黃瀚林，周仕明，李道奎，彭少駒

（1.國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410073；2.空天任務(wù)智能規(guī)劃與仿真湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410073；3.中國人民解放軍 77680部隊(duì)，西藏 山南 856000）

0 引言

波紋管是用于補(bǔ)償管路或設(shè)備因溫差或溫度波動(dòng)造成的軸向、橫向和角位移的管路元件，在航空航天、水力、電力、石化、船舶、供熱網(wǎng)方面都有廣泛的運(yùn)用[1]。

波紋管主要有U形、V形、S形、Ω形等波形；按其層數(shù)劃分可劃分為單層波紋管（層數(shù)為1）和多層波紋管（層數(shù)不小于2）。波紋管軸向剛度是評價(jià)波紋管軸向位移補(bǔ)償?shù)闹匾笜?biāo)，由于波紋管軸向剛度理論公式大多來源于力學(xué)模型的簡化，與實(shí)際值存在一定誤差，因此，結(jié)合有限元等數(shù)值方法和試驗(yàn)方法來修正波紋管軸向剛度理論公式，并提升計(jì)算效率，是波紋管軸向剛度研究的重要方向之一。

近年來，不少研究者針對波紋管軸向剛度有限元分析方面做了較多的研究工作。談卓君等[1]提出了用單層等效厚度來計(jì)算波紋管的軸向剛度的思路，并以2層波紋管軸向剛度為例，驗(yàn)證了方法的可行性，但該文沒有給出2層以上等效厚度的計(jì)算方法；萬宏強(qiáng)等[2]基于U形波紋管軸向剛度經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行了低溫環(huán)境下的修正，并結(jié)合有限元和試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證；修筑等[3]根據(jù)曲桿模型推導(dǎo)了基于厚度變化的軸向剛度經(jīng)驗(yàn)公式，并利用有限元和試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證；占豐朝等[4]基于有限元方法和試驗(yàn)對不等壁厚的U形波紋管軸向剛度進(jìn)行了非線性分析；羅炳亮等[5]基于有限元方法發(fā)現(xiàn)了波紋管膨脹節(jié)強(qiáng)度及軸向剛度隨加強(qiáng)件間隙值變化的規(guī)律；劉達(dá)列等[6]利用ANSYS軟件的Matrix27剛度單元對金屬波紋管進(jìn)行模擬，通過建立簡化有限元模型分析了金屬波紋管的軸向剛度。這些研究在提升軸向剛度計(jì)算精度方面做了較多工作，但工程適用性存在不足，計(jì)算效率較低。

本文將U形波紋管簡化為曲桿模型，推導(dǎo)了波峰、波谷半徑不相等情況下的軸向剛度經(jīng)驗(yàn)公式。波紋管軸向剛度有限元值經(jīng)驗(yàn)證可與其試驗(yàn)值等價(jià)后，通過經(jīng)驗(yàn)公式法與有限元方法計(jì)算多層波紋管結(jié)構(gòu)的軸向剛度，分析兩者誤差規(guī)律，推導(dǎo)出了一種基于經(jīng)驗(yàn)公式法的多層波紋管等效厚度計(jì)算方法，并在此基礎(chǔ)上提出了一種基于等效厚度單層U形波紋管有限元模型進(jìn)行多層U形波紋管軸向剛度分析的方法。

1 U形波紋管軸向剛度理論計(jì)算方法

1.1 U形波紋管軸向剛度表達(dá)式

波紋管的軸向剛度表達(dá)式為

1.2 基于曲桿模型波峰、波谷半徑不同的單層U形波紋管軸向剛度經(jīng)驗(yàn)公式推導(dǎo)

式中：K為波紋管的整體軸向剛度，N/mm；F為波紋管所受軸向力，N；e為波紋管軸向位移（包括拉伸和壓縮位移），mm。

單層U形波紋管結(jié)構(gòu)參數(shù)（如圖1）有：Dw為波紋管外徑，mm；Db為單層波紋管內(nèi)徑，mm；t為波紋管單層壁厚（成型后），mm；h為波高，mm；q為波距，mm；N為波峰數(shù)；r1為波峰曲率半徑，mm；r2為波谷曲率半徑，mm；Dm為波紋管平均直徑，mm；a為波峰波谷連接直邊長度，mm；E為設(shè)計(jì)溫度下波紋管材料的彈性模量，MPa。

圖1 波紋管參數(shù)對照圖

進(jìn)一步將半個(gè)波峰、半個(gè)波谷和連接直邊簡化為曲桿模型，邊界條件為一端施加軸向力和彎矩，一端固支，如圖2所示。實(shí)際的工程應(yīng)用中大多采用該曲桿模型計(jì)算波紋管的軸向剛度，但對波峰波谷半徑不同的情況研究較少。國際接受使用的EJMA[7]（美國膨脹節(jié)制造商協(xié)會標(biāo)準(zhǔn)，我國國標(biāo)部分內(nèi)容以此標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)）的軸向剛度計(jì)算公式，也是基于此模型建立并修正后得出的。

圖2 波紋管半波曲桿模型

圖3 波紋管有限元模型

此處利用截面法、能量法和卡氏第二定理，推導(dǎo)波峰、波谷半徑不同的單層U形波紋管剛度經(jīng)驗(yàn)公式[3]。

確定AB、BC和CD段的彎矩分別為：

系統(tǒng)應(yīng)變能為

式中：M為AB、BC和CD段的彎矩，J為截面慣性矩，歐拉梁忽略剪切應(yīng)變能。

由卡氏第二定理，將式（3）代入，可得位移A點(diǎn)的角位移為

即

聯(lián)立式（6）與式（2）可求得

再次運(yùn)用卡氏第二定理，分別將AB、BC和CD段的彎矩代入，則A點(diǎn)沿F方向位移為

可得

波紋管單個(gè)完整波峰（谷）的位移量為

根據(jù)式（1）定義，聯(lián)立式（9）、式（10）可得波紋管單波軸向剛度為

又因?yàn)榍鷹U平均截面慣性矩為

式中，

則

聯(lián)立式（11）、式（14）可得單波軸向剛度為

從而得到波紋管的整體軸向剛度為

2 多層U形波紋管軸向剛度計(jì)算模型

取一典型U形波紋管結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，其材料為鋼，彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，密度為7800 kg/m3。波紋管外徑Dw=31.2 mm，內(nèi)徑Db0=21.5 mm，單層壁厚（成型后）為t=0.2 mm，波高h(yuǎn)=4.85 mm，波距q=4.4 mm。波紋管軸向未受力時(shí)，自由長度為34 mm。本文分析了波數(shù)N=8、層數(shù)n=1～6的U形波紋管軸向剛度。

2.1 多層U形波紋管軸向剛度有限元建模

基于ABAQUS有限元軟件，參考文獻(xiàn)[8]的建模方法，在保證計(jì)算精度的同時(shí)減少計(jì)算量，建模時(shí)采用軸對稱模型；網(wǎng)格選擇CAX4R單元（4節(jié)點(diǎn)雙線性軸對稱四邊形縮減積分實(shí)體單元），該單元具有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有2個(gè)自由度，即沿著X、Y方向的平動(dòng)，并且具有模擬塑性、大變形、大應(yīng)變、蠕變和應(yīng)力強(qiáng)化等的能力，網(wǎng)格存在扭曲變形時(shí)，分析精度不會受到大的影響，在波峰和波谷位置進(jìn)行網(wǎng)格加密；層間關(guān)系設(shè)置為接觸，當(dāng)波紋管層數(shù)為2～6時(shí)，波紋管各層之間接觸設(shè)置為硬接觸和有限滑移；邊界條件為波紋管一端設(shè)置為固支，另一端加載沿軸向4 mm的拉伸位移，通過軸向力-軸向位移曲線獲得不同層數(shù)波紋管的軸向剛度。對文獻(xiàn)[8]建模方法進(jìn)行復(fù)現(xiàn)，基于該方法進(jìn)行有限元建模得到的軸向剛度與試驗(yàn)結(jié)果的平均誤差僅為1.92%。因此，可以認(rèn)為通過該建模方法所得到的軸向剛度為真實(shí)值，在缺乏可利用的試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)可將其作為修正經(jīng)驗(yàn)公式的依據(jù)。

2.2 多層U形波紋管軸向剛度有限元數(shù)值與理論數(shù)值對比分析

通過有限元仿真計(jì)算，得到1～6層U形波紋管的軸向力-軸向位移曲線和軸向剛度數(shù)值分別如圖4和表1所示。

表1 多層U形波紋管軸向剛度有限元數(shù)值 N/mm

圖4 1至6層U形波紋管軸向力-軸向位移曲線

取t=td，利用式（16）可求得等效厚度td為

將上述U形波紋管結(jié)構(gòu)參數(shù)和表1所得的2～6層U形波紋管軸向剛度數(shù)值代入式（17），經(jīng)四舍五入后可得到2～6層U形波紋管軸向剛度等效厚度分別為結(jié)構(gòu)參數(shù)中單層壁厚的1.3倍、1.5倍、1.7倍、1.8倍和2.0倍；其中，2層U形波紋管軸向剛度計(jì)算模型厚度也和文獻(xiàn)[1]的等效厚度倍數(shù)一致。

2.3 等效厚度單層U形波紋管有限元模型驗(yàn)證

將2.2節(jié)所求的等效厚度代入單層U形波紋管有限元模型中，同時(shí)利用式（16）求解單層U形波紋管的軸向剛度，得到計(jì)算結(jié)果如表2所示。從表2中可看出，單層U形波紋管剛度理論值與有限元值誤差為14.89%；6層時(shí)理論值與有限元值誤差為10.67%，說明等效厚度計(jì)算公式不夠準(zhǔn)確。原因分析如下：一是為了簡化慣性矩的計(jì)算，引入了平均直徑Dm的概念，與實(shí)際截面的慣性矩存在差異。二是在軸向剛度公式推導(dǎo)過程中，忽略了厚度t的的影響。

表2 軸向剛度理論值與有限元數(shù)值對照表

進(jìn)一步觀察表2也可以發(fā)現(xiàn)，在不同的層數(shù)情況下，有限元值與理論值的比值在1.0～1.3之間波動(dòng)，呈現(xiàn)一定的倍數(shù)關(guān)系。為此本文基于有限元計(jì)算值對等效厚度進(jìn)行修正，并引入剛度修正系數(shù)λ[9]：

式中：λ1為有限元模擬剛度，λ2為公式計(jì)算剛度。

修正后的單層U形波紋管整體軸向剛度計(jì)算公式為

因此，可以在引入λ的基礎(chǔ)上，引入單層壁厚倍數(shù)因子b（2.2節(jié)所求等效厚度td除以單層壁厚t所得的倍數(shù)）為

對包括表2數(shù)據(jù)在內(nèi)td為t的0.75～2倍，不等間隔的11組b和λ進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，從而得到：

將2.2節(jié)所求倍數(shù)因子b，代入式（19）～式（21）聯(lián)立求解，可得修正后軸向剛度理論值與有限元值對照結(jié)果，如表3所示。

表3 修正后軸向剛度理論值與有限元數(shù)值對照表

通過表3可以看出，與式（16）相比，基于有限元模型修正后的式（19）計(jì)算單層U形波紋管軸向剛度時(shí)，理論值與有限元值的誤差由14.89%減小至0.02%；通過壁厚倍數(shù)關(guān)系求解2層以上U形波紋管軸向剛度時(shí)，理論值與有限元值的平均誤差由13.48%減小至0.60%。

取t=td，式（19）經(jīng)變化可得修正后的軸向剛度等效厚度為

將表1所得多層U形波紋管軸向剛度有限元數(shù)值和上述U形波紋管結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式（22）中可得，在相同軸向剛度情況下2～6層U形波紋管對應(yīng)修正后的單層U形波紋管厚度分別為單層壁厚的1.250倍、1.425倍、1.587倍、1.712倍和1.852倍。

3 算例驗(yàn)證

保持主要結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，令多層U形波紋管單層壁厚t為0.18 mm、0.21 mm和0.24 mm，將2.3節(jié)所計(jì)算的倍數(shù)關(guān)系分別代入式（19）和多層U形波紋管有限元模型，結(jié)果如表4～表6所示。

表4 軸向剛度理論值與多層U形波紋管軸向剛度有限元數(shù)值對照表（t=0.18 mm）

表5 軸向剛度理論值與多層U形波紋管軸向剛度有限元數(shù)值對照表（t=0.21 mm）

表6 軸向剛度理論值與多層U形波紋管軸向剛度有限元數(shù)值對照表（t=0.24 mm）

通過表4～表6三個(gè)算例的數(shù)據(jù)可以看出，將2.3節(jié)所得單層壁厚倍數(shù)關(guān)系，代入修正后的單層U形波紋管軸向剛度計(jì)算公式（19）中，可以較為精確地計(jì)算1～6層U形波紋管軸向剛度。理論值和有限元值擬合程度較好，如圖5所示。

圖5 算例理論值與有限元值對比圖

可以認(rèn)為，在主要結(jié)構(gòu)參數(shù)相同情況下，上述壁厚倍數(shù)的單層U形波紋管可分別和2～6層的U形波紋管進(jìn)行軸向剛度的精確等效，工程上可以通過建立軸向剛度-管壁厚度曲線[2]根據(jù)上述倍數(shù)對應(yīng)的厚度快速獲取多層U形波紋管軸向剛度值。經(jīng)過進(jìn)一步計(jì)算發(fā)現(xiàn)，多層波紋管單層壁厚為0～0.3 mm時(shí)，理論計(jì)算的結(jié)果與多層U形波紋管軸向剛度的誤差均在10%以內(nèi)，而壁厚大于0.3 mm時(shí)，同樣可以依據(jù)該方法求解不同壁厚多層U形波紋管的等效厚度，但倍數(shù)因子將發(fā)生變化。

4 結(jié)論

1）提出了一種基于單層U波紋管有限元模型計(jì)算多層U形波紋管軸向剛度分析的方法。

2）修正了單層U形波紋管軸向剛度計(jì)算方法，與有限元法結(jié)果的擬合程度較高。

3）計(jì)算了主要結(jié)構(gòu)參數(shù)相同時(shí)，當(dāng)多層U形波紋管單層壁厚為0～0.3 mm時(shí)，2～6層U形波紋管對應(yīng)的軸向剛度等效厚度分別為多層U形波紋管單層壁厚的1.250倍、1.425倍、1.587倍、1.712倍和1.852倍時(shí)；此時(shí)，單層U形波紋管軸向剛度可以與對應(yīng)的多層U形波紋管軸向剛度進(jìn)行等效。

4）當(dāng)多層U形波紋管單層壁厚大于0.3 mm時(shí)，同樣可以基于本文方法求解軸向剛度等效厚度，但壁厚倍數(shù)因子將發(fā)生改變。