郭北濤，涂修賢，姜旭

（沈陽(yáng)化工大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110142）

0 引言

工業(yè)機(jī)器人作為由人工智能、電子信息、自動(dòng)化技術(shù)等多門學(xué)科交叉融合所產(chǎn)生的智能現(xiàn)代化設(shè)備，其不僅可以提高產(chǎn)品質(zhì)量精度，同時(shí)還可以極大地提高工作效率，已經(jīng)在汽車、航空航天、工程機(jī)械、工業(yè)鑄造等多個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[1]。無(wú)損檢測(cè)技術(shù)是指在不損害或者不影響被檢測(cè)對(duì)象性能的前提下，采用渦流、超聲、射線等技術(shù)對(duì)被檢測(cè)對(duì)象進(jìn)行缺陷、物理、化學(xué)等參數(shù)檢測(cè)分析，是工業(yè)發(fā)展不可或缺的關(guān)鍵技術(shù)[2]，已經(jīng)在各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。隨著整個(gè)社會(huì)對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量和產(chǎn)品精度的要求越來(lái)越嚴(yán)格，提高無(wú)損檢測(cè)的精度和工作效率實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化檢測(cè)儼然已經(jīng)成為一個(gè)發(fā)展的必然趨勢(shì)，而機(jī)器人學(xué)的發(fā)展，正好為實(shí)現(xiàn)無(wú)損檢測(cè)自動(dòng)化提供了巨大的支持，因此將機(jī)器人學(xué)和無(wú)損檢測(cè)結(jié)合實(shí)現(xiàn)無(wú)損檢測(cè)自動(dòng)化成為研究的熱點(diǎn)。

在制造業(yè)快速發(fā)展的今天，各種曲面工件廣泛地應(yīng)用在各種現(xiàn)代化設(shè)備中。工件的制造精度直接影響從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)精度[3]，所以為了達(dá)到滿足工作需求的運(yùn)動(dòng)特征，必須要對(duì)工件表面進(jìn)行缺陷檢測(cè)以保證曲面工件的制造精度，本文提出的機(jī)械手與渦流檢測(cè)裝置結(jié)合的渦流自動(dòng)檢測(cè)系統(tǒng)就是在此情況下應(yīng)用。但針對(duì)曲面工件進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，探頭需要與工件保持一個(gè)穩(wěn)定的工作距離以獲得穩(wěn)定的數(shù)據(jù)，對(duì)工作的穩(wěn)定提出了較高的要求。因此，高精度的軌跡規(guī)劃研究是很有必要的。

在機(jī)械手的軌跡規(guī)劃方面，袁旭華等[4]提出了改進(jìn)B樣條曲線和優(yōu)化搜索策略蜂群算法相結(jié)合的規(guī)劃方法；周遠(yuǎn)非等[5]提出了基于拉格朗日動(dòng)力學(xué)對(duì)機(jī)械臂建模，并利用均勻5次B樣條函數(shù)來(lái)構(gòu)建運(yùn)動(dòng)軌跡；謝嘉等[6]通過(guò)構(gòu)建5自由度機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型，分析計(jì)算出其正逆運(yùn)動(dòng)算法。

研究中主要對(duì)凸輪工件的曲面表面進(jìn)行五自由度串聯(lián)機(jī)械手跟蹤的軌跡規(guī)劃，首先在任務(wù)空間中選取多個(gè)所要經(jīng)過(guò)的檢測(cè)路徑點(diǎn), 在已知多個(gè)檢測(cè)路徑點(diǎn)的前提下，通過(guò)機(jī)械手臂動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析，應(yīng)用逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)檢測(cè)路徑點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解，得出機(jī)械手臂各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，再通過(guò)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行解正確性的驗(yàn)證，對(duì)驗(yàn)證后的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度進(jìn)行曲線插值規(guī)劃，在曲線插值規(guī)劃之后生成各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度的檢測(cè)軌跡函數(shù)，完成對(duì)機(jī)械手臂各個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡規(guī)劃[7]。

1 曲面工件渦流自動(dòng)檢測(cè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

曲面工件渦流自動(dòng)檢測(cè)系統(tǒng)由由機(jī)械手臂控制系統(tǒng)與渦流缺陷檢測(cè)采集系統(tǒng)兩大部分組成。第一部分為機(jī)械手臂控制系統(tǒng)，由上位機(jī)、五自由度串聯(lián)機(jī)械手臂等構(gòu)成。在檢測(cè)過(guò)程中將被檢測(cè)曲面工件凸輪工件的位姿坐標(biāo)應(yīng)用所編寫的正向、逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)程序，轉(zhuǎn)化為機(jī)械手臂各個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度，通過(guò)五次B樣條曲線進(jìn)行軌跡規(guī)劃，再應(yīng)用所提出的算法對(duì)機(jī)械手臂跟蹤的檢測(cè)軌跡進(jìn)行時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃，將規(guī)劃好的軌跡程序輸入上位機(jī)中，通過(guò)上位機(jī)對(duì)機(jī)械手臂發(fā)出控制指令，使得機(jī)械手臂夾取渦流探頭按照規(guī)劃的軌跡對(duì)凸輪工件表面缺陷進(jìn)行檢測(cè)。

第二部分為渦流缺陷檢測(cè)采集系統(tǒng)，由工控機(jī)、渦流采集卡、渦流檢測(cè)儀器和探頭等構(gòu)成。隨著機(jī)械手臂按照所規(guī)劃的軌跡夾持探頭對(duì)凸輪工件表面缺陷進(jìn)行檢測(cè)，渦流采集卡對(duì)凸輪工件表面缺陷信息進(jìn)行實(shí)時(shí)采集，并將缺陷信息傳輸?shù)焦た貦C(jī)中，由工控機(jī)中的檢測(cè)軟件對(duì)缺陷信息進(jìn)行處理，并顯示凸輪工件表面缺陷信息，最終完成凸輪工件表面缺陷自動(dòng)檢測(cè)工作。

2 機(jī)械手軌跡規(guī)劃分析

2.1 正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

正向運(yùn)動(dòng)學(xué)是在得到機(jī)械臂每個(gè)桿件長(zhǎng)度的情況下，對(duì)于機(jī)械手臂的每個(gè)關(guān)節(jié)角度的變化量，通過(guò)計(jì)算得到末端執(zhí)行器在坐標(biāo)下的相對(duì)位置和姿態(tài)。相鄰的關(guān)節(jié)坐標(biāo)系可用齊次矩陣i-1i T的樣式來(lái)描述各自的姿態(tài)，所以每個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系本質(zhì)上是在前一個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)變換后進(jìn)行下一次變換，所以將矩陣右乘就得到坐標(biāo)系{Ai-1}向坐標(biāo)系{Ai}的變換矩陣：

所以i-1i T的表達(dá)式如下：

通過(guò)上述分析可知，從基底到機(jī)械手末端執(zhí)行器的變換矩陣形式為

則將上述矩陣依次相乘可得機(jī)械手臂末端執(zhí)行器在空間坐標(biāo)系中的準(zhǔn)確位姿，矩陣表達(dá)式如下：

通過(guò)上述對(duì)機(jī)械手臂正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析，在已知機(jī)械手各關(guān)節(jié)變量、連桿長(zhǎng)度、連桿偏移等參數(shù)的情況下，可明確機(jī)械手臂末端執(zhí)行器精準(zhǔn)的位置和姿態(tài)。

2.2 逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)是在已知末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)的基礎(chǔ)上，求解出機(jī)械手臂各個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。由于逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)的特殊性，往往存在多解甚至存在無(wú)解的情況。所以求解機(jī)械手臂逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，選取逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)的解，成為分析好逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)的關(guān)鍵，也是機(jī)械手臂軌跡規(guī)劃的重要基礎(chǔ)。

本研究結(jié)合所研究曲面工件渦流自動(dòng)檢測(cè)系統(tǒng)中機(jī)械手的結(jié)構(gòu)特性，使用代數(shù)法與幾何法相結(jié)合的方法來(lái)求解逆解。

1）幾何法求解機(jī)械手關(guān)節(jié)角θ2、θ3、θ4。

將所研究的五自由度串聯(lián)機(jī)械手進(jìn)行平面投影，投影模型如圖1所示。機(jī)械手臂的末端點(diǎn)P（x，y）的橫縱坐標(biāo)最終由3個(gè)部分組成（x2+x3+x4，y2+y3+y4）。圖1中的θ2、θ3、θ4就是我們要求解的機(jī)械手舵機(jī)的變化角度，即運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的逆解。α為末端執(zhí)行器與水平面的夾角。

圖1 機(jī)械手臂平面投影

求解θ3：

設(shè)

根據(jù)余弦定理，設(shè)

則

求解θ2，

當(dāng)θ3＜0時(shí)，

或當(dāng)θ3＞0時(shí)，

求解θ4：

2）代數(shù)法求解機(jī)械手關(guān)節(jié)角θ1、θ5。

根據(jù)式（12）第2行第4列中對(duì)應(yīng)元素相等即可求得θ1：

根據(jù)式（12）中第2中第2列中對(duì)應(yīng)元素相等可知：

至此通過(guò)幾何法和代數(shù)法的分析，已全部求解出五自由度串聯(lián)機(jī)械手臂各關(guān)節(jié)變化量的函數(shù)表達(dá)式，在應(yīng)用機(jī)械手臂檢測(cè)凸輪工件的曲面表面的缺陷實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，通過(guò)給定某個(gè)末端執(zhí)行器的姿態(tài)，使用上述函數(shù)表達(dá)式得到機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

2.3 五次B樣條軌跡規(guī)劃

B樣條曲線對(duì)于機(jī)械手臂軌跡規(guī)劃具有較高的契合度，可對(duì)機(jī)械手進(jìn)行實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)控制[8]，能夠達(dá)到所研究的機(jī)械手對(duì)凸輪工件表面缺陷進(jìn)行渦流無(wú)損檢測(cè)的控制要求。B樣條函數(shù)是一個(gè)由節(jié)點(diǎn)矢量的非遞減參數(shù)n的序列所決定的k分段多項(xiàng)式[9]，其曲線的函數(shù)表達(dá)式如下：

式中，u∈（uk-1，un+1），i=0，1，…n。

B樣條曲線對(duì)機(jī)械手臂各關(guān)節(jié)角度轉(zhuǎn)動(dòng)值的軌跡規(guī)劃是：首先根據(jù)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析，將機(jī)械手臂末端執(zhí)行器所經(jīng)過(guò)的檢測(cè)路徑點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為機(jī)械手臂各關(guān)節(jié)角度的轉(zhuǎn)動(dòng)值，再通過(guò)B樣條曲線對(duì)各關(guān)節(jié)角度的變化量進(jìn)行插值計(jì)算，從而求解出機(jī)械手臂各關(guān)節(jié)角位移與時(shí)間的關(guān)系。求解關(guān)于機(jī)械手臂各關(guān)節(jié)角位移的B樣條曲線函數(shù)表達(dá)式，首先必須求解控制頂點(diǎn)Pi與節(jié)點(diǎn)向量U。

1）求解節(jié)點(diǎn)向量U。

現(xiàn)設(shè)關(guān)節(jié)角位移的時(shí)間序列為T（θi，ti），其中i=0，1，…，n，機(jī)械手從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到運(yùn)動(dòng)結(jié)束所用的總時(shí)間為ttotal=tf-t0，同時(shí)利用累加弦長(zhǎng)參數(shù)化，根據(jù)長(zhǎng)度比例關(guān)系來(lái)對(duì)時(shí)間進(jìn)行歸一化。這種參數(shù)法反映了控制點(diǎn)按弦長(zhǎng)的分布情況，可以解決控制點(diǎn)按弦長(zhǎng)分布不均勻的情況下采用均勻參數(shù)化所出現(xiàn)的問(wèn)題，其表達(dá)式如下：

2）求解控制頂點(diǎn)Pi。

根據(jù)在任一確定的區(qū)間［ui，ui+1］內(nèi)，存在不超過(guò)k+1個(gè)非零基函數(shù)Bj，k，即Bi-k，k，…Bi，k的原則。因此在區(qū)間［ui，ui+1］上的機(jī)械手臂關(guān)節(jié)角位移θi的B樣條曲線函數(shù)可改成：

將在節(jié)點(diǎn)區(qū)間［uk，un+k］內(nèi)的節(jié)點(diǎn)值代入到式（17）中可得到n+1個(gè)方程表達(dá)式：

式中，ui+k∈［uk，un+k］，n=0，1，…，n。

因?yàn)榍蠼鈔+k個(gè)控制點(diǎn)需要有n+k個(gè)約束條件，現(xiàn)有n+1個(gè)約束條件，故現(xiàn)在增添k-1個(gè)約束條件即設(shè)起點(diǎn)與終點(diǎn)速度為v0、vf，起點(diǎn)與終點(diǎn)的加速度為a0、af。則表達(dá)式如下：

通過(guò)式（19）～式（21）可解的方程：

其中五次B樣條函數(shù)系數(shù)矩陣CB形式如下：

3 軌跡仿真分析

現(xiàn)以機(jī)械手臂第四關(guān)節(jié)為例，取10個(gè)第四關(guān)節(jié)所經(jīng)過(guò)的路徑點(diǎn)作為插值點(diǎn)，應(yīng)用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)編寫的Matlab程序，將所選取的路徑點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為機(jī)械手臂各關(guān)節(jié)角度轉(zhuǎn)動(dòng)值，如表1所示。

表1 機(jī)械手第四關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度 （°）

設(shè)置兩路徑點(diǎn)之間的時(shí)間間隔為2 s，編寫的三次樣條與五次B樣條插值函數(shù)程序在Matlab中進(jìn)行軌跡仿真，仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 三次樣條運(yùn)動(dòng)軌跡曲線

圖3 五次B樣條運(yùn)動(dòng)軌跡曲線

在通過(guò)以上幾種方式對(duì)比分析，如圖2所示，三次樣條軌跡解決了加速度不連續(xù)的問(wèn)題，但是其加速度曲線變化不平滑易于產(chǎn)生誤差，影響檢測(cè)精度，且其加加速度曲線不連續(xù)，容易對(duì)機(jī)械手臂產(chǎn)生較大的沖擊。如圖3所示，五次B樣條軌跡曲線，在滿足機(jī)械手臂關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)約束條件的基礎(chǔ)上，不僅具有連續(xù)、平滑變化的速度、加速度、加加速度曲線，同時(shí)還由于其函數(shù)的特性可隨時(shí)對(duì)部分檢測(cè)軌跡進(jìn)行局部調(diào)整而不影響整段軌跡，這是其他軌跡曲線都不具備的，所以結(jié)合上述分析從機(jī)械手臂運(yùn)動(dòng)動(dòng)態(tài)、使用壽命、軌跡調(diào)整能力等方面考慮，五次B樣條軌跡曲線作為五自由度串聯(lián)機(jī)械手臂檢測(cè)工件表面缺陷的檢測(cè)軌跡是具有很大優(yōu)勢(shì)的。

4 結(jié)論

通過(guò)正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，得到各關(guān)節(jié)角的參數(shù)以確定機(jī)械手各關(guān)節(jié)的位置與姿態(tài)，運(yùn)用五次B樣條插值對(duì)機(jī)械手進(jìn)行軌跡規(guī)劃。實(shí)驗(yàn)表明，該方法對(duì)5自由度機(jī)械手檢測(cè)軌跡有明顯的優(yōu)化作用，有助于對(duì)渦流自動(dòng)檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)一步研究。