方宜武，于鵬飛，徐庶，田琪，謝文雅，王忠

（中國電子科技南湖研究院 先進(jìn)算法實(shí)驗(yàn)室，浙江嘉興 314001）

0 引言

在復(fù)合材料自動鋪絲和/或連續(xù)纖維3D打印中，可實(shí)現(xiàn)單向纖維的曲線鋪放，使鋪放角度在同一鋪層之內(nèi)連續(xù)變化，從而提高可設(shè)計(jì)性，使增強(qiáng)結(jié)構(gòu)性能或減輕結(jié)構(gòu)質(zhì)量成為可能[1-3]。帶有連續(xù)變化纖維角度鋪層的復(fù)合材料被稱為變剛度復(fù)合材料層壓板（Variable Stiffness Composite Laminates）[4-5]，不斷變化的纖維取向使每層的剛度在不同空間位置各不相同。設(shè)計(jì)者借此調(diào)整層壓板內(nèi)在載荷分布，提高結(jié)構(gòu)有效性[5-6]。Waldhart[1]對變剛度層壓板進(jìn)行了理論與仿真分析，Kim等[2]完成對連續(xù)纖維復(fù)合材料層壓板的制造與驗(yàn)證，Lopes等[3]驗(yàn)證了變剛度層壓板在壓縮屈曲和首層破壞模式下的性能優(yōu)勢，Gürdal[5-6]等將變角度鋪層應(yīng)用到實(shí)際中，楊竣博[7]完成了對變角度層壓板參數(shù)化定義并研究其在不同軸壓載荷下的力學(xué)性能，但所有這些研究中涉及到變剛度層壓板具體軌跡規(guī)劃算法的不多。

基于上述研究背景，首先定義變角度鋪層的基準(zhǔn)參考路徑，然后通過“移動”基準(zhǔn)參考路徑得到其他路徑，進(jìn)而得到整個變角度鋪層纖維角度的變化規(guī)律?；鶞?zhǔn)軌跡的描述形式有很多種，線性函數(shù)法因其最具代表性和簡潔性而被廣泛采用[7]，其他路徑可通過平移動軌跡和平行軌跡獲得[1]。本文采用線性函數(shù)法描述基準(zhǔn)軌跡，采用平移動軌跡和平行移動軌跡得到剩余軌跡，并分別得到各自的算法，該算法可擴(kuò)展應(yīng)用至任意變化角度。

1 變角度軌跡算法

1.1 變角度基準(zhǔn)軌跡描述

變角度層壓板的軌跡示意如圖1所示。若用線性函數(shù)Y=F（X）=φ〈T0|T1〉表示旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系XOY中的纖維角度變化規(guī)律[1]，由旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸的性質(zhì)，纖維軌跡在坐標(biāo)系xoy中的線性表達(dá)式為：

圖1 變角度軌跡示意圖

軌跡上的點(diǎn)P（x, y）處軌跡方向與x軸的夾角公式為

式（1）、式（2）中X= x·cos φ+y·sin φ。

1.2 變角度基準(zhǔn)軌跡算法

復(fù)雜三維外形的零件CAD可通過網(wǎng)格化處理進(jìn)行編程計(jì)算[8-9]，對于二維平板，僅通過沿x方向的步長λ便可描述軌跡點(diǎn)Pi（xi，yi）和它的上一軌跡點(diǎn)Pi-1（xi-1，yi-1）的關(guān)系。如圖2所示，鋪放起始點(diǎn)P0坐標(biāo)和起始鋪放方向v0已知，用θ（xi，yi）表示點(diǎn)Pi（xi，yi）處鋪放（軌跡）方向與x軸的夾角，簡記為θi。用Δθi表示點(diǎn)Pi（xi，yi）處相對于上一鋪放點(diǎn)Pi-1（xi-1，yi-1）的偏轉(zhuǎn)角度若給定各軌跡點(diǎn)間的步長λi，可求出系列鋪放點(diǎn){P0，P1，P2，…，Pi-1，Pi}的坐標(biāo)：

圖2 基準(zhǔn)軌跡算法示意圖

對于采用步長λi計(jì)算的軌跡規(guī)劃而言，特別是軌跡曲率變化較大時，步長劃分的結(jié)果決定了算法的精度和效率。即軌跡線曲率改變較大時，鋪絲頭旋轉(zhuǎn)角度變化大，為保證軌跡線的精準(zhǔn)度并防止因鋪絲頭旋轉(zhuǎn)過大而引起纖維拉伸，步長應(yīng)較小。理想軌跡點(diǎn)的疏密程度應(yīng)與其曲率變化程度正相關(guān)，這就要求步長大小與曲線曲率變化程度負(fù)相關(guān)。

如圖2所示，當(dāng)軌跡點(diǎn)取至點(diǎn)Pi（xi，yi）并求取下一軌跡點(diǎn)。

步驟1：利用式（2）計(jì)算點(diǎn)Pi處的軌跡角度θi；

步驟2：輸入步長λi，利用式（3）計(jì)算點(diǎn)Pi+1坐標(biāo)（xi+1，yi+1）；

步驟3：按前2步求取下一軌跡點(diǎn)Pi+2，直至模型邊界。

1.3 平移軌跡算法

平行軌跡算法即將基準(zhǔn)鋪放軌跡沿某一方向移動一定距離得到其相鄰的鋪放軌跡，以圖3為例將軌跡線{P0，P1，P2，…，Pi-1，Pi}沿與x軸夾角為α方向移動全絲束寬度w，得到軌跡線{Q0，Q1，Q2，…，Qi-1，Qi}；令di=PiQi=（xQi-xi，yQi-yi），使得di×vi恒正或恒負(fù)，可保證每次平移方向的一致性。平移軌跡點(diǎn)Qi（xQi，yQi）的求解方程見式（4）：

圖3 平行軌跡算法示意圖

得到軌跡線{Q0，Q1，Q2，…，Qi-1，Qi}后，按照上述方法將其沿某一方向平移，得到剩余的系列平移軌跡線覆滿鋪放面。

如圖3所示，當(dāng)軌跡點(diǎn)取至點(diǎn)Pi（xi，yi）時，平移軌跡求取過程如下。

步驟1：利用式（4）計(jì)算點(diǎn)Qi的坐標(biāo)；

步驟2：至下一點(diǎn)Pi+1處按第1步利用式（4）計(jì)算點(diǎn)Qi+1的坐標(biāo)，直至模型邊界。

1.4 平行軌跡算法

以圖4為例，將基準(zhǔn)軌跡上的軌跡點(diǎn){P0，P1，P2，…，Pi-1，Pi}各自沿其法線方向{n0，n1，n2，…，ni-1，ni}移動全絲束帶寬w，得到系列軌跡點(diǎn){Q0，Q1，Q2，…，Qi-1，Qi}，通過擬合這些軌跡點(diǎn)得到平行于基準(zhǔn)軌跡的鋪放軌跡線。以Ni表示垂直于軌跡Pi處軌跡線vi的方向，則軌跡Pi處的法線方向?yàn)閚i=Ni+Ni-1；令di=PiQi=（xQi-xi，yQi-yi），使得di×vi恒正或恒負(fù)，可保證每次求取平行軌跡點(diǎn)方向的一致性。軌跡點(diǎn)Qi（xQi，yQi）的求解方程見式（5）：

圖4 平行軌跡算法示意圖

得到第一條平行軌跡線后，按照上述方法將其各鋪放點(diǎn)沿其鋪放方向的法線方向移動，得到下一條軌跡的鋪放點(diǎn)并擬合得到其他平行軌跡線，直至覆滿鋪放面。

如圖4所示，當(dāng)軌跡點(diǎn)取至點(diǎn)Pi（xi，yi）時，平行軌跡求取過程如下：

步驟1：計(jì)算點(diǎn)Pi-1處的軌跡方向vi-1、點(diǎn)Pi處的軌跡方向vi；

步驟2：計(jì)算軌跡方向vi-1、vi的法向向量Ni-1、Ni；

步驟3：利用式（5）計(jì)算點(diǎn)Qi的坐標(biāo)；

步驟4：按前3步在下一軌跡點(diǎn)Pi+1處求取其對應(yīng)的平行軌跡點(diǎn)Qi+1，直至模型邊界。

1.5 任意角度變化的軌跡點(diǎn)算法

在變剛度層壓板鋪放中，如圖5所示，對已求解出上一軌跡點(diǎn)（或給定鋪放起始點(diǎn)）Pi-1以及鋪放至上一軌跡點(diǎn)的方向（或起始鋪放方向）vi-1，當(dāng)在下一軌跡點(diǎn)偏轉(zhuǎn)任意角度Δθi時，軌跡點(diǎn)Pi的求解方程為：

圖5 變化任意角度的軌跡點(diǎn)算法示意圖

任意變化角度的軌跡點(diǎn)求取過程如下：

步驟1：計(jì)算點(diǎn)Pi-1處的軌跡方向vi-1、輸入步長λi和預(yù)設(shè)的偏轉(zhuǎn)角度Δθi；

步驟2：利用式（5）計(jì)算點(diǎn)Pi的坐標(biāo)；

步驟3：按前2步求解下一軌跡點(diǎn)Pi+1直至模型邊界。

2 算法實(shí)現(xiàn)與實(shí)際樣件試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 算法實(shí)現(xiàn)

為實(shí)現(xiàn)變剛度層壓板算法，基于VC++平臺開發(fā)了算法程序，算法以600 mm×600 mm平板為例，分別對0〈0|15〉基準(zhǔn)線及其平移軌跡和平行軌跡、任意變角度軌跡及其平移軌跡和平行軌跡進(jìn)行計(jì)算，將所得軌跡點(diǎn)導(dǎo)入三維建模軟件CATIA并插值繪制其軌跡線，結(jié)果如圖6、圖7所示。從圖6、圖7可以看出，軌跡線符合理論公式的計(jì)算，表明本文上述算法的正確性和合理性。

圖6 0〈0|15〉基準(zhǔn)軌跡的平移軌跡和平行軌跡

圖7 任意基準(zhǔn)軌跡的平移軌跡和平行軌跡

2.2 實(shí)際樣件試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證試驗(yàn)實(shí)際效果，對無人機(jī)機(jī)身復(fù)雜連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行連續(xù)纖維3D打印完成試驗(yàn)驗(yàn)證，效果如圖8所示。由此可見，基準(zhǔn)軌跡、平移軌跡和平行軌跡對應(yīng)的連續(xù)纖維分布合理，驗(yàn)證了算法的實(shí)際應(yīng)用可行性。

圖8 無人機(jī)機(jī)身結(jié)構(gòu)3D打印驗(yàn)證

3 結(jié)語

1）根據(jù)變角度軌跡的曲率變化設(shè)定步長，保證算法的精準(zhǔn)度和效率；

2）提出變剛度層壓板中變角度軌跡線性函數(shù)的基準(zhǔn)軌跡、平移軌跡和平行軌跡，以及變化任意角度軌跡規(guī)劃算法的數(shù)學(xué)原理，求解其變角度軌跡；

3）基于VC++平臺編程實(shí)現(xiàn)算法，并按求解結(jié)果繪制軌跡線，驗(yàn)證了變角度算法的正確性和合理性，簡化了編程難度、提高了計(jì)算效率，可作為變剛度層壓板的模擬、編程、制造及其工程應(yīng)用的技術(shù)支撐；

4）對無人機(jī)機(jī)身復(fù)雜連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行連續(xù)纖維3D打印完成試驗(yàn)驗(yàn)證，完成對基準(zhǔn)軌跡、平移軌跡和平行軌跡對應(yīng)的連續(xù)纖維打印，分布合理，驗(yàn)證了算法的實(shí)際應(yīng)用可行性。