閆浩文

1.蘭州交通大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院,甘肅 蘭州 730070; 2.地理國(guó)情監(jiān)測(cè)技術(shù)應(yīng)用國(guó)家地方聯(lián)合工程研究中心,甘肅 蘭州 730070; 3.甘肅省地理國(guó)情監(jiān)測(cè)工程實(shí)驗(yàn)室,甘肅 蘭州 730070

相似是人們認(rèn)識(shí)客觀世界的重要工具。運(yùn)用相似對(duì)人類賴以生存的地理空間進(jìn)行描述和表達(dá)似乎是人類的天性,自古及今從未中斷。中國(guó)先秦時(shí)期的“日初出大如車(chē)蓋,及日中則如盤(pán)盂”(自《列子·兩小兒辯日》)用日常物體的空間形狀來(lái)類比天體的形狀。近代德國(guó)科學(xué)家阿爾弗雷德·魏格納的大陸漂移學(xué)說(shuō)依賴于海岸線輪廓的對(duì)應(yīng)性,其實(shí)質(zhì)是地圖空間形狀的互補(bǔ)相似性。到了現(xiàn)代,地理信息系統(tǒng)中的地物目標(biāo)描述與匹配[1]、地圖數(shù)據(jù)庫(kù)的目標(biāo)查詢[2-3]、地圖綜合結(jié)果的質(zhì)量評(píng)價(jià)[4]、圖像目標(biāo)的自動(dòng)識(shí)別與提取[3]、空間目標(biāo)聚類[5]等,均是空間相似關(guān)系應(yīng)用的范例。

空間相似關(guān)系屬于空間關(guān)系的范疇,用于描述和表達(dá)地理空間及由其轉(zhuǎn)換得到的地圖空間目標(biāo)之間的關(guān)系。本文專注于地圖空間的相似關(guān)系。已有研究把空間相似關(guān)系與距離關(guān)系、拓?fù)潢P(guān)系、方向關(guān)系并稱為4類基本的空間關(guān)系[1]。相較而言,空間相似關(guān)系比距離、拓?fù)浜头较蜿P(guān)系更為綜合和復(fù)雜,其形式化描述和表達(dá)也更為困難,且不易定量計(jì)算。雖然已有空間相似關(guān)系的定義、分類、性質(zhì)、計(jì)算方法和應(yīng)用等方面的成果[4],但是,總體而言,其研究工作仍然相對(duì)滯后,理論成果零散而不成體系[2-4]。為此,本文將構(gòu)建空間相似關(guān)系的理論體系,剖析和闡釋其中的核心內(nèi)容,挖掘其潛在的研究課題,以便深化該方向的研究。

空間相似關(guān)系的理論體系至少需要回答3個(gè)問(wèn)題:①空間相似關(guān)系的基礎(chǔ)理論是什么?這里需要闡釋空間相似關(guān)系的研究對(duì)象、定義、分類體系、基本性質(zhì)、影響人類進(jìn)行空間相似關(guān)系判斷的因子等。②空間相似關(guān)系如何計(jì)算與表達(dá)?包括:有哪些類型的空間相似關(guān)系需要計(jì)算?空間相似關(guān)系如何計(jì)算?計(jì)算結(jié)果如何表達(dá)?計(jì)算結(jié)果的有效性如何衡量?③空間相似關(guān)系有哪些用途?

空間相似關(guān)系的理論體系如圖1所示。根據(jù)以上的3個(gè)問(wèn)題,空間相似關(guān)系的理論體系被劃分為3層,依次是概念層、計(jì)算層和應(yīng)用層,它們之間是依次遞進(jìn)的關(guān)系,前面的層是后面層的基礎(chǔ)。

圖1 空間相似關(guān)系的理論體系

1 空間相似關(guān)系的基礎(chǔ)理論

1.1 空間相似關(guān)系的研究對(duì)象

與其他類型的空間關(guān)系一樣,空間相似關(guān)系的研究對(duì)象是地圖空間的目標(biāo)對(duì)。目標(biāo)對(duì)可以是兩個(gè)單體目標(biāo),也可以是兩個(gè)群組目標(biāo),還可以是一個(gè)單體目標(biāo)與一個(gè)群組目標(biāo)(圖2)。在二維地圖空間中,一個(gè)單體目標(biāo)指的是一個(gè)點(diǎn)狀符號(hào)、一個(gè)線狀符號(hào)或一個(gè)面狀符號(hào)代表的目標(biāo),而群組目標(biāo)指的是由兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單體目標(biāo)組成的目標(biāo)。

圖2 二維地圖空間的目標(biāo)對(duì)類型

1.2 空間相似關(guān)系的定義

對(duì)空間相似關(guān)系可以給出如下的定義[4]。

由定義可知,空間相似關(guān)系要比較的是兩個(gè)目標(biāo)的多個(gè)屬性。每個(gè)屬性在目標(biāo)之間的空間相似關(guān)系中的作用大小用權(quán)重來(lái)衡量。

1.3 空間相似關(guān)系的分類

依據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn),空間相似關(guān)系有不同的類型體系。這里給出空間相似關(guān)系常見(jiàn)的3種分類方法[4]。

(1) 按所對(duì)比的目標(biāo)屬性的空間尺度可劃分為2類:同一空間尺度的空間相似關(guān)系、不同空間尺度的空間相似關(guān)系。

(2) 按所對(duì)比的目標(biāo)屬性的時(shí)間特征可劃分為4類:同一時(shí)間點(diǎn)的空間相似關(guān)系、同一時(shí)間段的空間相似關(guān)系、不同時(shí)間點(diǎn)空間相似關(guān)系、不同時(shí)間段的空間相似關(guān)系。

(3) 按所對(duì)比的目標(biāo)對(duì)中各個(gè)目標(biāo)的類型可劃分為3類:兩個(gè)單體目標(biāo)之間的空間相似關(guān)系、兩個(gè)群組目標(biāo)之間的空間相似關(guān)系、一個(gè)單體目標(biāo)和一個(gè)群組目標(biāo)之間的空間相似關(guān)系。

1.4 空間相似關(guān)系的性質(zhì)

空間相似關(guān)系的性質(zhì)包括等價(jià)性、有限性、極小性、極大性、對(duì)稱性(或反身性)、非傳遞性、三角不等性、尺度依賴性、自相似性等。假設(shè)A、B、C是地圖空間的3個(gè)目標(biāo),表1以其為例,給出了空間相似關(guān)系的性質(zhì)及其描述和釋義[4-5]。

表1 空間相似關(guān)系的性質(zhì)描述與釋義

1.5 空間相似關(guān)系的影響因子

影響因子是進(jìn)行空間相似關(guān)系計(jì)算的依據(jù)。目標(biāo)類型不同,人們進(jìn)行空間相似關(guān)系判斷的影響因子就不同,因此,此處依據(jù)目標(biāo)對(duì)類型列出了主要影響因子[4-5](表2)。

表2 空間相似關(guān)系的主要影響因子

2 空間相似關(guān)系的計(jì)算方法

按照描述兩個(gè)目標(biāo)的地圖空間尺度相同與否,此處把空間相似關(guān)系的計(jì)算方法劃分為同尺度空間和多尺度空間來(lái)討論。

2.1 同尺度空間相似關(guān)系的計(jì)算方法

同尺度地圖空間相似關(guān)系的計(jì)算問(wèn)題有單體目標(biāo)對(duì)之間的和群組目標(biāo)對(duì)之間的(一個(gè)單體和一個(gè)群組目標(biāo)構(gòu)成的目標(biāo)對(duì)可以看作群組目標(biāo)對(duì)的特例)。

2.1.1 單體目標(biāo)對(duì)之間的空間相似關(guān)系

地圖上單體目標(biāo)對(duì)之間的空間相似關(guān)系主要考慮的是其幾何形狀的相似關(guān)系,依據(jù)目標(biāo)對(duì)的幾何特性的不同,分為點(diǎn)對(duì)、線對(duì)和面對(duì)3類,各自的幾何相似關(guān)系計(jì)算方法見(jiàn)表3[4]。

表3 同尺度單體目標(biāo)對(duì)之間的空間相似關(guān)系計(jì)算方法

2.1.2 群組目標(biāo)對(duì)之間的空間相似關(guān)系

群組目標(biāo)對(duì)之間需要考慮兩個(gè)群組目標(biāo)的空間拓?fù)湎嗨?、空間距離相似和空間方向相似。值得注意的是,由于空間相似關(guān)系的復(fù)合型特征,這里的計(jì)算用到了拓?fù)洹⒕嚯x和方向關(guān)系。計(jì)算兩個(gè)群組目標(biāo)對(duì)A、B之間的空間相似關(guān)系Sim(A,B)的一般公式為

Sim(A,B)=WTopSimTop(A,B)+WDisSimDis(A,B)+

WDirSimDir(A,B)

(1)

式中,SimTop(A,B)、SimDis(A,B)、SimDir(A,B)分別是A、B在拓?fù)洹⒕嚯x和方向關(guān)系上的相似度;WTop、WDis、WDir分別是拓?fù)?、距離和方向關(guān)系上的空間相似度相應(yīng)的權(quán)值,可由心理學(xué)實(shí)驗(yàn)獲得[4]。

2.1.2.1 空間拓?fù)湎嗨脐P(guān)系計(jì)算方法

對(duì)于一個(gè)群組目標(biāo)而言,當(dāng)其內(nèi)部目標(biāo)之間的拓?fù)潢P(guān)系發(fā)生變化時(shí),該變化的群組目標(biāo)與原始群組目標(biāo)之間的拓?fù)湎嗨菩跃桶l(fā)生了變化,這種變化可以用拓?fù)潢P(guān)系變化的代價(jià)值(即次數(shù))來(lái)定量化表達(dá)[18]。圖3是拓?fù)潢P(guān)系變化及相應(yīng)的代價(jià)值,如由拓?fù)湎嚯x變?yōu)橥負(fù)湎嗲械拇鷥r(jià)為4。表4給出了兩個(gè)群組目標(biāo)拓?fù)潢P(guān)系變化的代價(jià)矩陣,由此得到其空間拓?fù)湎嗨脐P(guān)系的計(jì)算方法如下

表4 拓?fù)潢P(guān)系變換中的代價(jià)矩陣

圖3 拓?fù)潢P(guān)系變換及其代價(jià)

(2)

式中,Nsame是兩個(gè)群組目標(biāo)的內(nèi)部各目標(biāo)之間的拓?fù)潢P(guān)系的相同部分的數(shù)量;NA是A中目標(biāo)之間的拓?fù)潢P(guān)系數(shù)量;NB是B中目標(biāo)之間的拓?fù)潢P(guān)系數(shù)量;max(NA,NB)是求NA、NB的最大值。

2.1.2.2 空間距離相似關(guān)系計(jì)算方法

空間距離通常用定量的方式來(lái)表達(dá),如歐氏距離,但是此類定量化表達(dá)的空間距離不易直接轉(zhuǎn)化為定量化的空間相似關(guān)系,因?yàn)槎炕目臻g距離和距離相似度之間并非簡(jiǎn)單的線性函數(shù)關(guān)系,難以公式化表達(dá)。為此,有學(xué)者提出了一個(gè)“先對(duì)定量化的空間距離進(jìn)行定性表達(dá)[18],然后再運(yùn)用定性距離來(lái)計(jì)算相似度”的方法,用“相等”(equal)、“近”(near)、“中間”(medium)、“遠(yuǎn)”(far)來(lái)表示定性距離,然后把各類定性距離之間的變化再量化表達(dá)(如圖4、表5所示)。以此為基礎(chǔ),這里提出空間距離相似關(guān)系的計(jì)算方法

表5 空間距離關(guān)系變換中的代價(jià)矩陣

圖4 空間距離關(guān)系的定性與定量表達(dá)轉(zhuǎn)換

(3)

式中,Msame是兩個(gè)群組目標(biāo)的內(nèi)部各目標(biāo)之間的距離關(guān)系的相同部分的數(shù)量(即代價(jià));MA是A中目標(biāo)之間的距離關(guān)系數(shù)量;MB是B中目標(biāo)之間的距離關(guān)系數(shù)量;max(MA,MB)是求MA、MB的最大值。

2.1.2.3 空間方向相似關(guān)系計(jì)算方法

空間方向相似關(guān)系的計(jì)算與方向系統(tǒng)直接相關(guān),方向系統(tǒng)不同,得到的空間方向相似關(guān)系不同。常見(jiàn)的方向系統(tǒng)有4方向系統(tǒng)、8方向系統(tǒng)、16方向系統(tǒng)和32方向系統(tǒng)。不失一般性,這里以8方向系統(tǒng)(圖5)為例,討論空間方向相似關(guān)系的計(jì)算方法,其核心是設(shè)置合理的規(guī)則并構(gòu)建空間方向關(guān)系的轉(zhuǎn)換矩陣。需要遵循的規(guī)則是:①任何相鄰方向的變換代價(jià)為1;②任何兩個(gè)方向之間的轉(zhuǎn)換代價(jià)是其相鄰方向逐漸轉(zhuǎn)換的代價(jià)之和,但該和不能大于總方向數(shù)的一半,即在4方向系統(tǒng)、8方向系統(tǒng)、16方向系統(tǒng)中,方向之間的最大轉(zhuǎn)換代價(jià)不能大于2、4、8。

圖5 8方向系統(tǒng)

遵循這兩個(gè)規(guī)則,構(gòu)建得到的方向關(guān)系變換的代價(jià)矩陣如表6,由此得到計(jì)算一個(gè)群組目標(biāo)與另一個(gè)群組目標(biāo)之間的空間方向相似關(guān)系的計(jì)算公式為

表6 空間方向關(guān)系變換中的代價(jià)矩陣

(4)

式中,Ksame是兩個(gè)群組目標(biāo)的內(nèi)部目標(biāo)之間的方向關(guān)系的相同部分的數(shù)量(即代價(jià));KA是A中目標(biāo)之間的方向關(guān)系數(shù)量;KB是B中目標(biāo)之間的方向關(guān)系數(shù)量;max(KA,KB)是求KA、KB的最大值。

2.2 多尺度空間相似關(guān)系的計(jì)算方法

多尺度空間相似關(guān)系的計(jì)算主要為地圖目標(biāo)的多尺度表達(dá)即地圖綜合問(wèn)題服務(wù)。因?yàn)榈貓D綜合一般按照目標(biāo)類型和數(shù)量來(lái)設(shè)計(jì)不同的綜合策略和方法,所以這里先按照目標(biāo)數(shù)量把地圖目標(biāo)劃分為單體目標(biāo)和群組目標(biāo)兩大類,然后把單體目標(biāo)分為點(diǎn)狀、線狀和面狀目標(biāo)共3類,把群組目標(biāo)分為點(diǎn)群、平行線簇、相交線網(wǎng)、樹(shù)狀網(wǎng)、離散面群、連續(xù)面群共6類,對(duì)各個(gè)類型的目標(biāo)設(shè)計(jì)相應(yīng)的空間相似關(guān)系計(jì)算方法。

多尺度地圖空間目標(biāo)相似關(guān)系計(jì)算的核心難題是一個(gè)目標(biāo)在兩種尺度上的不同表達(dá)形式之間的空間相似關(guān)系,這是論述多尺度空間相似關(guān)系計(jì)算方法的基本立足點(diǎn)。

2.2.1 單體目標(biāo)的相似度計(jì)算

假設(shè)AS0是比例尺為S0的原始地圖上的目標(biāo),ASk是其綜合為比例尺為Sk的地圖上的相應(yīng)目標(biāo),則AS0分別為點(diǎn)狀、線狀、面狀目標(biāo)時(shí)在兩個(gè)比例尺地圖上的空間相似關(guān)系Sim(AS0,ASk)的計(jì)算方法見(jiàn)表7。

表7 多尺度單體目標(biāo)空間相似關(guān)系計(jì)算方法

2.2.2 群組目標(biāo)的相似度計(jì)算

假定在比例尺為S0的地圖上有一個(gè)由NS0個(gè)單體目標(biāo)組成的群組目標(biāo)AS0,該群組目標(biāo)被綜合后得到比例尺為Ck的地圖上的一個(gè)由NSk個(gè)單體目標(biāo)組成的群組目標(biāo)ASk。其中NS0≥1,NSk≥1,且均為整數(shù)。則計(jì)算AS0與ASk的空間相似關(guān)系的一般公式為

Sim(AS0,ASk)=WTopSimTop(AS0,ASk)+

WDisSimDis(AS0,ASk)+

WDirSimDir(AS0,ASk)

(5)

式中,SimTop(AS0,ASk)、SimDis(AS0,ASk)、SimDir(AS0,ASk)分別是AS0與ASk在拓?fù)?、距離和方向上的相似關(guān)系,下面將區(qū)分群組目標(biāo)類型分別進(jìn)行詳細(xì)論述;WTop、WDis、WDir分別是拓?fù)?、距離和方向上的空間相似關(guān)系相應(yīng)的權(quán)值[4]。

2.2.2.1 點(diǎn)群目標(biāo)空間相似關(guān)系的計(jì)算

地圖綜合前后兩個(gè)比例尺地圖上點(diǎn)群的空間拓?fù)湎嗨脐P(guān)系可用如下公式計(jì)算

(6)

該式的分子是比例尺為Ck的地圖上所有點(diǎn)的1-order鄰居的數(shù)量總和,分母是比例尺為Ck的地圖上所有點(diǎn)在比例尺為C0的地圖上對(duì)應(yīng)的所有點(diǎn)的1-order鄰居的數(shù)量總和。

點(diǎn)群綜合不會(huì)導(dǎo)致空間方向關(guān)系的變化,故有

SimDir(AS0,ASk)=1

(7)

多尺度點(diǎn)群的空間距離相似關(guān)系的計(jì)算方法為

(8)

式中,NSk是比例尺為Ck的地圖上點(diǎn)群中點(diǎn)的數(shù)量;na是比例尺為Ck的地圖上局部相對(duì)密度正常單調(diào)排列的點(diǎn)的數(shù)量。點(diǎn)群中的第i個(gè)點(diǎn)的局部相對(duì)密度ri被定義為[19]

(9)

式中,n是點(diǎn)群中的目標(biāo)總數(shù);Ri是第i點(diǎn)的局部絕對(duì)密度

(10)

式中,AVi是第i點(diǎn)的Voronoi多邊形的面積。

2.2.2.2 平行線簇目標(biāo)空間相似度的計(jì)算

平行線簇目標(biāo)多指地圖上的等高線,因?yàn)槠湓趫D形上基本以嵌套、成組、近似平行的曲線形式表達(dá)。在地圖綜合中,如果結(jié)果地圖與原始地圖上的等高距不一樣,綜合過(guò)程中會(huì)刪除一些等高線,由此導(dǎo)致等高線之間的拓?fù)潢P(guān)系發(fā)生變化。通常用等高線樹(shù)來(lái)記錄等高線之間的拓?fù)潢P(guān)系,把位于外層的等高線稱為被包含的最近等高線的“父親”,把被包含的等高線稱為該外層等高線的“兒子”,把兩條高程相等的等高線稱為“兄弟”[20]。當(dāng)比例尺為S0的地圖上的N條等高線綜合后得到比例尺為Sk的地圖上的M條等高線時(shí),這兩組等高線的空間拓?fù)湎嗨脐P(guān)系可以用式(11)計(jì)算

(11)

在地圖綜合中等高線的空間方向關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化,故有

SimDir(AS0,ASk)=1

(12)

當(dāng)比例尺為C0的地圖上的N條等高線綜合后得到比例尺為Ck的地圖上的M條等高線時(shí),其空間距離相似關(guān)系為

(13)

式中,DSk、DS0分別是等高線在比例尺為Ck的地圖上和為C0的地圖上的區(qū)域密度。

比例尺為C的地圖上的n條等高線的區(qū)域密度DS計(jì)算公式為

(14)

式中,Li是第i條等高線的長(zhǎng)度;AC是n條等高線占據(jù)的區(qū)域的面積。

2.2.2.3 相交線網(wǎng)目標(biāo)空間相似度的計(jì)算

地圖上的相交線網(wǎng)主要指道路網(wǎng)。

道路的選取、化簡(jiǎn)等綜合操作會(huì)引起道路之間的拓?fù)潢P(guān)系(包括拓?fù)湎嘟?、相離、相鄰關(guān)系)變化。假設(shè)比例尺為S0的地圖上有NS0條道路,綜合后比例尺為Sk的地圖上有NSk條道路,則道路網(wǎng)綜合前后的空間拓?fù)湎嗨脐P(guān)系可用式(15)表示

(15)

式中,DTop是綜合前后路網(wǎng)之間的拓?fù)潢P(guān)系差異數(shù)量。

在地圖綜合中,道路被保留或刪除,一般不會(huì)發(fā)生位置的變化,即可以認(rèn)為道路的空間方向關(guān)系沒(méi)有變化,故有

SimDir(AS0,ASk)=1

(16)

地圖上道路網(wǎng)之間的空間距離相似關(guān)系可以表達(dá)為

(17)

式中,DS0是比例尺為C0的地圖上的道路密度,DSk是比例尺為Ck的地圖上的道路密度。道路網(wǎng)的密度Droad定義為

(18)

式中,Lroad是道路網(wǎng)中道路的總長(zhǎng)度;AR是道路網(wǎng)占據(jù)的區(qū)域的總面積。

2.2.2.4 樹(shù)狀線網(wǎng)目標(biāo)空間相似關(guān)系的計(jì)算

地圖上的河系在圖形上一般呈樹(shù)狀結(jié)構(gòu),其主流和支流可以用父子關(guān)系來(lái)描述,如圖6所示。

圖6 兩種比例尺地圖上的河系樹(shù)

當(dāng)比例尺為C0的地圖上的樹(shù)狀河網(wǎng)被綜合后得到比例尺為Ck的地圖上的河網(wǎng)時(shí),其空間拓?fù)湎嗨脐P(guān)系可以表達(dá)為

(19)

式中,NSk和NS0分別是比例尺為Ck和C0的地圖上的河流之間的父子關(guān)系數(shù)目。

在地圖綜合中河流的空間方向關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化,故有

SimDir(AS0,ASk)=1

(20)

地圖上河網(wǎng)的空間距離相似關(guān)系可以表達(dá)為

(21)

式中,Driverk和Driver0分別是比例尺為Ck和C0的地圖上的河流密度。

一個(gè)河系網(wǎng)的河流密度D可表達(dá)為

(22)

式中,Lriver是河系網(wǎng)中河流的總長(zhǎng)度,AW是河網(wǎng)所占據(jù)的區(qū)域的總面積。

2.2.2.5 離散面群目標(biāo)空間相似關(guān)系的計(jì)算

地圖上呈離散面群狀分布的地物有居民地、島嶼、池塘、綠地等。其中,居民地在地圖上的應(yīng)用最為廣泛,形式多樣復(fù)雜,故這里以其為例論述離散面群目標(biāo)的空間相似關(guān)系計(jì)算方法。

居民地之間只有拓?fù)湎嚯x這一種拓?fù)潢P(guān)系。假設(shè)比例尺為C0的地圖上有NS0個(gè)居民地,則它們之間存在NS0×(NS0-1)個(gè)拓?fù)湎嚯x關(guān)系,若綜合后比例尺為Ck的地圖上有NSk個(gè)居民地目標(biāo),則它們之間存在NSk×(NSk-1)個(gè)拓?fù)湎嚯x關(guān)系,所以有

(23)

居民地的合并、位移、夸張、刪除等都可能直接導(dǎo)致兩個(gè)居民地之間方向關(guān)系改變。假定比例尺為C0的地圖上的群組包含NS0個(gè)居民地,綜合后得到的比例尺為Ck的地圖上的群組包含NSk個(gè)居民地,則有

(24)

式中,Ddir是居民地群組綜合前后空間方向關(guān)系的差異量,用“方向組”模型來(lái)表達(dá)和計(jì)算[21]。注意:m的值由方向系統(tǒng)決定,在4方向系統(tǒng)中m=4,在8方向系統(tǒng)m=8。

比例尺為C0的居民地群組與其綜合后得到的比例尺為Ck的居民地群之間的空間距離相似關(guān)系可表示為

(25)

式中,DS0、DSk分別是比例尺為C0、Ck的地圖上的居民地密度。

一個(gè)居民地群組的居民地密度ρresident可表示為

(26)

式中,nresident是居民地群組包含的居民地個(gè)數(shù);ASi是第i個(gè)居民地的面積;Sresident是居民地群組占據(jù)的整體區(qū)域的面積(包含了居民地之間的空地)。

2.2.2.6 連續(xù)面群目標(biāo)空間相似關(guān)系的計(jì)算

土地類型地圖上的地塊就是典型的連續(xù)面群目標(biāo),它們之間有相接、包含和相離3種拓?fù)潢P(guān)系。假定比例尺為C0的地圖上連續(xù)面群包含的多邊形數(shù)為NC0,其綜合后得到的比例尺為Ck的地圖上連續(xù)面群包含的多邊形數(shù)為NCk,則二者的空間拓?fù)湎嗨脐P(guān)系可以用式(27)計(jì)算

(27)

式中,T是這兩個(gè)連續(xù)面群目標(biāo)之間的空間拓?fù)潢P(guān)系不變量。

對(duì)多邊形的合并、刪除并不會(huì)引起目標(biāo)之間空間方向關(guān)系、空間距離關(guān)系的變化,故有

SimDir(AS0,ASk)=1

(28)

SimDis(AS0,ASk)=1

(29)

3 空間相似關(guān)系的應(yīng)用領(lǐng)域

空間相似關(guān)系與人類的日常生活、科學(xué)研究等息息相關(guān),是人們?cè)谒伎?、判斷、推理、決策等空間思維活動(dòng)中須臾不離的“武器”?？臻g相似關(guān)系的描述和計(jì)算被廣泛地應(yīng)用于空間聚類、空間匹配、空間查詢、空間推理、地圖自動(dòng)綜合等問(wèn)題的解決中。

3.1 空間聚類

空間聚類是指將空間數(shù)據(jù)集中的目標(biāo)分成由相似目標(biāo)組成的類。同類中的目標(biāo)間具有較高的相似度,不同類的目標(biāo)間差異較大[22]。通過(guò)空間聚類分析不僅可以揭示空間樣本的分布規(guī)律,預(yù)測(cè)空間樣本目標(biāo)的發(fā)展趨勢(shì),而且空間聚類將數(shù)據(jù)劃分為若干類后,使得問(wèn)題得以簡(jiǎn)化,有利于在各個(gè)類內(nèi)發(fā)掘出更深層次的知識(shí)和信息[23]。

依據(jù)聚類策略和相似度計(jì)算方法的不同,空間聚類的主要方法有5大類:劃分聚類算法、層次聚類算法、基于密度的方法、基于網(wǎng)格的方法和基于模型的聚類方法[24-25]?？臻g聚類分析的基本過(guò)程包括數(shù)據(jù)預(yù)處理及樣本數(shù)據(jù)特征處理、相似度計(jì)算、聚類分析以及聚類結(jié)果的評(píng)測(cè)。其中,相似度計(jì)算是關(guān)鍵。相似度的計(jì)算方法不同,得到的聚類結(jié)果一般就不同。

3.2 空間匹配

空間匹配的過(guò)程是尋找地圖空間目標(biāo)在語(yǔ)義、結(jié)構(gòu)、空間關(guān)系等方面的相似關(guān)系[3-4]。根據(jù)要匹配的空間目標(biāo)的數(shù)量和目標(biāo)之間的關(guān)系復(fù)雜程度,地圖空間的目標(biāo)匹配有線目標(biāo)匹配、面目標(biāo)匹配、多目標(biāo)(即場(chǎng)景)匹配和手繪草圖匹配等。

線目標(biāo)匹配的方法很多,但核心思想都是基于空間相似關(guān)系的,如基于特征點(diǎn)相似性的線目標(biāo)匹配算法[26]。面目標(biāo)匹配的基本思想是選取影響面目標(biāo)匹配的因子,如目標(biāo)的形狀、目標(biāo)之間的空間關(guān)系等,計(jì)算待匹配的面目標(biāo)之間的各個(gè)影響因子的空間相似關(guān)系并依據(jù)其進(jìn)行匹配[27-29]。場(chǎng)景匹配是依據(jù)給定的一個(gè)場(chǎng)景模板,從空間數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索出在場(chǎng)景語(yǔ)義和空間關(guān)系上與模板最為相似的場(chǎng)景的過(guò)程[30]。場(chǎng)景往往是多目標(biāo)組成的,其空間相似關(guān)系的計(jì)算和表達(dá)非常復(fù)雜。手繪草圖匹配是以手繪草圖為模板,從空間數(shù)據(jù)庫(kù)中尋找與其在目標(biāo)形狀、空間關(guān)系等方面相近的目標(biāo)或場(chǎng)景,其關(guān)鍵是計(jì)算草圖與空間數(shù)據(jù)庫(kù)中目標(biāo)或場(chǎng)景的空間相似關(guān)系[31]。

3.3 空間查詢

空間查詢是指利用空間索引技術(shù),從空間數(shù)據(jù)庫(kù)中找出滿足給定條件的空間實(shí)體[32],其功能的強(qiáng)大與否在很大程度上決定了GIS的應(yīng)用水平[33]。按照空間查詢的方式來(lái)劃分,傳統(tǒng)空間查詢主要有3類:空間定位查詢、空間關(guān)系查詢和屬性-空間查詢,其中,空間相似關(guān)系起核心作用的是屬性-空間查詢,包括空間關(guān)鍵字個(gè)性化語(yǔ)義近似查詢、基于語(yǔ)義軌跡的相似性查詢、基于手繪圖形的空間相似查詢等[31]。

空間關(guān)鍵字個(gè)性化語(yǔ)義近似查詢是借助于空間定位信息和目標(biāo)的語(yǔ)義相似度來(lái)進(jìn)行查詢,如尋找指定空間區(qū)域內(nèi)滿足給定條件的賓館、影院。基于語(yǔ)義軌跡的相似性查詢是指根據(jù)用戶給定的相似性閾值,計(jì)算各個(gè)軌跡的空間和屬性相似度,找出滿足要求的空間相似性閾值的軌跡對(duì)[32]?；谑掷L圖形的空間相似查詢是以用戶繪制的簡(jiǎn)單線條作為檢索圖形,檢索地理空間數(shù)據(jù)庫(kù)中與手繪圖形最為相似的空間要素,從而形成一種不同于現(xiàn)在空間查詢和屬性查詢的查詢方法[31]。

3.4 空間推理

按照推理方法的不同,空間相似推理可以分為空間相似演繹推理、空間相似歸納推理和空間相似類比推理[34]。

空間相似演繹推理是指借助空間相似關(guān)系,從一個(gè)已知的、較為一般性的前提出發(fā),推導(dǎo)出一個(gè)特殊性結(jié)論的過(guò)程。例如,從“河流的支流與其主流以銳角相交”可以推導(dǎo)出河流A與它的主流B的交角為銳角,這里用到了河流圖形的形狀相似性[4]。

空間相似歸納推理是指借助空間相似關(guān)系,從一系列個(gè)別性知識(shí)推導(dǎo)出一個(gè)一般性結(jié)論的過(guò)程。例如,地圖制圖員根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道“大比例尺地圖上的居民地的圖形輪廓外形是直角轉(zhuǎn)折的”,這個(gè)結(jié)論是由地圖上絕大部分居民地的外形都是相似的直角轉(zhuǎn)折歸納出來(lái)的[5]。

空間相似類比推理是指依據(jù)空間相似關(guān)系,根據(jù)兩個(gè)或兩類目標(biāo)的某些屬性相同或者相似,進(jìn)而推論它們的另一屬性相同或相似。這類推理的前提和結(jié)論之間沒(méi)有蘊(yùn)含關(guān)系,因而是一種或然推理。例如,居民小區(qū)A里面有1個(gè)花園、1個(gè)游泳池、1個(gè)健身館,居民小區(qū)B里面也有1個(gè)花園、1個(gè)游泳池,則可以推導(dǎo)出居民小區(qū)B里面可能也有1個(gè)健身館。

3.5 地圖自動(dòng)綜合

地圖綜合本質(zhì)上是一種空間相似變換,這種相似變換貫穿于地圖綜合的全過(guò)程。地圖要素的綜合算法(包括單體目標(biāo)、群組目標(biāo)和各類地物與地貌層的綜合算法)、地圖綜合過(guò)程的自動(dòng)控制、地圖綜合結(jié)果的質(zhì)量評(píng)價(jià)等都需要多尺度空間相似關(guān)系的支持[4-5]。

地圖要素綜合中需要衡量要素的綜合結(jié)果與地圖比例尺的適宜關(guān)系,其核心問(wèn)題是求解綜合后的要素與原來(lái)要素的空間和語(yǔ)義相似關(guān)系與地圖比例尺的匹配程度[20]。地圖綜合過(guò)程的控制中需要計(jì)算地圖綜合的中間結(jié)果與原始要素的空間和語(yǔ)義相似關(guān)系,用于決定綜合過(guò)程的走向。地圖綜合結(jié)果的質(zhì)量評(píng)價(jià)一方面需要確定地圖綜合結(jié)果的各目標(biāo)、各類要素及全圖與原始地圖的對(duì)應(yīng)各目標(biāo)、各類要素及全圖的空間和語(yǔ)義相似關(guān)系,另一方面需要確定這些相似關(guān)系與地圖比例尺是否相適應(yīng)[4-5]。

4 潛在的研究方向

近年來(lái),學(xué)者們雖然已經(jīng)在空間相似關(guān)系的研究中取得了一些成果,但尚有許多問(wèn)題需要繼續(xù)探索。

(1) 空間相似關(guān)系計(jì)算結(jié)果的可信度驗(yàn)證。無(wú)論用何種方法計(jì)算得到的空間相似關(guān)系(包括定量的和定性的),都是主觀的結(jié)果,受到算法設(shè)計(jì)者的主觀意志、數(shù)據(jù)樣本、被試者的數(shù)量與范圍等的影響。如何設(shè)計(jì)高可信度的空間相似關(guān)系計(jì)算方法是地理信息科學(xué)的一個(gè)難題。

(2) 空間相似關(guān)系各因子權(quán)重的確定。計(jì)算兩個(gè)單體目標(biāo)或者兩個(gè)群組目標(biāo)的空間相似關(guān)系時(shí),其各個(gè)影響因子(如單體目標(biāo)的大小、形狀、位置及群組目標(biāo)之間的空間拓?fù)?、方向和距離關(guān)系)的權(quán)重通常以對(duì)被試進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查的形式獲得,其客觀性和通用性不易保障。

(3) 地圖綜合中多尺度地圖的空間相似關(guān)系與地圖比例尺變化之間的定量關(guān)系確定。多尺度地圖目標(biāo)的空間相似關(guān)系變化與地圖比例尺變化之間存在量化的函數(shù)關(guān)系[35],這種函數(shù)關(guān)系如何確定?對(duì)不同要素而言,該類關(guān)系是否可以用相同的函數(shù)來(lái)表達(dá)?該類函數(shù)是否與地物、地貌的區(qū)域特征有關(guān)?這些問(wèn)題都值得深入研究。

(4) 借助于空間相似關(guān)系使半自動(dòng)化的地圖綜合算法實(shí)現(xiàn)全自動(dòng)化。有許多地圖綜合算法在執(zhí)行中需要手工輸入?yún)?shù)(如Douglas-Peucker算法[36]),不利于全自動(dòng)地圖綜合的實(shí)現(xiàn)。有些參數(shù)與多尺度地圖空間相似關(guān)系、地圖比例尺存在函數(shù)依賴,如何借助地圖比例尺變化和空間相似關(guān)系計(jì)算出半自動(dòng)化地圖綜合算法中的參數(shù),進(jìn)而實(shí)現(xiàn)算法的自動(dòng)化,是一個(gè)重要的研究課題。

(5) 地圖綜合過(guò)程和綜合算法何時(shí)終止的問(wèn)題。當(dāng)前的地圖綜合軟件中,綜合過(guò)程和綜合算法的終止需要依據(jù)地圖制圖人員的經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷。從邏輯原理上看,判斷地圖綜合過(guò)程和算法何時(shí)終止可以依靠地圖綜合結(jié)果與原始地圖之間的空間相似關(guān)系和地圖比例尺的適宜度。

(6) 地圖綜合結(jié)果的評(píng)價(jià)。目前的地圖綜合結(jié)果評(píng)價(jià)基本依賴于地圖專家的經(jīng)驗(yàn)。本質(zhì)上,地圖綜合的質(zhì)量評(píng)價(jià)是把地圖綜合結(jié)果與評(píng)價(jià)者(通常是經(jīng)驗(yàn)豐富的制圖員)大腦中的標(biāo)準(zhǔn)地圖進(jìn)行對(duì)照,即進(jìn)行二者的相似度估量。因此,如何計(jì)算二者的空間相似關(guān)系是解決該問(wèn)題的核心。

(7) 多尺度空間復(fù)雜群組目標(biāo)的空間相似關(guān)系。因?yàn)楸疚挠懻摱喑叨鹊貓D空間相似關(guān)系是為地圖綜合服務(wù),故其涉及的群組目標(biāo)由同類單體目標(biāo)構(gòu)成。但是,在其他更多的情景下,群組由不同類型的單體目標(biāo)構(gòu)成,即多尺度下的群組更可能會(huì)出現(xiàn)異維和混合維單體組成的群組目標(biāo)[37],故探究其空間相似關(guān)系的計(jì)算方法很有必要。

(8) 時(shí)空相似關(guān)系。把時(shí)間維納入進(jìn)來(lái),研究?jī)蓚€(gè)目標(biāo)的時(shí)空相似關(guān)系的描述、表達(dá)、計(jì)算方法。當(dāng)然,由于時(shí)間維的加入,時(shí)空相似關(guān)系的計(jì)算問(wèn)題會(huì)更加復(fù)雜[38]。

(9) 多維地圖空間相似關(guān)系。本文的研究局限于二維地圖空間。顯然,把空間相似關(guān)系推向三維甚至更高維地圖空間是必要的。二維地圖空間相似關(guān)系的定義、性質(zhì)、影響因子及其權(quán)值、分類體系、計(jì)算方法等,在高維空間是否適用值得重新審視。

5 結(jié) 論

空間相似關(guān)系具有較強(qiáng)的綜合性,呈現(xiàn)出高度的復(fù)雜性和多樣性,導(dǎo)致其可計(jì)算性偏弱,因而尚缺乏系統(tǒng)的理論成果。為此,本文構(gòu)建了空間相似關(guān)系的一個(gè)理論體系,闡釋了空間相似關(guān)系的定義、分類、性質(zhì)、影響因子等基礎(chǔ)性問(wèn)題,論述了空間相似關(guān)系在同尺度和多尺度地圖空間的計(jì)算方法,探討了空間相似關(guān)系的主要應(yīng)用領(lǐng)域,給出了空間相似關(guān)系在基礎(chǔ)理論、多尺度地理信息表達(dá)和多維空間的未來(lái)研究方向。其中,各類目標(biāo)之間的空間相似關(guān)系計(jì)算方法和多尺度地圖空間相似關(guān)系與地圖比例尺之間的函數(shù)關(guān)系構(gòu)建、三維空間的相似關(guān)系、時(shí)空相似關(guān)系等是空間相似關(guān)系未來(lái)研究的難點(diǎn)和重點(diǎn),值得深入探究。

本文嘗試提出空間相似關(guān)系理論體系的目的是空間相似關(guān)系理論和應(yīng)用的研究更加嚴(yán)謹(jǐn)、系統(tǒng)、深入和完善。該理論體系是否合理、實(shí)用,其中的概念性問(wèn)題是否恰當(dāng)、準(zhǔn)確,尚需在未來(lái)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用中進(jìn)行驗(yàn)證和優(yōu)化。