吳 翔，丁海平

（蘇州科技大學(xué) 江蘇省結(jié)構(gòu)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 蘇州 215011）

工程場(chǎng)地的土層地震反應(yīng)分析是地震安全性評(píng)價(jià)工作中的重要組成部分，在進(jìn)行場(chǎng)地地震反應(yīng)分析時(shí)，土體的動(dòng)力本構(gòu)關(guān)系、模型尺寸和網(wǎng)格劃分、邊界條件，以及地震動(dòng)輸入等都是需要考慮的問(wèn)題。

在通常的土層地震響應(yīng)分析中，常采用基于一維剪切土層模型等效線性化的波動(dòng)頻域分析方法[1]；對(duì)地表地形起伏變化的場(chǎng)地，一般采用二維場(chǎng)地模型的時(shí)域線性分析。事實(shí)上，土體的非線性對(duì)地震響應(yīng)影響很大。Drucker 和Prager 于1952 年提出了考慮靜水壓力影響的廣義Mises 屈服與破壞準(zhǔn)則，被稱為Drucker-Prager（DP）準(zhǔn)則[2]，后經(jīng)Sandler、Krajcinovic 等人[3-4]修正后被廣泛使用。隨著對(duì)DP 模型研究的不斷深入[5-8]，更符合巖土材料特性的Extended Drucker-Prager（EDP）模型開(kāi)始被廣泛使用[9]。宋宏偉、Luo Chuan 等[10-11]研究了DP 模型和EDP 模型的特點(diǎn)及相互轉(zhuǎn)換問(wèn)題，證明了EDP 模型的可行性且更符合巖土材料的實(shí)際情況。事實(shí)上，土體的非線性對(duì)地震響應(yīng)影響很大。巴振寧、梁建文和齊文浩等[12-15]分別對(duì)考慮土體線性與非線性、等效線性化與非線性在地震響應(yīng)中的差異進(jìn)行了研究分析。本文將依托于大型有限元分析軟件ANSYS，以實(shí)際工程為背景，建立三維成層土體非線性地震響應(yīng)分析模型，借助DEEPSOIL 程序?qū)崿F(xiàn)土體的等效線性化。將對(duì)線性模型、等效線性化模型和非線性（EDP）模型的地震響應(yīng)進(jìn)行分析，研究土體非線性特性對(duì)地震響應(yīng)的影響。

1 粘彈性邊界

在考慮土體的地震響應(yīng)分析中，核心問(wèn)題之一是如何正確地模擬無(wú)限地基，如采用合適的人工邊界。常用的有：無(wú)窮邊界元法[16]、阻尼提取法[17]和人工透射邊界法[18]。本文選擇的是粘彈性人工邊界[19]。粘彈性人工邊界的實(shí)質(zhì)是通過(guò)把彈簧和阻尼器設(shè)置在每個(gè)邊界節(jié)點(diǎn)上來(lái)模擬實(shí)際的邊界條件。Deeks、劉晶波等[19-20]首先在二維散射波為柱面波的假設(shè)下建立了二維粘彈性人工邊界，并分析了該邊界相對(duì)于粘性邊界的優(yōu)勢(shì)。劉晶波等[21]基于球面波動(dòng)理論，將粘彈性人工邊界由二維平面推廣到三維，并通過(guò)算例驗(yàn)證了三維粘彈性人工邊界的準(zhǔn)確性和適用性。本文采用的粘彈性邊界參數(shù)公式見(jiàn)式（1）。圖1 為邊界節(jié)點(diǎn)三向彈簧-阻尼系統(tǒng)示意圖。

圖1 邊界節(jié)點(diǎn)三向彈簧-阻尼系統(tǒng)示意圖

其中：KBT和KBN分別為切向彈簧和法向彈簧的剛度系數(shù)；CBT和CBN分別為切向阻尼器和法向阻尼器的阻尼系數(shù)；R 為波源至各個(gè)邊界節(jié)點(diǎn)的距離；cP和cS為介質(zhì)的壓縮波速和剪切波速；G 和ρ 分別為土層的剪切模量和密度；αT與αN分別為彈簧切向與法向剛度修正系數(shù)，參考劉晶波等[22]研究，取值范圍及推薦值見(jiàn)表1，本文分別取值為αT=0.67，αN=1.33。

表1 粘彈性人工邊界修正系數(shù)

通過(guò)將地震荷載轉(zhuǎn)化為切向和法向等效節(jié)點(diǎn)力的方式實(shí)現(xiàn)粘彈性人工邊界的模擬，本文施加的等效節(jié)點(diǎn)力采用自由場(chǎng)應(yīng)力法進(jìn)行推導(dǎo)。具體公式如式（2）所列。

其中，σi（t）為邊界上一點(diǎn)i 在t 時(shí)刻的等效荷載；σf（x，y，t）為由原自由場(chǎng)產(chǎn)生的應(yīng)力；k 和c 分別為彈簧剛度和阻尼系數(shù)；（x，y，t）和uf（x，y，t）分別為i 點(diǎn)的自由場(chǎng)速度與位移。邊界點(diǎn)上施加的等效力通過(guò)式（3）計(jì)算。

式中，A 為邊界點(diǎn)所代表的有效面積。采用公式（3）計(jì)算邊界節(jié)點(diǎn)的等效荷載力。

2 粘彈性邊界驗(yàn)證

采用圖2 所示的土體模型為算例。模型尺寸為20 m×20 m×10 m，有限元網(wǎng)格尺寸為0.5 m，土體密度為2 000 kg/m3，剪切波速為200 m/s，壓縮波速為346.41 m/s，泊松比為0.25。入射波位移函數(shù)如式（4）所示；圖3為相應(yīng)的位移時(shí)程。由波動(dòng)理論可知，對(duì)于圖2 的彈性半空間模型，地表位移的理論值為輸入位移的兩倍。由圖4 可見(jiàn)，地表位移響應(yīng)的理論解與數(shù)值解吻合很好，說(shuō)明本文采用的粘彈性邊界精度良好，可以使用。

圖2 三維土體及粘彈性邊界有限元模型

圖3 入射波位移時(shí)程

圖4 地表位移響應(yīng)的理論解與數(shù)值解對(duì)比

3 經(jīng)典DP 模型與擴(kuò)展DP 模型

3.1 經(jīng)典DP 模型

在大型有限元分析軟件ANSYS 中，DP 模型廣泛用于巖石、土體等材料分析中。在使用模擬單元Plane42進(jìn)行二維實(shí)體模擬分析，以及單元Solid45 單元進(jìn)行三維實(shí)體分析的情況下，可以使用經(jīng)典DP 模型。ANSYS中設(shè)定經(jīng)典DP 模型需要輸入3 個(gè)參數(shù)，即粘聚力、內(nèi)摩擦角、膨脹角。其中的膨脹角是用來(lái)控制體積膨脹的大小的。在巖土工程中，一般密實(shí)的砂土和超強(qiáng)固結(jié)土在發(fā)生剪切的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)體積膨脹，因?yàn)轭w粒重新排列了；而一般的砂土或者正常固結(jié)的土體，只會(huì)發(fā)生剪縮。所以在使用DP 模型的時(shí)候，對(duì)于一般的土，膨脹角設(shè)置為0°是比較符合實(shí)際的。

3.2 擴(kuò)展DP 模型

EDP 模型作為DP 模型的改進(jìn)模型[10]，考慮材料的硬化特性，更符合巖土材料的實(shí)際情況。在新版本的ANSYS 中，經(jīng)常使用Solid185 單元替代Solid45 單元，經(jīng)典DP 模型不能應(yīng)用在Solid185 單元中，而要采用擴(kuò)展DP 模型，即EDP 模型。經(jīng)典DP 模型到EDP 模型的參數(shù)需要轉(zhuǎn)換，即通過(guò)已知的粘聚力和內(nèi)摩擦角等計(jì)算得到EDP 所需要的參數(shù)數(shù)值。通過(guò)對(duì)比經(jīng)典DP 模型和EDP 模型的屈服函數(shù)，發(fā)現(xiàn)EDP 模型中的線性屈服函數(shù)與DP 模型的屈服函數(shù)形式上相似且屈服面形狀也相同，通過(guò)參數(shù)等效替換，EDP 參數(shù)的計(jì)算公式見(jiàn)下式。

其中，C1為EDP 模型第一個(gè)參數(shù)，即應(yīng)力敏感度；C2為EDP 模型的第二個(gè)參數(shù)，即屈服強(qiáng)度；? 代表土體內(nèi)摩擦角，C 代表土體粘聚力。

本文使用Solid185 三維實(shí)體單元模擬土體，故在考慮土體非線性時(shí)，對(duì)土體施加EDP 模型。

4 計(jì)算模型

4.1 場(chǎng)地條件及土體網(wǎng)格劃分

本文選用奧林匹克塔（位于北京市奧林匹克公園）所在位置的場(chǎng)地作為研究對(duì)象。土體1/4 模型如圖5 所示，尺寸為160 m×160 m×50 m。由下至上依次選取4 個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)為每層土體平面中間點(diǎn)，具體坐標(biāo)如下：A（80，80，0），B（80，80，20），C（80，80，30）和D（80，80，50）)。場(chǎng)地土參數(shù)如表2 所示。

圖5 土體1/4 模型

表2 場(chǎng)地土參數(shù)

在有限元數(shù)值模擬中，計(jì)算網(wǎng)格的劃分對(duì)計(jì)算結(jié)果有明顯的影響。網(wǎng)格尺寸過(guò)小將導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，同時(shí)還會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不能收斂，而土體單元過(guò)大將導(dǎo)致計(jì)算精度不夠。因此，合理選擇是一個(gè)非常重要的問(wèn)題。一般而言，土體單元高度應(yīng)符合式（5）和式（6），土體單元的寬度通?？梢匀「叨鹊? 倍左右[23]

式中，λmin為地震波的最小波長(zhǎng)（λmin=Vs/fmax；Vs為土體的剪切波速，fmax為最高頻率）。采用的有限元網(wǎng)格尺寸為2 m×2 m×2 m。

4.2 等效線性化模型

本文借助DEEPSOIL 程序，采用等效線性化方法建立等價(jià)非線性粘-彈塑性模型，用等效的剪切模量和阻尼比代替不同應(yīng)變幅值下的剪切模量和阻尼比，將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題，通過(guò)計(jì)算得到對(duì)應(yīng)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的加速度時(shí)域及頻域結(jié)果。土類動(dòng)剪切模量比和阻尼比采用袁曉銘[24]的推薦值，如表3 所示。

表3 土樣剪切模量比和阻尼比

4.3 地震波的選取

奧林匹克塔的設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期為50 年，所處地區(qū)的抗震設(shè)防烈度為8 度，設(shè)計(jì)地震分組為第一組，所在場(chǎng)地為Ⅱ類場(chǎng)地，基本地震加速度為0.20g[25]。

入射地震波選取EL-Centro 波，其加速度記錄如圖6。

圖6 EL-centro 地震波加速度記錄

5 計(jì)算結(jié)果及分析

5.1 位移響應(yīng)分析

線性模型、非線性模型，以及等效線性化模型各個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)分別在多遇地震作用下的水平位移響應(yīng)見(jiàn)圖7，設(shè)防地震作用下位移響應(yīng)見(jiàn)圖8，罕遇地震作用下位移響應(yīng)見(jiàn)圖9。根據(jù)位移時(shí)程結(jié)果可以得出：（1）在多遇地震作用下，線性、非線性及等效線性化模型的位移響應(yīng)結(jié)果較為接近。這是由于輸入地震動(dòng)強(qiáng)度較小，土體沒(méi)有完全進(jìn)入塑性階段。

圖7 多遇地震作用下各模型及監(jiān)測(cè)點(diǎn)水平位移

圖8 設(shè)防地震作用下各模型及監(jiān)測(cè)點(diǎn)水平位移

圖9 罕遇地震作用下各模型及監(jiān)測(cè)點(diǎn)水平位移

（2）在設(shè)防地震和罕遇地震作用下，對(duì)于監(jiān)測(cè)點(diǎn)A 點(diǎn)，線性模型、非線性模型和等效線性化模型的位移較為接近。監(jiān)測(cè)點(diǎn)B 點(diǎn)，C 點(diǎn)和D 點(diǎn)均表現(xiàn)為：等效線性化的位移要明顯大于線性和非線性模型；線性模型的位移大于非線性模型的位移。隨著土的埋深變淺和地震動(dòng)強(qiáng)度增加，非線性模型水平位移響應(yīng)的延遲愈加明顯。這是由于土體非線性產(chǎn)生的變形及土體阻尼的增加耗散了一定的地震動(dòng)能量。

（3）從圖7 至圖9 可以看出，在多遇地震作用下，線性、非線性和等效線性化的計(jì)算結(jié)果相似；在設(shè)防地震和罕遇地震作用下，等效線性化得到的位移響應(yīng)顯著大于線性和非線性模型，這是等效線性化在地震動(dòng)輸入較大的情況下過(guò)高估計(jì)了場(chǎng)地土的非線性特性所致。

5.2 加速度時(shí)程分析

多遇地震、設(shè)防地震和罕遇地震各模型及監(jiān)測(cè)點(diǎn)的加速度時(shí)域分析見(jiàn)圖10 至圖12；為便于對(duì)比分析，加速度時(shí)域分析取前10 s 的計(jì)算結(jié)果。從加速度時(shí)域結(jié)果可以得出：

圖10 多遇地震作用下各模型及監(jiān)測(cè)點(diǎn)水平加速度

圖11 設(shè)防地震作用下各模型及監(jiān)測(cè)點(diǎn)水平加速度

圖12 罕遇地震作用下各模型及監(jiān)測(cè)點(diǎn)水平加速度

（1）在多遇地震作用下，線性模型、非線性模型及等效線性化模型的加速度響應(yīng)總體趨勢(shì)相同；在加速度峰值方面，非線性模型和等效線性化模型較為接近，二者均小于線性工況下的加速度峰值，這是由于考慮土體非線性后，土體產(chǎn)生的變形及土體阻尼的增加耗散了一定的地震動(dòng)能量。由于輸入地震動(dòng)強(qiáng)度較小，土體沒(méi)有完全進(jìn)入塑性階段，三種工況下整體區(qū)別不大。

（2）在設(shè)防地震和罕遇地震作用下，線性條件下的加速度峰值大于非線性條件下的加速度峰值，且隨著土的埋深變淺和地震動(dòng)強(qiáng)度的增大，二者的差值愈加明顯，等效線性化的加速度峰值大于非線性條件下加速度峰值。對(duì)比多遇地震可見(jiàn)：非線性和線性地震響應(yīng)存在的差異隨著入射地震動(dòng)幅值的增大而增大。這是由于土體非線性耗散了地震動(dòng)能量。

（3）從圖10 至圖12 可以看出，等效線性化得到的加速度峰值與非線性較為接近，但隨著輸入地震動(dòng)強(qiáng)度的增加，等效線性化的加速度峰值大于非線性。在輸入地震動(dòng)強(qiáng)度較小的情況下，非線性和等效線性化的計(jì)算結(jié)果波形相似，在地震動(dòng)輸入強(qiáng)度變大的情況下，二者的差別較大，等效線性化所得的波形變得稀疏。該結(jié)論與文獻(xiàn)[15]所得結(jié)論相同。

5.3 加速度傅里葉譜分析

加速度傅里葉譜見(jiàn)圖13 至圖15。從加速度頻域結(jié)果分析可以得出：

圖13 多遇地震作用下各模型及監(jiān)測(cè)點(diǎn)水平加速度傅里葉譜

圖14 設(shè)防地震作用下各模型及監(jiān)測(cè)點(diǎn)水平加速度傅里葉譜

圖15 罕遇地震作用下各模型及監(jiān)測(cè)點(diǎn)水平加速度傅里葉譜

（1）在多遇地震作用下，由于土體的濾波效應(yīng)，非線性和等效線性化的傅里葉譜幅值小于線性模型。等效線性化條件下土體基頻降低，圖形向左移。由于地震動(dòng)強(qiáng)度較小，土體沒(méi)有完全進(jìn)入非線性階段，線性、非線性和等效線性化的加速度傅里葉譜總體相差不大。

（2）在設(shè)防地震作用下，等效線性化的傅氏譜峰值小于非線性模型，非線性模型的傅里葉譜幅值小于線性模型。在罕遇地震作用下，等效線性化和非線性模型的傅里葉譜幅值遠(yuǎn)小于線性模型。這是由于土體非線性時(shí)模量衰減，基頻降低。由于土體的濾波效應(yīng)，隨著埋深變淺，非線性時(shí)中高頻成分被土體吸收。監(jiān)測(cè)點(diǎn)C和監(jiān)測(cè)點(diǎn)D 非線性和等效線性化條件下的低頻顯著降低。這一現(xiàn)象是由于地震動(dòng)輸入增大，場(chǎng)地土非線性特性影響增強(qiáng)的結(jié)果。這現(xiàn)象與文獻(xiàn)[15]所描述規(guī)律相似。

（3）等效線性化條件下，土體模量衰減，剛度降低，基頻降低，傅氏譜圖形向左移了。隨著地震動(dòng)動(dòng)輸入增大，中高頻部分快速降低，這是等效線性化在地震動(dòng)輸入較大的情況下過(guò)高估計(jì)了場(chǎng)地土的非線性特性所致。

6 結(jié)論

基于大型有限元分析軟件ANSYS 平臺(tái)及其APDL 編程語(yǔ)言編制了相應(yīng)的程序，使用EDP 模型考慮土體的非線性特性，施加粘彈性人工邊界并驗(yàn)證了其正確性，然后以某實(shí)際工程場(chǎng)地為背景對(duì)其進(jìn)行了計(jì)算分析，通過(guò)與DEEPSOIL 程序得出的等效線性化計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，探討了土體非線性特性對(duì)其自身地震響應(yīng)的影響?；诒疚牡挠?jì)算分析，可得如下結(jié)論:

（1）當(dāng)輸入地震動(dòng)強(qiáng)度較小且土體埋深較大時(shí)，土的非線性影響不夠明顯，線性、非線性及等效線性化計(jì)算結(jié)果相差較小。隨著埋深變淺和地震動(dòng)強(qiáng)度的增大，非線性的位移響應(yīng)大于線性情況；等效線性化的位移響應(yīng)顯著大于線性和非線性模型。

（2）考慮土體非線性后，土體產(chǎn)生的變形及土體阻尼的增加耗散了地震動(dòng)能量，隨著埋深變淺和輸入地震動(dòng)強(qiáng)度的增加，線性條件下的加速度峰值大于非線性條件下的加速度峰值，非線性條件下的加速度峰值大于等效線性化條件下的加速度峰值，線性計(jì)算結(jié)果的加速度放大倍數(shù)保持不變，非線性計(jì)算結(jié)果的加速度放大倍數(shù)呈遞減趨勢(shì)。能反應(yīng)“隨輸入地震動(dòng)強(qiáng)度增大，土層非線性效應(yīng)表現(xiàn)越明顯”這一基本規(guī)律[25]。

（3）在EL-Centro 波作用下，隨著埋深變淺和輸入地震動(dòng)強(qiáng)度的增加，土體非線性時(shí)模量衰減，剛度降低，低頻部分顯著降低，同時(shí)由于土體的濾波效應(yīng)，非線性時(shí)中高頻成分被土體吸收。等效線性化方法雖簡(jiǎn)單方便，但其往往會(huì)過(guò)高估計(jì)場(chǎng)地土的非線性，因而在地震動(dòng)輸入較大的情況下須謹(jǐn)慎使用。

由此可見(jiàn)，土體非線性特性對(duì)其自身地震響應(yīng)的影響十分顯著，在實(shí)際工程中使用非線性模型應(yīng)當(dāng)考慮土體非線性的影響。