可近似等同為AC段的長度。

已知在θ較小時(shí)，θ≈tanθ≈sinθ，因此由三角函數(shù)可推知：

(9)

式中：L′為頂板巖梁變形后總長度，m。

假設(shè)頂板巖梁變形處于線彈性階段，因此：

Lh=L′h′

(10)

式中：h′為頂板巖梁變形后的厚度，m。

對h′進(jìn)行泰勒展開，同時(shí)略去過小項(xiàng)，最終可得頂板巖梁厚度變化為：

(11)

所以，下部產(chǎn)生的垂直向上應(yīng)力做功V4為：

(12)

所以，將上述各勢能函數(shù)帶入上式，最終頂板巖梁支撐系統(tǒng)勢能函數(shù)表達(dá)式為：

V=V1-V2-V3-V4=

(13)

(14)

因此可轉(zhuǎn)化為尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)勢函數(shù)形式：

(15)

式中：x為狀態(tài)參量，a、b為控制參量，說明該頂板巖梁支撐系統(tǒng)穩(wěn)定性問題符合尖點(diǎn)突變模型。

頂板巖梁支撐系統(tǒng)的分叉集方程，即平衡曲面重疊部分在平面上的投影為：

Δ=4a3+27b2=0

(16)

描述平衡曲面的方程式(16)是一個(gè)3次方程，該類方程或有1個(gè)實(shí)根，或有3個(gè)實(shí)根，實(shí)根的數(shù)目和性質(zhì)可由判別式Δ和a、b是否取零值而定。將平衡曲面x3+ax+b=0繪出，如圖10所示。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)是以x、a、b為坐標(biāo)的三維空間中的一點(diǎn)為代表，則相點(diǎn)必定位于該曲面上，且總是位于曲面的頂葉或底葉，因?yàn)橹腥~是對應(yīng)于不穩(wěn)定狀態(tài)。即Δ>0時(shí)，系統(tǒng)位于上葉，處于穩(wěn)定狀態(tài)；Δ=0時(shí)，系統(tǒng)位于中葉，處于不穩(wěn)定狀態(tài)；Δ<0時(shí)，系統(tǒng)位于下葉，處于穩(wěn)定狀態(tài)。

圖10 尖點(diǎn)突變模型

根據(jù)式(14)與式(15)，可知尖點(diǎn)突變模型的控制參量為：

(17)

將控制參量代入式(16)，同時(shí)進(jìn)行簡便計(jì)算，省略部分恒大于零的相，可知：

(18)

2.3 頂板巖梁突變失穩(wěn)分析

1)系統(tǒng)受力分析

根據(jù)采空區(qū)頂板受力情況，將其所受各力計(jì)算方式分別如下：

a、巖梁自重對頂板產(chǎn)生的豎向壓力q：

q=γh

(19)

式中：γ為頂板巖梁自身容重；h為頂板巖梁自身高度。

b、頂板兩側(cè)受水平荷載P[17]：

P=σh

(20)

式中：σ為頂板兩側(cè)受水平荷載；h為頂板巖梁自身高度。

研究表明，總體上我國大陸淺層地殼最大水平主應(yīng)力(σH)與最小水平主應(yīng)力(σh)隨埋深的增大而增大，與埋深存在一定的線性關(guān)系，并擬合得到了一定的公式[18]，部分公式如下：

(21)

2)系統(tǒng)失穩(wěn)的必要條件

由圖10可知，系統(tǒng)失穩(wěn)時(shí)必須有a≤0，在此條件下，平衡點(diǎn)有條件跨越分叉集函數(shù)，進(jìn)而引起系統(tǒng)失穩(wěn)，因此a≤0是系統(tǒng)失穩(wěn)的必要條件。為保證系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，則必有a>0。

3)系統(tǒng)失穩(wěn)的充分條件

由尖點(diǎn)突變理論可知：當(dāng)系統(tǒng)失穩(wěn)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)必須滿足分叉集方程，處于臨界狀態(tài)[19]。

對表2進(jìn)行分析，系數(shù)處于穩(wěn)定狀態(tài)必須保證分叉集函數(shù)不跨過臨界點(diǎn)，即Δ>0時(shí)。

表2 尖點(diǎn)突變理論狀態(tài)表

因此，系統(tǒng)失穩(wěn)的臨界條件為Δ=0。

即系統(tǒng)失穩(wěn)充分條件為Δ<0。

根據(jù)式(17)可推知，導(dǎo)數(shù)a′>0，因此函數(shù)f=a為增函數(shù)，故h1

(22)

根據(jù)處于斷層中間區(qū)域采空區(qū)的破壞特征，式(22)在實(shí)際的工程應(yīng)用中可用于以下方面：

(1)對于正在作業(yè)的采場，可使用式(22)對采空區(qū)頂板穩(wěn)定性進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測。

(2)對未開采的采場，可利用同水平已開采采場監(jiān)測數(shù)據(jù)，計(jì)算合理頂板厚度。

(3)對于已開采完畢的采場，可使用式(22)判斷現(xiàn)有頂板是否穩(wěn)定，若頂板不穩(wěn)定可通過加固頂板等措施保障頂板穩(wěn)定性，保證后續(xù)采空區(qū)處理時(shí)作業(yè)的安全性。

3 工程實(shí)例

該礦山采空區(qū)剖面可簡化為圖1所示的結(jié)構(gòu)，該礦山由于礦體賦存原因，大部分采空區(qū)頂板為礦體，存在部分采空區(qū)頂板為中厚層狀白云巖。同樣由于礦體賦存原因，該礦山采空區(qū)并無較統(tǒng)一參數(shù)。采空區(qū)頂板厚度一致性較好，而且形狀較為規(guī)整，因此可簡化為矩形巖梁結(jié)構(gòu)。

對數(shù)值模擬分析，發(fā)現(xiàn)兩采空區(qū)重疊頂?shù)装宥瞬坑袛鄬忧闆r下頂板兩端中部受壓應(yīng)力比無斷層情況下相同位置受壓應(yīng)力減少了0.5 MPa，因此，認(rèn)為下部產(chǎn)生的垂直向上作用于巖梁與圍巖連接處的集中應(yīng)力F大小為0.5 MPa。將全部參數(shù)代入式(22)計(jì)算得到最小頂板厚度為5.5 m，取頂板安全系數(shù)為2[20]，由此得到頂板安全厚度為11 m。根據(jù)采礦設(shè)計(jì)，該頂板厚度為10 m<11 m，考慮到該礦山采取爆破開采，會對頂板產(chǎn)生損傷，因此認(rèn)為該頂板處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

經(jīng)過對礦山進(jìn)行的實(shí)地調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該采空區(qū)頂板已發(fā)生部分破壞垮塌。證明理論計(jì)算值略大于實(shí)際情況，這是由于假設(shè)將頂板巖梁視為均勻彈性介質(zhì)，未考慮巖體內(nèi)節(jié)理裂隙對整體強(qiáng)度的影響。同時(shí)對采場上部巖體進(jìn)行了均一化處理，并未考慮上部存在的少量礦體對地應(yīng)力的影響。且未考慮爆破等施工過程對頂板的損傷情況。但總體來說，理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況吻合較好，計(jì)算結(jié)果能滿足工程中監(jiān)控頂板穩(wěn)定性的要求。

4 結(jié)論

1)將采空區(qū)重疊頂?shù)装逑到y(tǒng)簡化為固支梁力學(xué)結(jié)構(gòu)，根據(jù)尖點(diǎn)突變模型構(gòu)建支撐系統(tǒng)勢能函數(shù)，研究在兩斷層中間區(qū)域的采空區(qū)頂板穩(wěn)定性。

2)根據(jù)采空區(qū)頂板支撐系統(tǒng)失穩(wěn)的充要條件，確定采空區(qū)頂板失穩(wěn)判據(jù)，保障采場內(nèi)作業(yè)人員和設(shè)備的安全。

3)運(yùn)用采空區(qū)頂板穩(wěn)定性計(jì)算模型，分析采空區(qū)頂板穩(wěn)定性，理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況基本一致，建立的模型可為預(yù)防處于兩斷層中間區(qū)域的采空區(qū)頂板失穩(wěn)分析提供理論依據(jù)。