李 蕓,高廣波,單馨雨,黃勇剛

(吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院,湖南 吉首 416000)

等離激元自Kronig和Pines提出后就備受關(guān)注[1-2].1957年,Ritchie通過(guò)研究快速電子穿過(guò)光學(xué)厚金屬膜時(shí)的能量損失特性,預(yù)測(cè)了金屬表面存在自由電子的集體振蕩[3],進(jìn)而提出了表面等離激元的概念.1968年,Ritchie將Wood發(fā)現(xiàn)的金屬光柵異常現(xiàn)象[4]歸因于表面等離激元共振[5].1970年,Kreibig運(yùn)用表面等離激元的概念研究了金屬納米顆粒的光學(xué)性質(zhì)[6].表面等離激元是金屬中自由電子和電磁場(chǎng)相互作用、共諧振蕩形成的電磁模式,可以將電磁場(chǎng)約束在金屬表面附近的納米尺度范圍內(nèi)[7],具有極大的局域場(chǎng)增強(qiáng)效應(yīng),因而引起了廣大學(xué)者的研究興趣[8-15].

表面等離激元不僅可以改變光子局域態(tài)密度,還可以調(diào)控附近原子的自發(fā)輻射[16-18].例如,趙運(yùn)進(jìn)等[17]研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)二能級(jí)原子位于納米球表面或金屬板上方2 nm時(shí),其自發(fā)輻射增強(qiáng)因子可超過(guò)105.田錳[18]探究了納米球附近二能級(jí)原子的非馬爾科夫自發(fā)輻射動(dòng)力學(xué)特性,結(jié)果顯示,不同尺寸的金屬納米柱中表面等離激元對(duì)自發(fā)輻射的調(diào)控作用明顯不同,當(dāng)納米柱的高度變低時(shí),峰值頻率急劇藍(lán)移,當(dāng)納米柱半徑減小時(shí),峰值頻率急劇紅移.此外,二能級(jí)原子和表面等離激元的相干相互作用可以形成束縛態(tài),此時(shí),處于激發(fā)態(tài)的原子不會(huì)完全衰減到基態(tài),而是演化到束縛態(tài)上[19].不同于二能級(jí)原子,V型三能級(jí)原子存在2個(gè)躍遷通道,其自發(fā)輻射動(dòng)力學(xué)可能呈現(xiàn)出量子干涉效應(yīng).因此,探究納米銀球附近三能級(jí)原子的自發(fā)輻射動(dòng)力學(xué)具有重要意義.筆者擬采用格林函數(shù)預(yù)解算子方法,探討原子躍遷頻率及原子-納米銀球表面距離對(duì)V型三能級(jí)原子的自發(fā)輻射動(dòng)力學(xué)影響,并在此基礎(chǔ)上,研究納米銀球附近V型三能級(jí)原子的自發(fā)輻射動(dòng)力學(xué)特性.

1 模型與理論

圖1 模型示意Fig. 1 Model Representation

三能級(jí)系統(tǒng)模型如圖1所示.V型三能級(jí)原子位于納米銀球附近,2個(gè)上能級(jí)為|a1〉,|a2〉,下能級(jí)為基態(tài)|g〉,納米銀球的半徑R=20 nm.原子和納米銀球均置于真空中,真空中相對(duì)介電函數(shù)ε1=1,銀的介電函數(shù)為ε2.

在高頻時(shí),除了自由電子響應(yīng)外,殼層電子也會(huì)對(duì)電磁場(chǎng)產(chǎn)生強(qiáng)烈的響應(yīng)[20-21],通常采用Drude-Lorentz模型進(jìn)行描述[20]:

設(shè)V型三能級(jí)原子的2個(gè)上能級(jí)|a1〉和|a2〉均可向基態(tài)|g〉躍遷.在偶極近似和旋波近似下,系統(tǒng)的Hamiltonian可表達(dá)為[22]

H=H0+H1.

其中:H0為非相互作用部分,

H1為相互作用部分,

這里ωi為上能級(jí)|ai〉到基態(tài)|g〉的躍遷頻率,di為對(duì)應(yīng)的躍遷偶極矩陣元.

其中t時(shí)刻系統(tǒng)處于|aj,0〉態(tài)的幾率幅可由時(shí)間演化算符U(t)的矩陣元表示,即

cj(t)=〈aj,0|U(t)|a1,0〉.

(1)

由推遲和超前格林函數(shù)可知,時(shí)間演化算符

(2)

利用投影算符技術(shù),格林函數(shù)矩陣元Gij(z)=〈ai,0|G(z)|aj,0〉(i,j=1,2),滿足

(3)

其中

(4)

這里

Γij(z)=2πIm(gij(z)θ(z)),

gij(z)可用光子并矢格林函數(shù)G(r0,r0,ω)表達(dá),即

對(duì)于納米銀球,光子并矢格林函數(shù)G(r0,r0,ω)可通過(guò)半解析方法獲得,詳細(xì)可參考文獻(xiàn)[23-24].

解方程組(3),可得

其中F1=ω-ω1-R11(ω) ,F2=ω-ω2-R22(ω).將G11(ω)和G21(ω)代入(1),(2)式,可得

(5)

其中動(dòng)力學(xué)演化譜

(6)

2 結(jié)果

2.1 原子躍遷頻率對(duì)自發(fā)輻射動(dòng)力學(xué)的影響

首先研究不同躍遷頻率對(duì)三能級(jí)原子自發(fā)輻射動(dòng)力學(xué)的影響.為了簡(jiǎn)單,不特別說(shuō)明的情況下,設(shè)V型原子的2個(gè)躍遷通道均具有平行的躍遷偶極矩,方向均沿著x方向,大小分別為d1=24 D,d2=26 D,原子離納米銀球表面距離h=1 nm.由(5),(6)式可知,激發(fā)態(tài)幾率幅隨時(shí)間的演化可由動(dòng)力學(xué)演化譜得到.為此,筆者計(jì)算了不同躍遷頻率下的Γij(ω)和Δij(ω),結(jié)果如圖2所示.

圖2 原子-納米銀球距離為1 nm時(shí)原子的自發(fā)輻射和能級(jí)移動(dòng)Fig. 2 Spontaneous Radiation and Energy Level Shift of Atoms at 11 nm Atom-Nanosphere Distance

從圖2(a)可知,Γ22(ω)稍大于Γ11(ω),且Γ12(ω)處于Γ22(ω)和Γ11(ω)之間.這主要是因?yàn)?當(dāng)偶極矩平行時(shí),Γij(ω)∝didj,d2(26 D)稍大于d1(24 D).此外,圖2(a)中,Γij(ω)(i,j=1,2)均在ω=3.652 eV附近取極大值,這主要是納米銀球中表面等離激元共振模式的貢獻(xiàn).從圖2(b)可知,在Γij(ω)的峰值附近,Δij(ω)發(fā)生急劇變化,遠(yuǎn)離峰值后,Δij(ω)隨頻率緩慢變化,這主要是由于Δij(ω)是Γij(ω)的希爾伯特變換.從圖2(b)還可知,對(duì)于不同i和j,Δij(ω)∝didj,Δij(ω)與y=0具有相同的交點(diǎn),在交點(diǎn)以外,有|Δ11(ω)|<|Δ12(ω)|<|Δ22(ω)|.

接下來(lái),研究原子躍遷頻率分別遠(yuǎn)離和靠近Γij(ω)峰值頻率時(shí)的自發(fā)輻射動(dòng)力學(xué)特性.當(dāng)原子的2個(gè)躍遷頻率均遠(yuǎn)離Γij(ω)峰值頻率時(shí),即ω1=3.33 eV和ω2=3.22 eV時(shí),原子的演化譜和動(dòng)力學(xué)結(jié)果如圖3所示.

從圖3(a)可知,動(dòng)力學(xué)演化譜S1(ω)和S2(ω)均呈現(xiàn)出明顯的雙峰結(jié)構(gòu),不同的是,S1(ω)的2個(gè)峰值均為正值,而S2(ω)的2個(gè)峰值為一正一負(fù).這主要是由于初始系統(tǒng)處于|a1態(tài),即t=0時(shí),由(5)式可知,演化譜S1(ω)的積分為1,而S2(ω)的積分為0.

圖3 原子的演化譜和動(dòng)力學(xué)及用洛倫茲函數(shù)擬合后的結(jié)果(ω1=3.33 eV,ω2=3.22 eV)Fig. 3 Evolution Spectrum and Dynamics of Atoms and Results After Fitting with Lorentz Function

從圖3(b)可知:t時(shí)刻,系統(tǒng)仍然處于|a1態(tài)的幾率幅P1(t)隨時(shí)間的增加邊振蕩邊衰減,呈現(xiàn)出明顯的衰減拉比振蕩特征;處于|a2態(tài)的幾率幅P2(t)由初始的0逐漸增大到峰值(0.7左右)后,也發(fā)生衰減拉比振蕩.

為了理解P1(t)和P2(t)的動(dòng)力學(xué)特性,采用雙洛倫茲函數(shù)擬合S1(ω)和S2(ω),即

由圖3(c),(d)可知,Si(ω)均能用2個(gè)洛倫茲函數(shù)完美擬合.擬合函數(shù)分別為

將S1,appr(ω)代入(5)式,并利用洛倫茲函數(shù)性質(zhì),可得

(7)

由(7)式可知,|a1態(tài)的幾率幅除了隨時(shí)間指數(shù)衰減外,還以頻率ω12-ω11隨時(shí)間振蕩.從圖3(e)可知,|a1態(tài)幾率幅的數(shù)值解與近似解擬合較好.類似地,從圖3(f)可知,|a2態(tài)幾率幅的數(shù)值解與近似解也擬合較好.由(7)式可知,當(dāng)|ω12-ω11|?(γ11+γ12)時(shí),即振蕩頻率遠(yuǎn)大于衰減率時(shí),原子處于|a1態(tài)的幾率幅隨著時(shí)間的變化為衰減拉比振蕩,并呈現(xiàn)出明顯的非馬爾科夫特性.

物理上,初始處于|a1態(tài)的原子,在t時(shí)刻仍然處于|a1態(tài)可通過(guò)2種方式實(shí)現(xiàn).第1種路徑為|a1→|g→|a1,即原子首先從|a1態(tài)躍遷到基態(tài)|g輻射光子,隨后吸收該光子從基態(tài)|g躍遷到|a1態(tài);第2種路徑為|a1→|g→|a2→|g→|a1,即原子從|a1態(tài)躍遷到基態(tài)|g輻射光子,隨后吸收光子躍遷到|a2態(tài),再輻射光子回到基態(tài)|g,最后吸收光子躍遷到|a1態(tài).因此,系統(tǒng)存在2種不同的躍遷通道,可能呈現(xiàn)出明顯的干涉效應(yīng).

當(dāng)原子的2個(gè)躍遷頻率靠近峰值頻率時(shí),即ω1=3.6 eV和ω2=3.652 eV時(shí),原子的演化譜和動(dòng)力學(xué)結(jié)果如圖4所示.

從圖4(a)可知,類似于圖3(a),S1(ω)和S2(ω)也呈現(xiàn)出明顯的雙峰結(jié)構(gòu),S1(ω)的2個(gè)峰值均為正值,而S2(ω)的2個(gè)峰值為一正一負(fù).不同的是,與圖3(a)相比,圖4(a)的峰值較小,尤其是低頻處的峰值.

從圖4(b)可知:t時(shí)刻,系統(tǒng)仍然處于|a1態(tài)的幾率幅P1(t)隨著時(shí)間的增加也邊振蕩邊衰減,但很快就變?yōu)橹笖?shù)衰減而無(wú)振蕩特征;處于|a2態(tài)的幾率幅P2(t)也出現(xiàn)類似的動(dòng)力學(xué)特性.

圖4 原子的演化譜和動(dòng)力學(xué)及用洛倫茲函數(shù)擬合后的結(jié)果(ω1=3.6 eV,ω2=3.652 eV)Fig. 4 Evolution Spectrum and Dynamics of Atoms and Results Fitted with Lorentz Function

為了進(jìn)一步理解P1(t)和P2(t)隨時(shí)間的演化特征,也采用雙洛倫茲函數(shù)分別擬合S1(ω)和S2(ω),得到

擬合結(jié)果如圖4(c),(d)所示.圖4(c)中,擬合結(jié)果S1,appr(ω)與精確解S1(ω)幾乎完美重合.類似地,圖4(d)中,擬合結(jié)果S2,appr(ω)與精確解S2(ω)也重合較好.從圖4(e),(f)可知,|a1態(tài)和|a2態(tài)原子的動(dòng)力學(xué)數(shù)值解與近似解均擬合較好.

2.2 原子-納米銀球表面距離對(duì)自發(fā)輻射動(dòng)力學(xué)的影響

2.1節(jié)中,筆者研究了距離為1 nm時(shí)的V型三能級(jí)原子動(dòng)力學(xué)特性,本節(jié)中,距離增大到2 nm,V型三能級(jí)原子的2個(gè)躍遷頻率仍然取ω1=3.6 eV和ω2=3.652 eV.

當(dāng)原子-納米銀球表面距離為2 nm時(shí),原子的自發(fā)輻射和能級(jí)移動(dòng)結(jié)果如圖5所示.

圖5 原子-納米銀球距離為2 nm時(shí)原子的自發(fā)輻射和能級(jí)移動(dòng)Fig. 5 Spontaneous Radiation and Energy Level Shift of Atoms at 2 nm Atom-Nanosphere Distance

從圖5可知,相較于距離為1 nm時(shí)的結(jié)果,距離為2 nm時(shí),自發(fā)輻射增強(qiáng)譜的峰值和能級(jí)移動(dòng)的峰值均急劇降低,且均降低為1 nm時(shí)的1/8左右.

當(dāng)原子-納米銀球表面距離為2 nm時(shí),原子的演化譜和動(dòng)力學(xué)結(jié)果如圖6所示.

圖6 原子-納米銀球表面距離為2 nm時(shí)原子的演化譜和動(dòng)力學(xué)及用洛倫茲函數(shù)擬合后的結(jié)果Fig. 6 Evolution Spectrum and Dynamics of Atoms at 2 nm Atom-Nanospere Distance and Results Fitted with Lorentz Function

從圖6(a)可知,自發(fā)輻射動(dòng)力學(xué)演化譜S1(ω)和S2(ω)的2個(gè)主峰之間距離較近,且在2個(gè)主峰的左邊均存在1個(gè)次要的峰.這一特征不同于圖4(a)中距離為1 nm時(shí)的雙峰結(jié)果.

從圖6(b)可知,|a1態(tài)的幾率幅P1(t)和|a2態(tài)的幾率幅P2(t)隨著時(shí)間的增加也呈現(xiàn)出衰減拉比振蕩特征.與距離為1 nm時(shí)的結(jié)果相比,距離為2 nm時(shí)的振蕩頻率較低,衰減較快.

為了理解上述動(dòng)力學(xué)特征,采用3個(gè)洛倫茲函數(shù)的和來(lái)擬合S1(ω)和S2(ω),即

最終得到擬合參數(shù)如下:對(duì)于S1,A11=0.649 7,ω11=3.548 9,γ11=0.053 5,A12=0.437 0,ω12=3.624 3,γ12=0.010 1,A13=0.022 4,ω13=3.730 1,γ13=0.028 4;對(duì)于S2,A21=0.307 4,ω21=3.542 6,γ21=0.041 9,A22=-0.487 0,ω22=3.626 2,γ22=0.009 5,A23=-0.238 0,ω23=3.694 9,γ23=0.105 5.

從圖6(c),(d)可知,進(jìn)行洛倫茲函數(shù)擬合后,S1(ω),S2(ω)的數(shù)值解與近似解稍有差別.

對(duì)于動(dòng)力學(xué),近似演化譜給出的激發(fā)態(tài)|ai的幾率幅

(8)

從圖6(e),(f)可知,|a1態(tài)幾率幅、|a2態(tài)幾率幅的數(shù)值解與近似解均擬合較好.

(8)式為讀者理解動(dòng)力學(xué)的緩慢振蕩和快速衰減特征提供了重要依據(jù).例如,對(duì)于S1(ω),擬合參數(shù)A13遠(yuǎn)小于A11和A12,表明中心頻率為ω11和ω12的2個(gè)主峰對(duì)譜的貢獻(xiàn)較大.相較于距離為1 nm時(shí)的結(jié)果,距離為2 nm時(shí)的|ω11-ω12|較小,導(dǎo)致振蕩頻率較低,且距離為2 nm時(shí)的半高寬(γ11=0.053 55 eV,γ12=0.010 12 eV)較大,導(dǎo)致衰減較快.

3 結(jié)論

筆者采用格林函數(shù)預(yù)解算子方法,研究了納米銀球附近V型三能級(jí)原子的自發(fā)輻射動(dòng)力學(xué)特性.初始處于激發(fā)態(tài)|a1的原子有2個(gè)可能的躍遷通道回到|a1態(tài),分別是|a1→|g→|a1和|a1→|g→|a2→|g→|a1,系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)呈現(xiàn)出明顯的量子干涉效應(yīng).原子的躍遷頻率和原子到納米銀球表面的距離,對(duì)V型三能級(jí)原子的自發(fā)輻射動(dòng)力學(xué)具有重要的影響.動(dòng)力學(xué)演化譜均呈現(xiàn)出2個(gè)主峰,且高頻峰的寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于低頻峰的寬度,隨著距離的增大,2個(gè)主峰之間的頻率差減小,當(dāng)躍遷頻率接近等離激元共振頻率時(shí),原子的演化譜峰值降低,尤其是低頻峰.此外,筆者采用多個(gè)洛倫茲函數(shù)的和擬合了動(dòng)力學(xué)演化譜,解釋了動(dòng)力學(xué)邊振蕩邊衰減的特征,并證明了振蕩頻率由演化譜峰值頻率差決定,而衰減的快慢主要由演化譜的2個(gè)主峰寬度決定.