王 勇

(江蘇省常州高級中學(xué),江蘇常州 213003)

幾何光學(xué)中成像規(guī)律研究基于3個基本實驗定律:(1)光在均勻的介質(zhì)中直線傳播定律;(2)光通過兩種介質(zhì)分界面時的反射定律和折射定律;(3)光的獨立傳播定律和光路可逆原理.在已有的文獻(xiàn)中絕大多數(shù)都是基于反射和折射定律推導(dǎo)近軸光線傳播和球面折射成像規(guī)律.本文將從波動光學(xué)的角度基于費馬原理中的物像間等光程分析光線傳播問題和球面折射成像規(guī)律,并將球面折射成像規(guī)律推廣到平面折射成像規(guī)律、球面反射和平面反射成像規(guī)律;基于物像之間的光程特點分析物理競賽中一些特殊的光學(xué)成像系統(tǒng).

費馬原理可以表述為:光線沿光程為平穩(wěn)值的路徑而傳播.當(dāng)光在指定的兩點之間存在多條路徑時,若某條光線光程是極小或極大,則意味著其鄰近光線光程不處于平穩(wěn)值,這違背費馬原理,所以物像之間光程只能是相等的.

1 物像等光程性推導(dǎo)成像規(guī)律

1.1 反射定律的推導(dǎo)

如圖1所示,兩平行光從無窮遠(yuǎn)處入射到分界面,反射光也為兩條平行光,兩虛線O1A、O2B為等光程面,在兩等光程面O1A和O2B之間光程O2A=O1B,則兩直角三角形△O1AO2與△O2BO1全等.全等直角三角形中兩直角邊O1A=O2B,根據(jù)直角邊與斜邊關(guān)系有O1O2cosθ1=O1O2cosθ2,所以反射角與入射角相等.

圖1

1.2 折射定律的推導(dǎo)

如圖2所示,兩平行光從無窮遠(yuǎn)處射到分界面發(fā)生折射,O1A、O2B為等光程面,在光程面O1A和O2B之間光程相同,所以有n1AO2+0=0+n2O1B,在兩直角三角形中有AO2=O2O1sinθ1,O1B=O2O1sinθ2,將AO2、O1B代入,有n1sinθ1=n2sinθ2.

圖2

1.3 球面折射成像規(guī)律推導(dǎo)

1.3.1 物距與像距關(guān)系

如圖3所示,處于主光軸上的物點A經(jīng)球面成像于主光軸的另一側(cè)像點B,球面兩側(cè)的折射率分別為n1、n2,主光軸與球面的交點為O,球面球心為C,若物距AO長s,像距BO長s',球的半徑為r,MC與主光軸的夾角為θ,由物像等光程性有n1AO+n2OB=n1AM+n2MB,則有

圖3

對于近軸光線θ→0,則有化簡后有

當(dāng)θ→0時作泰勒展開后,化簡可得

對于任意θ小角都成立,則有

化簡后有球面折射成像物距與像距關(guān)系

1.3.2 物高與像高關(guān)系

將主光軸繞圓心C旋轉(zhuǎn)一小角度,形成如圖4所示一虛線副光軸,物點與像點繞圓心C轉(zhuǎn)動后物點與像點的弧線長度近似為物高和像高,若物高為y,像高為y',則有

圖4

將式(1)代入可得

若規(guī)定主光軸上方物高與像高為正,主光軸下方物高與像高為負(fù),考慮物高與像高的符號,則得物高與像高關(guān)系為

1.3.3 折射成像規(guī)律的推廣

當(dāng)為平面折射成像時,平面曲率半徑r→∞,有,只要代入式(1)就可得平面折射成像的物距與像距關(guān)系式,化簡后物距與像距關(guān)系為

當(dāng)研究平面鏡的反射成像規(guī)律時,不同光線物像之間的路程不同,若要保持物像之間等光程,則平面鏡成像后物像之間的光程和必為0.當(dāng)入射光線一側(cè)的光程為nl時,平面鏡另一側(cè)光線光程必為虛光程,虛光程為-nl,平面鏡另一側(cè)的折射率可等效為-n.

當(dāng)為球面反射成像時,可認(rèn)為球面鏡另一側(cè)的折射率可等效為-n,只要代入式(1)就可得球面反射成像規(guī)律為,化簡后可得球面反射物距與像距的關(guān)系為.球面折射成像的像方在入射光線的另一側(cè),但球面反射成像的像方在入射光線的同側(cè),所以球面反射中的s'＜0表示球面反射成實像,球面反射中的s'＞0表示球面反射成虛像.為了統(tǒng)一像距為負(fù)值時成虛像這一約定,可將球面反射物距與像距的關(guān)系改寫為,其中-s'為球面反射的像距.

若設(shè)-s'=s″,球面反射物距與像距的關(guān)系為

當(dāng)為平面反射成像時,平面曲率半徑r→∞,有,只要代入式(3)就可得平面反射成像的物距與像距關(guān)系式,化簡后關(guān)系為s″=-s.

2 競賽中應(yīng)用

2.1 物像等光程在負(fù)折射率競賽題中應(yīng)用

例1.(第35屆物理競賽決賽題)介質(zhì)的折射率n可以大于0,也可以小于0,n小于0的介質(zhì)稱為負(fù)折射介質(zhì).光在負(fù)折射介質(zhì)內(nèi)傳播,其光程為負(fù)值(相位隨傳播距離的變化規(guī)律與在折射率為正的介質(zhì)中的相反).如果定義折射角與入射角在界面法線同側(cè)時折射角為負(fù),可以證明折射定律在界面兩邊有負(fù)折射介質(zhì)時仍然成立,即n1sinθ1=n2sinθ2,其中n1和n2均可以大于0或小于0.

(1)設(shè)想一束平行光入射到界面上,在答題紙上畫出圖5(a)和圖5(b)所示情況下進(jìn)入介質(zhì)2的光線及對應(yīng)的子波的示意圖,并依此證明折射定律成立.

圖5

(2)如圖5(c)所示,半徑為R的球面將空間隔開為兩個區(qū)域,其折射率分別記為n1(n1＞0)和n2(n2＜0)C點是球面的球心,圖中已畫取某一光軸與球面的交點O為原點.圖中已畫出此情形下一段入射光線和折射光線,x和y分別為入射光線、折射光線與光軸的交點坐標(biāo).記物距為s1,像距為s2.在傍軸近似下導(dǎo)出球面的成像公式和橫向放大率公式.請明確指出最后結(jié)果中各個量的正負(fù)號約定.

(3)設(shè)介質(zhì)1為空氣,即n1≈1,n2可大于0也可小于0.在球面[參考圖5(c)]前放置一普通薄凸透鏡,透鏡的光軸通過球心C,焦點位于負(fù)折射介質(zhì)區(qū)域內(nèi),透鏡的焦距f=1.5R,透鏡中心O'點與O點的距離為d.一束沿光軸傳播的平行光入射到薄透鏡.分別就表中4組參數(shù)計算入射光在光軸上會聚點離O點的距離,并在答題紙上畫4組參數(shù)計算入射光在光軸上會聚點離O點的距離,并在答題紙上畫4情形的光路示意圖.

解析:(1)圖5(a)中兩邊介質(zhì)都是正折射率,證明和作圖如上.對于負(fù)折射率介質(zhì)中成像問題可類比光的折射定律、折射成像規(guī)律推導(dǎo).若光線在負(fù)折射率介質(zhì)一側(cè)折射到法線的另一側(cè)時,光從正折射率一側(cè)到負(fù)折射率一側(cè)時,兩等光程面之間的兩條光線的光程一正一負(fù),光程差不可能相等,折射光線只能偏折到法線的同側(cè)才能保證兩等光程面之間光程相等,且兩等光程面間光程為0.即n1AO2+n2O2B=0,光的折射如圖6所示,由于AO2=O1O2sinθ1,O2B=-O1O2sinθ2,負(fù)號由于θ2＜0,代入可得n1O1O2sinθ1-n2O1O2sinθ2=0,化簡后可得n1sinθ1=n2sinθ2.

圖6

(2)如圖7所示,當(dāng)在負(fù)折射率介質(zhì)中球面折射時,根據(jù)物像間等光程,有n1AO+n2OB=n1AM+n2MB,化簡后同樣有

圖7

(3)略.

2.2 物像等光程性在透鏡成像中的應(yīng)用

例2.(第38屆物理競賽復(fù)賽題)(1)如圖8所示,一寬束平行光正入射到折射率為n的平凸透鏡左側(cè)平面上,會聚于透鏡主軸上的點F,系統(tǒng)過主軸的截面如圖8所示.已知凸透鏡頂點O到F點的距離為r0.試在極坐標(biāo)系中求所示平凸透鏡的凸面形狀,并表示成直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)形式.

圖8

(2)在如圖8所示的光學(xué)系統(tǒng)中,共軸地插入一個折射率為n'的平凹透鏡(平凹透鏡的平面在凹面的右側(cè),頂點在O、F點之間的光軸上,到F的距離為r0',r0'＜r0),使原來匯聚到F點的光線經(jīng)平凹透鏡的凹面折射后平行向右射出.

①在極坐標(biāo)系中求所插入的平凹透鏡的凹面形狀,并表示成直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)形式;

②已知通過平凸透鏡后的匯聚光線與主軸的夾角θ的最大值為θmax,求入射平行圓光束與出射平行圓光束的橫截面半徑之比.

解析:(1)平行光正入射到平凸透鏡左側(cè)平面上后聚焦到主光軸上的F點,無窮遠(yuǎn)處的物與像點F之間等光程,由于平凸透鏡左側(cè)為平行光,則如圖9所示,虛線為等光程面.虛線到像點F的光程相等,則有MF=nHO+OF,當(dāng)以聚焦點F為極點建立極坐標(biāo)系,若極徑MF為r,極角為θ,則有r=n(rcosθ-r0)+r0,化簡后可得r=當(dāng)以主光軸為x軸,垂直于主光軸過F點的直線為y軸時,可得在直角坐標(biāo)系中的凸面形狀方程為

圖9

(2)①如圖10所示,當(dāng)聚焦光線進(jìn)入一折射率為n'的平凹透鏡,使原來匯聚到F點的光線經(jīng)凹面折射后平行射出,在平凹透鏡內(nèi)的虛光線對應(yīng)為虛光程,在虛物與N'F平面間光線等光程,有-FM'+n'M'N'=-FO'+n'O'F.當(dāng)以F為極坐標(biāo)的極點時有-r+n'rcosθ=-r0'+n'r0',化簡后可得當(dāng)以主光軸為x軸,垂直于主光軸過F點的直線為y軸時,可得在直角坐標(biāo)系中的凸面形狀方程為

圖10

②解略.

3 物像等光程性的推廣應(yīng)用

例3.(第30屆物理競賽復(fù)賽題)一斜劈形透明介質(zhì)劈尖,尖角為θ,高為h.今以尖角頂點為坐標(biāo)原點,建立坐標(biāo)系如圖11所示;劈尖斜面實際上是由一系列微小臺階組成的,在圖11中看來,每一個小臺階的前側(cè)面與xz平面平行,上表面與yz平面平行.劈尖介質(zhì)的折射率n隨x而變化,n(x)=1+bx其中常數(shù)b＞0.一束波長為λ的單色平行光沿x軸正方向照射劈尖;劈尖后放置一薄凸透鏡,在劈尖與薄凸透鏡之間放一擋板,在擋板上刻有一系列與z方向平行、沿y方向排列的透光狹縫,如圖12所示,入射光的波面(即與平行入射光線垂直的平面)、劈尖底面、擋板平面都與x軸垂直,透鏡主光軸為x軸.要求通過各狹縫的透射光彼此在透鏡焦點處得到加強(qiáng)而形成亮紋.已知第一條狹縫位于y=0處;物和像之間各光線的光程相等.

圖11

圖12

(1)求其余各狹縫的y坐標(biāo);

(2)試說明各狹縫彼此等距排列能否仍然滿足上述要求.

解析:(1)如圖12所示,斜劈直角邊左側(cè)的平行光等光程.通過透光狹縫后的平行光經(jīng)過凸透鏡成像于焦點,斜劈虛線右側(cè)平行光到焦點的光線也是等光程.當(dāng)要使全部平行光聚焦到焦點處得到加強(qiáng)而形成亮紋,所以斜劈直角邊與虛線間的光程理應(yīng)相等,但由于斜劈介質(zhì)的折射率n隨x而變化,斜劈直角邊到虛線間距離又相等,所以斜劈直角邊到虛線間的光程不可能相等.因此若要使全部平行光聚焦到焦點得到加強(qiáng)而形成亮紋,只能斜劈直角邊到虛線間相鄰?fù)腹猹M縫位置處的光程差為波長的整數(shù)倍,才能確保所有平行光到焦點時振動同步.

射到斜劈y處的光線,光程為

y處通過非斜劈部分的光程δ2(y)=hytanθ,斜劈y處的直角邊與虛線間的光程為以上兩光程和δ(y)=δ1(y)+δ2(y)=

由于位于y=0處無介質(zhì)光程為h,斜劈y處與O處的光程差為

當(dāng)斜劈y處與y=0處的光程差滿足時(k=1,2,3…),通過各狹縫的透射光將在透鏡焦點處振動同步而得到加強(qiáng)的亮紋.

綜上所述,本文基于費馬原理中物像間的等光程性從理論上推導(dǎo)出光的反射定律、折射定律、球面折射成像規(guī)律,從波動角度進(jìn)一步認(rèn)識了光的成像本質(zhì).當(dāng)前物理競賽中光學(xué)競賽題也正在由純幾何光學(xué)逐步向特殊光學(xué)元件研究設(shè)計和光學(xué)儀器的原理考查轉(zhuǎn)變,如波帶片、邁克爾遜干涉儀等,從波動角度利用光程分析也是解決光學(xué)競賽題的一大利器.